Calculadora de Cercle: Trobeu Radi, Diàmetre, Àrea i Circumferència

Calculadora de cercles

Una calculadora de cercles troba el radi, el diàmetre, la circumferència i l'àrea d'un cercle a partir de qualsevol d'aquests quatre valors. Introduïu una sola mesura coneguda i la calculadora calcula les altres tres mitjançant fórmules estàndard de geometria.

Un cercle és el conjunt de tots els punts d’un pla que es troben a una distància fixa d’un punt central. Aquesta distància fixa és el radi. Qualsevol altra mesura bàsica d’un cercle (diàmetre, circumferència i àrea) es pot obtenir només a partir del radi.

Com s’utilitza la calculadora

1. Trieu el paràmetre conegut: radi, diàmetre, circumferència o àrea.
2. Introduïu-ne el valor numèric. El valor ha de ser zero o superior; les longituds i les àrees negatives no tenen significat físic.
3. La calculadora mostra el radi, el diàmetre, la circumferència i l'àrea, cadascun arrodonit a dues xifres decimals.

Es pot introduir zero, i això retorna zero per a les quatre mesures, ja que un cercle de radi zero és un sol punt. Les entrades no numèriques produeixen un error de validació en lloc d'un resultat.

Fórmules del cercle

Siguin r el radi i d el diàmetre. La constant π (pi) és aproximadament 3,14159; és la proporció entre la circumferència d'un cercle i el seu diàmetre.

Diàmetre a partir del radi:

$d = 2r$

Circumferència:

$C = 2\pi r = \pi d$

Àrea:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Radi a partir de la circumferència:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Radi a partir de l'àrea:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

A partir de qualsevol valor únic, els altres tres s'obtenen calculant primer el radi i aplicant després les fórmules del diàmetre, la circumferència i l'àrea anteriors.

Com calcular les mesures d'un cercle a partir de cada valor inicial

A partir del radi (r):

• Diàmetre: d = 2r
• Circumferència: C = 2πr
• Àrea: A = πr²

A partir del diàmetre (d):

• Radi: r = d / 2
• Circumferència: C = πd
• Àrea: A = πd² / 4

A partir de la circumferència (C):

• Radi: r = C / (2π)
• Diàmetre: d = C / π
• Àrea: A = πr²

A partir de l'àrea (A):

• Radi: r = √(A / π)
• Diàmetre: d = 2r
• Circumferència: C = 2πr

Exemple

Un cercle té un radi de 5 unitats.

• Diàmetre: d = 2 × 5 = 10 unitats
• Circumferència: C = 2π × 5 ≈ 31,42 unitats
• Àrea: A = π × 5² ≈ 78,54 unitats quadrades

El mateix cercle també es podria descriure per la seva circumferència d’unes 31,42 unitats. En dividir per 2π s’obté un radi de 5 unitats, i el diàmetre i l’àrea es dedueixen com abans. Qualsevol dels quatre valors determina els altres tres.

Fórmules del cercle en geometria

El nombre π és irracional, és a dir, les seves xifres decimals no s’acaben ni es repeteixen. Els matemàtics antics l’aproximaven: els babilonis i els egipcis utilitzaven fraccions aproximades, i Arquimedes de Siracusa (287–212 aC) el va acotar entre 223/71 i 22/7 mitjançant polígons inscrits i circumscrits. William Jones va utilitzar per primera vegada el símbol π amb el significat actual el 1706, i l’adopció que en va fer Leonhard Euler el 1737 el va convertir en el símbol estàndard. Les calculadores modernes utilitzen π amb molts més decimals dels que requereix qualsevol mesura física.

Les fórmules del cercle s’apliquen en àmbits com l’enginyeria, on serveixen per dimensionar canonades, engranatges i rodes; la construcció, on determinen el material per a estructures rodones; i l’astronomia, on les òrbites sovint s’aproximen a cercles o el·lipses.

Preguntes freqüents

Com es calcula la circumferència d'un cercle? Multipliqueu el radi per 2π, o el diàmetre per π: C = 2πr = πd. Un cercle amb un radi de 5 unitats té una circumferència d'aproximadament 31,42 unitats.

Quina és la fórmula de l'àrea d'un cercle? L'àrea és π multiplicat pel radi al quadrat: A = πr². Un cercle amb un radi de 5 unitats té una àrea d'aproximadament 78,54 unitats quadrades.

Com es troba el radi a partir de la circumferència? Dividiu la circumferència per 2π (aproximadament 6,2832). Una circumferència de 31,42 unitats dona un radi de 5 unitats.

Com es troba el radi a partir de l’àrea? Dividiu l’àrea per π i, tot seguit, calculeu-ne l’arrel quadrada: r = √(A / π). Una àrea de 78,54 unitats quadrades dona un radi de 5 unitats.

Quina relació hi ha entre el diàmetre i el radi? El diàmetre sempre és el doble del radi (d = 2r), i el radi sempre és la meitat del diàmetre (r = d / 2).

Es pot utilitzar qualsevol unitat per a les mesures d'un cercle? Sí. El radi, el diàmetre i la circumferència comparteixen la mateixa unitat de longitud, com ara centímetres o polzades, i l'àrea s'expressa en aquesta unitat al quadrat. La calculadora no converteix entre unitats; els resultats utilitzen la unitat introduïda.

Referències

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. A history of Pi. Història del nombre π — els límits d’Arquimedes 223/71 < π < 22/7; els primers valors egipcis i mesopotàmics; William Jones va utilitzar π el 1706 i Euler el va adoptar el 1737.