Calculadora de Mesures del Cercle

Introducció

El cercle és una forma fonamental en geometria, simbolitzant la completud i la simetria. La nostra Calculadora de Mesures del Cercle et permet calcular el radi, el diàmetre, la circumferència i l'àrea d'un cercle basant-te en un paràmetre conegut. Aquesta eina és inavaluable per a estudiants, enginyers, arquitectes i qualsevol persona interessada a entendre les propietats dels cercles.

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

1. Selecciona el Paràmetre que Coneixes:

   • Radi
   • Diàmetre
   • Circumferència
   • Àrea

2. Introdueix el Valor:

   • Introduïu el valor numèric per al paràmetre seleccionat.
   • Assegura't que el valor sigui un número real positiu.

3. Calcula:

   • La calculadora calcularà les mesures restants del cercle.
   • Els resultats mostrats inclouen:
     • Radi ($r$)
     • Diàmetre ($d$)
     • Circumferència ($C$)
     • Àrea ($A$)

Validació d'Entrada

La calculadora realitza les següents comprovacions sobre les entrades de l'usuari:

• Números Positius: Totes les entrades han de ser números reals positius.
• Valors Numèrics Vàlids: Les entrades han de ser numèriques i no han de contenir cap caràcter no numèric.

Si es detecten entrades no vàlides, es mostrarà un missatge d'error i el càlcul no procedirà fins que es corregeixi.

Fórmules

Les relacions entre el radi, el diàmetre, la circumferència i l'àrea d'un cercle es defineixen mitjançant les següents fórmules:

1. Diàmetre ($d$):

   $d = 2r$

2. Circumferència ($C$):

   $C = 2\pi r = \pi d$

3. Àrea ($A$):

   $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

4. Radi ($r$) a partir de la Circumferència:

   $r = \frac{C}{2\pi}$

5. Radi ($r$) a partir de l'Àrea:

   $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Càlcul

A continuació es mostra com la calculadora calcula cada mesura en funció de l'entrada:

1. Quan es Coneix el Radi ($r$):

   • Diàmetre: $d = 2r$
   • Circumferència: $C = 2\pi r$
   • Àrea: $A = \pi r^2$

2. Quan es Coneix el Diàmetre ($d$):

   • Radi: $r = \frac{d}{2}$
   • Circumferència: $C = \pi d$
   • Àrea: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

3. Quan es Coneix la Circumferència ($C$):

   • Radi: $r = \frac{C}{2\pi}$
   • Diàmetre: $d = \frac{C}{\pi}$
   • Àrea: $A = \pi r^2$

4. Quan es Coneix l'Àrea ($A$):

   • Radi: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
   • Diàmetre: $d = 2r$
   • Circumferència: $C = 2\pi r$

Casos Límit i Gestió d'Entrades

• Entrades Negatives:

  • Els valors negatius no són vàlids per a les mesures del cercle.
  • La calculadora mostrarà un missatge d'error per a les entrades negatives.

• Zero com a Entrada:

  • Zero és una entrada vàlida però resulta en totes les altres mesures sent zero.
  • Físicament, un cercle amb dimensions zero no existeix, per tant, introduir zero serveix com a un cas teòric.

• Valors Extremadament Grans:

  • La calculadora pot manejar números molt grans, limitats per la precisió del llenguatge de programació utilitzat.
  • Tingueu en compte els possibles errors d'arrodoniment amb valors extremadament grans.

• Entrades No Numèriques:

  • Les entrades han de ser numèriques.
  • Qualsevol entrada no numèrica resultarà en un missatge d'error.

Casos d'Ús

La Calculadora de Mesures del Cercle és útil en diverses aplicacions del món real:

1. Enginyeria i Arquitectura:

   • Dissenyant components circulars com tubs, rodes i arcs.
   • Calculant requisits de materials per a projectes de construcció que impliquin formes circulars.

2. Fabricació:

   • Determinant les dimensions de peces i eines.
   • Calculant camins de tall per a màquines CNC.

3. Astronomia i Ciència Espacial:

   • Calculant òrbites planetàries, que sovint s'aproximen a cercles.
   • Estimant l'àrea superficial de cossos celestes.

4. Vida Quotidiana:

   • Planificant jardins circulars, fonts o taules rodones.
   • Determinant la quantitat de tanca necessària per a tancaments circulars.

Alternatives

Si bé els cercles són fonamentals, hi ha formes i fórmules alternatives per a diferents aplicacions:

• El·lipses:

  • Per a aplicacions que requereixen cercles allargats.
  • Els càlculs impliquen eixos semimajor i semiminor.

• Sectors i Segments:

  • Portions d'un cercle.
  • Útils per calcular àrees o perímetres de talls en forma de pastís.

• Polígons Regulars:

  • Aproximacions de cercles utilitzant formes com hexàgons o octàgons.
  • Simplifica la construcció i el càlcul en alguns contextos d'enginyeria.

Història

L'estudi dels cercles es remunta a civilitzacions antigues:

• Matemàtiques Antigues:

  • Els babilonis i egipcis utilitzaven aproximacions per a $\pi$.
  • Arquímedes (c. 287–212 aC) va proporcionar un dels primers algorismes enregistrats per calcular $\pi$, estimant-lo entre $\frac{22}{7}$ i $\frac{223}{71}$.

• Desenvolupament de $\pi$:

  • El símbol $\pi$ va ser popularitzat pel matemàtic gal·lès William Jones el 1706 i posteriorment adoptat per Leonhard Euler.
  • $\pi$ és un número irracional que representa la proporció de la circumferència d'un cercle al seu diàmetre.

• Matemàtiques Modernes:

  • El cercle ha estat central en els desenvolupaments de la trigonometria, el càlcul i l'anàlisi complexa.
  • Serveix com a concepte fonamental en geometria i demostracions matemàtiques.

Exemples

A continuació es mostren exemples de codi que demostren com calcular les mesures del cercle en diversos llenguatges de programació:

1## Codi Python per calcular les mesures del cercle
2import math
3
4def calculate_circle_from_radius(radius):
5    diameter = 2 * radius
6    circumference = 2 * math.pi * radius
7    area = math.pi * radius ** 2
8    return diameter, circumference, area
9
10## Exemple d'ús:
11radius = 5
12d, c, a = calculate_circle_from_radius(radius)
13print(f"Radi: {radius}")
14print(f"Diàmetre: {d}")
15print(f"Circumferència: {c:.2f}")
16print(f"Àrea: {a:.2f}")
17

1// Codi JavaScript per calcular les mesures del cercle
2function calculateCircleFromDiameter(diameter) {
3  const radius = diameter / 2;
4  const circumference = Math.PI * diameter;
5  const area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
6  return { radius, circumference, area };
7}
8
9// Exemple d'ús:
10const diameter = 10;
11const { radius, circumference, area } = calculateCircleFromDiameter(diameter);
12console.log(`Radi: ${radius}`);
13console.log(`Diàmetre: ${diameter}`);
14console.log(`Circumferència: ${circumference.toFixed(2)}`);
15console.log(`Àrea: ${area.toFixed(2)}`);
16

1// Codi Java per calcular les mesures del cercle
2public class CircleCalculator {
3    public static void calculateCircleFromCircumference(double circumference) {
4        double radius = circumference / (2 * Math.PI);
5        double diameter = 2 * radius;
6        double area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
7
8        System.out.printf("Radi: %.2f%n", radius);
9        System.out.printf("Diàmetre: %.2f%n", diameter);
10        System.out.printf("Circumferència: %.2f%n", circumference);
11        System.out.printf("Àrea: %.2f%n", area);
12    }
13
14    public static void main(String[] args) {
15        double circumference = 31.42;
16        calculateCircleFromCircumference(circumference);
17    }
18}
19

1// Codi C# per calcular les mesures del cercle
2using System;
3
4class CircleCalculator
5{
6    static void CalculateCircleFromArea(double area)
7    {
8        double radius = Math.Sqrt(area / Math.PI);
9        double diameter = 2 * radius;
10        double circumference = 2 * Math.PI * radius;
11
12        Console.WriteLine($"Radi: {radius:F2}");
13        Console.WriteLine($"Diàmetre: {diameter:F2}");
14        Console.WriteLine($"Circumferència: {circumference:F2}");
15        Console.WriteLine($"Àrea: {area:F2}");
16    }
17
18    static void Main()
19    {
20        double area = 78.54;
21        CalculateCircleFromArea(area);
22    }
23}
24

1## Codi Ruby per calcular les mesures del cercle
2def calculate_circle_from_radius(radius)
3  diameter = 2 * radius
4  circumference = 2 * Math::PI * radius
5  area = Math::PI * radius ** 2
6  return diameter, circumference, area
7end
8
9## Exemple d'ús:
10radius = 5.0
11diameter, circumference, area = calculate_circle_from_radius(radius)
12puts "Radi: #{radius}"
13puts "Diàmetre: #{diameter}"
14puts "Circumferència: #{circumference.round(2)}"
15puts "Àrea: #{area.round(2)}"
16

1<?php
2// Codi PHP per calcular les mesures del cercle
3function calculateCircleFromDiameter($diameter) {
4    $radius = $diameter / 2;
5    $circumference = pi() * $diameter;
6    $area = pi() * pow($radius, 2);
7    return array($radius, $circumference, $area);
8}
9
10// Exemple d'ús:
11$diameter = 10.0;
12list($radius, $circumference, $area) = calculateCircleFromDiameter($diameter);
13echo "Radi: " . $radius . "\n";
14echo "Diàmetre: " . $diameter . "\n";
15echo "Circumferència: " . round($circumference, 2) . "\n";
16echo "Àrea: " . round($area, 2) . "\n";
17?>
18

1// Codi Rust per calcular les mesures del cercle
2fn calculate_circle_from_circumference(circumference: f64) -> (f64, f64, f64) {
3    let radius = circumference / (2.0 * std::f64::consts::PI);
4    let diameter = 2.0 * radius;
5    let area = std::f64::consts::PI * radius.powi(2);
6    (radius, diameter, area)
7}
8
9fn main() {
10    let circumference = 31.42;
11    let (radius, diameter, area) = calculate_circle_from_circumference(circumference);
12    println!("Radi: {:.2}", radius);
13    println!("Diàmetre: {:.2}", diameter);
14    println!("Circumferència: {:.2}", circumference);
15    println!("Àrea: {:.2}", area);
16}
17

1// Codi Go per calcular les mesures del cercle
2package main
3
4import (
5    "fmt"
6    "math"
7)
8
9func calculateCircleFromArea(area float64) (radius, diameter, circumference float64) {
10    radius = math.Sqrt(area / math.Pi)
11    diameter = 2 * radius
12    circumference = 2 * math.Pi * radius
13    return
14}
15
16func main() {
17    area := 78.54
18    radius, diameter, circumference := calculateCircleFromArea(area)
19    fmt.Printf("Radi: %.2f\n", radius)
20    fmt.Printf("Diàmetre: %.2f\n", diameter)
21    fmt.Printf("Circumferència: %.2f\n", circumference)
22    fmt.Printf("Àrea: %.2f\n", area)
23}
24

1// Codi Swift per calcular les mesures del cercle
2import Foundation
3
4func calculateCircleFromRadius(radius: Double) -> (diàmetre: Double, circumferència: Double, àrea: Double) {
5    let diameter = 2 * radius
6    let circumference = 2 * Double.pi * radius
7    let area = Double.pi * pow(radius, 2)
8    return (diameter, circumference, area)
9}
10
11// Exemple d'ús:
12let radius = 5.0
13let results = calculateCircleFromRadius(radius: radius)
14print("Radi: \(radius)")
15print("Diàmetre: \(results.diameter)")
16print("Circumferència: \(String(format: "%.2f", results.circumferència))")
17print("Àrea: \(String(format: "%.2f", results.àrea))")
18

1% Codi MATLAB per calcular les mesures del cercle
2function [radius, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius)
3    diameter = 2 * radius;
4    circumference = 2 * pi * radius;
5    area = pi * radius^2;
6end
7
8% Exemple d'ús:
9radius = 5;
10[~, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius);
11fprintf('Radi: %.2f\n', radius);
12fprintf('Diàmetre: %.2f\n', diameter);
13fprintf('Circumferència: %.2f\n', circumference);
14fprintf('Àrea: %.2f\n', area);
15

1' Fórmula d'Excel per calcular les mesures del cercle a partir del radi
2' Suposant que el radi està a la cel·la A1
3Diàmetre: =2*A1
4Circumferència: =2*PI()*A1
5Àrea: =PI()*A1^2
6

Exemples Numèrics

1. Donat el Radi (( r = 5 ) unitats):

   • Diàmetre: ( d = 2 \times 5 = 10 ) unitats
   • Circumferència: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) unitats
   • Àrea: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) unitats quadrades

2. Donat el Diàmetre (( d = 10 ) unitats):

   • Radi: ( r = \frac{10}{2} = 5 ) unitats
   • Circumferència: ( C = \pi \times 10 \approx 31.42 ) unitats
   • Àrea: ( A = \frac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78.54 ) unitats quadrades

3. Donada la Circumferència (( C = 31.42 ) unitats):

   • Radi: ( r = \frac{31.42}{2\pi} \approx 5 ) unitats
   • Diàmetre: ( d = 2 \times 5 = 10 ) unitats
   • Àrea: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) unitats quadrades

4. Donada l'Àrea (( A = 78.54 ) unitats quadrades):

   • Radi: ( r = \sqrt{\frac{78.54}{\pi}} \approx 5 ) unitats
   • Diàmetre: ( d = 2 \times 5 = 10 ) unitats
   • Circumferència: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) unitats

Diagrames

A continuació es mostra un diagrama d'un cercle que il·lustra el radi (( r )), el diàmetre (( d )), la circumferència (( C )) i l'àrea (( A )).

Figura: Diagrama d'un cercle que il·lustra el radi (( r )), el diàmetre (( d )), la circumferència (( C )) i l'àrea (( A )).

Referències

1. "Cercle." Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/Circle.html.
2. "Circumferència i Àrea d'un Cercle." Khan Academy, https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles.
3. Beckmann, Petr. Una Història de ( \pi ). St. Martin's Press, 1971.
4. Arquímedes. Mesura d'un Cercle, https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf.