Calculadora de Cercle: Trobeu Radi, Diàmetre, Àrea i Circumferència

Calculadora de cercles

Una calculadora de cercles troba el radi, el diàmetre, la circumferència i l'àrea d'un cercle a partir de qualsevol d'aquests quatre valors. Introduïu una sola mesura coneguda i la calculadora calcula les altres tres mitjançant fórmules estàndard de geometria.

Un cercle és el conjunt de tots els punts d'un pla que es troben a una distància fixa d'un punt central. Aquesta distància fixa és el radi. El diàmetre, la circumferència i l'àrea es poden obtenir només a partir del radi.

Com s’utilitza la calculadora

1. Trieu el paràmetre conegut: radi, diàmetre, circumferència o àrea.
2. Introduïu-ne el valor numèric. El valor ha de ser zero o superior; les longituds i les àrees negatives no tenen significat físic.
3. La calculadora mostra el radi, el diàmetre, la circumferència i l'àrea, cadascun arrodonit a dues xifres decimals.

La calculadora també dibuixa el cercle. El dibuix és esquemàtic i no està a escala, de manera que un cercle minúscul i un de gegant semblen tenir aproximadament la mateixa mida.

Es pot introduir zero, i això retorna zero per a les quatre mesures, ja que un cercle de radi zero és un sol punt. Les entrades no numèriques produeixen un error de validació en lloc d'un resultat.

Fórmules del cercle

Siguin r el radi i d el diàmetre. La constant π (pi) és aproximadament 3,14159; és la proporció entre la circumferència d'un cercle i el seu diàmetre.

Diàmetre a partir del radi:

$d = 2r$

Circumferència:

$C = 2\pi r = \pi d$

Àrea:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Radi a partir de la circumferència:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Radi a partir de l'àrea:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

A partir de qualsevol valor únic, els altres tres s'obtenen calculant primer el radi i aplicant després les fórmules del diàmetre, la circumferència i l'àrea anteriors.

Com calcular les mesures d'un cercle a partir de cada valor inicial

A partir del radi (r):

• Diàmetre: $d = 2r$
• Circumferència: $C = 2\pi r$
• Àrea: $A = \pi r^2$

A partir del diàmetre (d):

• Radi: $r = \frac{d}{2}$
• Circumferència: $C = \pi d$
• Àrea: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

A partir de la circumferència (C):

• Radi: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Diàmetre: $d = \frac{C}{\pi}$
• Àrea: $A = \pi r^2$

A partir de l'àrea (A):

• Radi: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• Diàmetre: $d = 2r$
• Circumferència: $C = 2\pi r$

Exemple resolt

Un cercle té un radi de 5 unitats.

• Diàmetre: d = 2 × 5 = 10 unitats.
• Circumferència: C = 2π × 5 ≈ 31,42 unitats.
• Àrea: A = π × 5² ≈ 78,54 unitats quadrades.

El mateix cercle es pot descriure mitjançant la seva circumferència d'aproximadament 31,42 unitats. Dividir 31,42 per 2π retorna 5,00 unitats després d'arrodonir, de manera que es recupera el radi, i el diàmetre i l'àrea se n'obtenen com abans. Qualsevol dels quatre valors determina els altres tres.

Fórmules del cercle en geometria

El nombre π és irracional, és a dir, els seus dígits decimals no acaben ni es repeteixen mai. Els matemàtics de l'antiguitat en van calcular aproximacions: els babilonis i els egipcis utilitzaven fraccions aproximades, i Arquímedes de Siracusa, cap a 250 aC, va demostrar que π es troba entre 223/71 i 22/7 mitjançant polígons dibuixats dins i fora d'un cercle. El símbol π es va popularitzar al segle 18 gràcies al matemàtic Leonhard Euler. Les calculadores modernes utilitzen π amb molts més decimals dels que requereix qualsevol mesura física.

Les fórmules del cercle s'utilitzen per dimensionar canonades, engranatges i rodes, calcular la quantitat de material que necessita una estructura rodona i modelitzar òrbites en astronomia.

Preguntes més freqüents

Com es calcula la circumferència d'un cercle? Multipliqueu el radi per 2π, o el diàmetre per π: C = 2πr = πd. Un cercle amb un radi de 5 unitats té una circumferència d'aproximadament 31,42 unitats.

Quina és la fórmula de l'àrea d'un cercle? L'àrea és π multiplicat pel radi al quadrat: A = πr². Un cercle amb un radi de 5 unitats té una àrea d'aproximadament 78,54 unitats quadrades.

Com es troba el radi a partir de la circumferència? Dividiu la circumferència per 2π (aproximadament 6,2832). Una circumferència de 31,42 unitats dona un radi d'aproximadament 5 unitats.

Com es troba el radi a partir de l'àrea? Dividiu l'àrea per π i després calculeu-ne l'arrel quadrada: r = √(A / π). Una àrea de 78,54 unitats quadrades dona un radi d'aproximadament 5 unitats.

Quina relació hi ha entre el diàmetre i el radi? El diàmetre sempre és el doble del radi (d = 2r), i el radi sempre és la meitat del diàmetre (r = d / 2).

Es pot utilitzar qualsevol unitat per a les mesures d'un cercle? Sí. El radi, el diàmetre i la circumferència comparteixen la mateixa unitat de longitud, com ara centímetres o polzades, i l'àrea s'expressa en aquesta unitat al quadrat. La calculadora no converteix entre unitats; els resultats utilitzen la unitat introduïda.

Referències

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. Beckmann, Petr. A History of π. St. Martin's Press, 1971.
4. Arquímedes. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf