Calculadora d'Energia de Xarxa | Eina Gratuïta de l'Equació de Born-Landé

Què és l’energia reticular?

L’energia reticular és l’energia alliberada quan ions separats en fase gasosa s’uneixen per formar un mol d’un compost iònic sòlid. Una calculadora d’energia reticular utilitza l’equació de Born-Landé per estimar aquest valor a partir de les càrregues i les mides dels ions, i d’un paràmetre ajustable anomenat exponent de Born.

El procés que descriu l’energia reticular és:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Aquí $M^{n+}$ és un catió metàl·lic (un ió amb càrrega positiva) i $X^{n-}$ és un anió no metàl·lic (un ió amb càrrega negativa). L’energia reticular sempre és negativa, perquè l’energia surt del sistema quan els ions s’uneixen en un cristall. Els químics anomenen «exotèrmic» un procés que allibera energia.

Tres factors controlen la magnitud de l’energia reticular:

1. Càrrega dels ions. Els ions amb càrregues més grans s’atreuen mútuament amb més força.
2. Mida dels ions. Els ions més petits poden apropar-se més, cosa que reforça l’atracció.
3. Estructura cristal·lina. El patró geomètric que formen els ions canvia el nombre de veïns que té cada ió; això es recull en un nombre anomenat constant de Madelung.

Fórmula de l’energia reticular (equació de Born-Landé)

L’equació de Born-Landé, publicada pels físics Max Born i Alfred Landé l’any 1918, és:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

On:

• $U$ = energia reticular, en quilojoules per mol (kJ/mol)
• $N_0$ = nombre d’Avogadro, 6,022 × 10²³ per mol
• $A$ = constant de Madelung (aquesta calculadora utilitza 1,7476, el valor de l’estructura de tipus halita, que comparteixen el NaCl, el MgO i moltes altres sals simples)
• $z_1$, $z_2$ = càrregues del catió i de l’anió
• $e$ = càrrega d’un electró, 1,602 × 10⁻¹⁹ coulombs
• $\varepsilon_0$ = permitivitat del buit, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = distància interiònica, és a dir, la distància entre els centres dels dos ions
• $n$ = exponent de Born, un nombre que indica la intensitat amb què els ions es resisteixen a ser comprimits l’un contra l’altre (normalment entre 5 i 12, i sempre més gran que 1)

La primera part de l’equació calcula l’atracció entre dues càrregues oposades. El terme $(1 - 1/n)$ resta la repulsió que apareix quan els núvols electrònics dels ions comencen a superposar-se. Aquest terme només té sentit per a $n$ més gran que 1. Quan $n = 1$ és zero, i per sota de 1 es torna negatiu; per això la calculadora rebutja aquests valors.

Distància interiònica

La distància entre els centres dels ions, $r_0$, és simplement la suma dels dos radis iònics:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Els radis iònics solen expressar-se en picòmetres (pm), on un picòmetre és una bilionèsima part d’un metre.

Com calcular l’energia reticular

1. Introdueix la càrrega del catió com un nombre enter positiu (1 per al Na⁺, 2 per al Mg²⁺).
2. Introdueix la càrrega de l’anió com un nombre enter negatiu (-1 per al Cl⁻, -2 per a l’O²⁻).
3. Introdueix el radi del catió en picòmetres.
4. Introdueix el radi de l’anió en picòmetres.
5. Introdueix un exponent de Born. Un valor de 9 funciona per a molts compostos. L’exponent ha de ser més gran que 1.
6. Llegeix la distància interiònica i l’energia reticular al tauler de resultats.

Exemple: energia reticular del clorur de sodi (NaCl)

El clorur de sodi, la sal de taula comuna, és un primer exemple útil perquè els seus ions tenen càrregues unitàries.

• Càrrega del catió: +1 (Na⁺)
• Càrrega de l’anió: -1 (Cl⁻)
• Radi del catió: 102 pm
• Radi de l’anió: 181 pm
• Exponent de Born: 9

Pas 1: calcula la distància interiònica.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Pas 2: aplica l’equació de Born-Landé.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Aquest valor és proper, però no igual, al que se sol indicar als llibres de text, aproximadament -787 kJ/mol, que prové de dades termodinàmiques experimentals obtingudes mitjançant un cicle de Born-Haber i no d’aquesta equació. La diferència existeix perquè l’equació de Born-Landé considera els ions com a esferes rígides perfectes i utilitza un únic exponent de repulsió per a tot el cristall; per tant, és una aproximació i no una coincidència exacta amb la realitat.

Exemple: energia reticular de l’òxid de magnesi (MgO)

L’òxid de magnesi té ions amb càrrega doble, de manera que constitueix una bona comparació.

• Càrrega del catió: +2 (Mg²⁺), radi 72 pm
• Càrrega de l’anió: -2 (O²⁻), radi 140 pm
• Exponent de Born: 9
• Distància interiònica: 72 pm + 140 pm = 212 pm

En introduir aquestes xifres a la mateixa equació, s’obté una energia reticular d’aproximadament -4071 kJ/mol, més de cinc vegades més negativa que la del NaCl. El valor mesurat experimentalment és d’aproximadament -3795 kJ/mol. En duplicar les dues càrregues iòniques, l’atracció electrostàtica es quadruplica aproximadament, ja que l’equació multiplica $z_1$ per $z_2$, i la menor distància interiònica del MgO reforça encara més l’atracció.

Radis iònics i exponents de Born habituals

Radis de cations seleccionats

Radis d’anions seleccionats

Exponents de Born típics

Aquests valors són punts de partida. Les fonts publicades de vegades indiquen xifres lleugerament diferents.

Factors que afecten l’energia reticular

L’energia reticular està relacionada amb diverses propietats que els químics poden mesurar directament.

• Punt de fusió. Una atracció iònica més forta sol implicar un punt de fusió més alt. Els ions de l’òxid de magnesi tenen el doble de càrrega que els ions del clorur de sodi i estan més junts, fet que dona al MgO una energia reticular molt més negativa. Aquesta és una de les raons per les quals el MgO es fon aproximadament a 2852 °C, mentre que el NaCl es fon aproximadament a 801 °C.
• Duresa. Els cristalls amb una energia reticular més alta solen resistir millor les ratllades i la deformació.
• Solubilitat. Els compostos amb una energia reticular molt alta solen ser més difícils de dissoldre en aigua, perquè separar el cristall requereix més energia de la que les molècules d’aigua poden proporcionar en envoltar els ions.

L’energia reticular també és un terme del cicle de Born-Haber, un mètode de comptabilitat que els químics utilitzen per determinar els canvis d’energia durant la formació d’un compost iònic a partir dels seus elements.

Limitacions de l’equació de Born-Landé i d’aquesta calculadora

Aquesta calculadora utilitza sempre la constant de Madelung de l’estructura de tipus halita (1,7476). Aquest valor és correcte per als compostos que cristal·litzen com el NaCl i el MgO, però no ho és per als compostos amb altres estructures, com el clorur de cesi o el fluorur de calci, que tenen constants de Madelung diferents. L’equació de Born-Landé també suposa que els ions són esferes perfectes i ignora efectes com el caràcter de l’enllaç covalent; per tant, els seus resultats són estimacions aproximades i no valors experimentals exactes.

Preguntes més freqüents

Què és l’energia reticular en termes senzills? És l’energia alliberada quan unes partícules carregades anomenades ions s’uneixen i formen un cristall sòlid. Un nombre més negatiu significa que els ions estan units amb més força.

Per què l’energia reticular sempre és negativa? Perquè la formació del sòlid allibera energia en lloc d’absorbir-la. Alguns llibres de text defineixen, en canvi, l’«entalpia reticular» com l’energia positiva necessària per separar el cristall; ambdues magnituds descriuen la mateixa força d’enllaç, però amb signes oposats.

Quin exponent de Born he d’utilitzar? Nou és un valor predeterminat habitual que funciona raonablement bé per a molts compostos iònics. Per a un compost concret, una referència de química o una base de dades de cristal·lografia indicarà un valor més precís basat en les configuracions electròniques dels seus ions.

Per què la calculadora no coincideix exactament amb el nombre del meu llibre de text? Els valors dels llibres de text solen provenir d’experiments (un cicle de Born-Haber), mentre que aquesta calculadora utilitza l’equació teòrica de Born-Landé. Els dos mètodes solen coincidir amb una diferència de pocs punts percentuals, però rarament donen exactament el mateix resultat.

Un ió més gran sempre implica una energia reticular més baixa? Normalment, sí. Els ions més grans augmenten la distància interiònica $r_0$, que apareix al denominador de l’equació; per tant, l’energia reticular es torna menys negativa a mesura que els ions augmenten de mida, si la resta de factors es manté igual.

Aquesta calculadora pot tractar qualsevol compost iònic? Funciona millor per a compostos simples que comparteixen l’estructura cristal·lina de tipus sal gemma, com el NaCl, el MgO i el CaO. És menys fiable per als compostos amb estructures cristal·lines diferents o amb un enllaç covalent important.

Referències

1. Atkins, P. W., i De Paula, J. (2014). Atkins’ Physical Chemistry (10a ed.). Oxford University Press.
2. Housecroft, C. E., i Sharpe, A. G. (2018). Inorganic Chemistry (5a ed.). Pearson.
3. Born, M., i Landé, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Shannon, R. D. (1976). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.