Calculadora de Radi de Cercle: Trobar Radi des del Diàmetre i l'Àrea

Radi d’un cercle

El radi d’un cercle és la distància des del centre del cercle fins a qualsevol punt de la seva circumferència. Es pot calcular a partir del diàmetre, la circumferència o l’àrea mitjançant tres fórmules senzilles. Aquesta calculadora calcula el radi a partir de qualsevol d’aquests tres valors que es conegui.

Què és un radi?

Un cercle és una línia corba formada per tots els punts que es troben a la mateixa distància d’un punt fix, anomenat centre. Aquesta distància fixa és el radi. Tots els radis d’un mateix cercle tenen la mateixa longitud. El radi determina la mida del cercle: un radi més gran produeix un cercle més gran.

Tres mesures més estan directament relacionades amb el radi:

• Diàmetre ($d$): línia recta que va d’un extrem del cercle a l’altre passant pel centre. Sempre és el doble del radi.
• Circumferència ($C$): distància al voltant de la part exterior del cercle.
• Àrea ($A$): quantitat d’espai delimitada pel cercle.

Com calcular el radi d’un cercle

La fórmula que s’utilitza depèn de quina mesura es coneix d’entrada.

A partir del diàmetre

$$r = \frac{d}{2}$$

El diàmetre és el doble del radi, de manera que dividir-lo per 2 retorna el radi.

A partir de la circumferència

$$r = \frac{C}{2\pi}$$

Això es deriva de la fórmula de la circumferència $C = 2\pi r$, resolta per a $r$. La lletra grega $\pi$ (pi) és una constant, aproximadament 3,14159.

A partir de l’àrea

$$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

Això es deriva de la fórmula de l’àrea $A = \pi r^2$, resolta per a $r$.

Exemple resolt

Exemple 1: radi a partir del diàmetre

Un cercle té un diàmetre de 10 unitats.

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ unitats}$$

Exemple 2: radi a partir de la circumferència

Un cercle té una circumferència de 31,4159 unitats.

$$r = \frac{31.4159}{2\pi} \approx \frac{31.4159}{6.2832} \approx 5 \text{ unitats}$$

Exemple 3: radi a partir de l’àrea

Un cercle té una àrea de 78,5398 unitats quadrades.

$$r = \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} \approx \sqrt{25} = 5 \text{ unitats}$$

Ús de la calculadora

Seleccioneu quin valor es coneix: diàmetre, circumferència o àrea. A continuació, introduïu un nombre més gran que zero. La calculadora retorna el radi arrodonit a quatre xifres decimals. Si s’introdueix zero o un nombre negatiu, es mostra el missatge «Entrada no vàlida: el valor ha de ser més gran que zero», perquè un cercle no pot tenir un diàmetre, una circumferència o una àrea iguals o inferiors a zero. El quadre d’entrada només accepta nombres, de manera que les lletres i altres textos s’ignoren mentre s’escriuen i el resultat simplement roman ocult.

El radi s’expressa en la mateixa unitat que l’entrada. Introduir un diàmetre en centímetres retorna un radi en centímetres; introduir una àrea en metres quadrats retorna un radi en metres.

Per què és important el radi

El radi és la mesura a partir de la qual es pot derivar qualsevol altra propietat d’un cercle. Apareix en les fórmules del diàmetre, la circumferència, l’àrea i el volum i l’àrea superficial d’una esfera. Els enginyers l’utilitzen per dimensionar canonades, engranatges i rodes. Els arquitectes l’utilitzen per dissenyar arcs i cúpules. Els astrònoms l’utilitzen per descriure la mida dels planetes, les estrelles i les òrbites.

Una breu història

Els matemàtics de l’antic Egipte i de Babilònia van estudiar els cercles i van calcular les primeres aproximacions de la proporció entre la circumferència i el diàmetre d’un cercle. Cap a 300 aC, el matemàtic grec Euclides va definir un cercle en el seu llibre Elements com la figura els punts del contorn de la qual es troben tots a la mateixa distància del centre. Més tard, Arquímedes va desenvolupar un mètode per estimar $\pi$ comparant un cercle amb polígons dibuixats al seu interior i exterior. Els matemàtics de la Xina, l’Índia i altres llocs van anar afinant el valor de $\pi$ durant els segles següents, fins a obtenir les xifres que s’utilitzen actualment en els càlculs.

Preguntes freqüents

Quin és el radi d’un cercle?

El radi és la distància des del centre d’un cercle fins a qualsevol punt de la seva circumferència. És la meitat de la longitud del diàmetre.

Com es troba el radi a partir del diàmetre?

Dividiu el diàmetre per 2: $r = d/2$. Un cercle amb un diàmetre de 10 unitats té un radi de 5 unitats.

Com es troba el radi a partir de la circumferència?

Dividiu la circumferència per $2\pi$: $r = C/(2\pi)$. Un cercle amb una circumferència d’aproximadament 31,42 unitats té un radi d’aproximadament 5 unitats.

Com es troba el radi a partir de l’àrea?

Dividiu l’àrea per $\pi$ i, a continuació, calculeu l’arrel quadrada: $r = \sqrt{A/\pi}$. Un cercle amb una àrea d’aproximadament 78,54 unitats quadrades té un radi d’aproximadament 5 unitats.

Quina diferència hi ha entre el radi i el diàmetre?

El diàmetre és una línia recta que passa pel centre i connecta dos punts del cercle. És exactament el doble del radi: $d = 2r$.

El radi pot ser negatiu o zero?

No. Un cercle real ha de tenir un radi més gran que zero. La calculadora mostra un error si el diàmetre, la circumferència o l’àrea introduïts són zero o negatius, i no mostra cap resultat fins que s’introdueix un nombre positiu.

Referències

1. Cercle — Wikipedia
2. Pi — Wikipedia