Calculadora de Desintegració Radioactiva - Calcula la Vida Mitja i la Quantitat Restant

Què és una calculadora de desintegració radioactiva?

Una calculadora de desintegració radioactiva determina quina quantitat d’una substància radioactiva queda després d’un període de temps determinat, a partir del seu període de semidesintegració. Introduïu una quantitat inicial, un període de semidesintegració i un temps transcorregut, i la calculadora retorna la quantitat restant juntament amb un gràfic de la corba de desintegració.

La desintegració radioactiva és un procés natural en què els nuclis atòmics inestables alliberen energia en forma de radiació i es transformen en un nucli diferent i més estable. Cada isòtop radioactiu es desintegra a una velocitat fixa pròpia, descrita pel seu període de semidesintegració: el temps que triga a desintegrar-se la meitat dels àtoms d’una mostra. Aquesta velocitat no canvia amb la temperatura, la pressió ni la forma química de la substància, per això els càlculs de desintegració són prou fiables per a usos que van des del tractament del càncer fins a la datació d’artefactes antics.

Fórmula de la desintegració radioactiva

La calculadora utilitza l’equació estàndard de desintegració exponencial:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — quantitat restant després del temps $t$
• $N_0$ — quantitat inicial
• $t$ — temps transcorregut
• $t_{1/2}$ — període de semidesintegració de l’isòtop

L’exponent $t / t_{1/2}$ compta quants períodes de semidesintegració han transcorregut. Després d’un període de semidesintegració, en queda la meitat de la quantitat original. Després de dos períodes, en queda una quarta part. Després de tres, en queda una vuitena part, i així successivament.

La mateixa llei sovint s’escriu amb una constant de desintegració, $\lambda$, en lloc del període de semidesintegració:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

Les dues formes donen resultats idèntics. La forma basada en el període de semidesintegració és més fàcil d’interpretar manualment, ja que $(1/2)^n$ té un significat evident quan el nombre de períodes de semidesintegració és enter.

Entendre el període de semidesintegració

Els períodes de semidesintegració varien enormement entre els isòtops. El poloni-214 té un període de semidesintegració d’aproximadament 164 microsegons. El tel·luri-128 té un període de semidesintegració d’uns 2,2 septilions (2,2 × 10²⁴) d’anys. Després d’uns 10 períodes de semidesintegració, en queda menys del 0,1 % d’una mostra; per això sovint s’utilitzen 10 períodes de semidesintegració com a regla aproximada per determinar quan una font radioactiva ha «desaparegut efectivament».

Com calcular la desintegració radioactiva

1. Introduïu la quantitat inicial. Pot expressar-se en qualsevol unitat —grams, àtoms, becquerels o curies— i el resultat es dona en la mateixa unitat.
2. Introduïu el període de semidesintegració de l’isòtop i la seva unitat de temps (segons, minuts, hores, dies o anys).
3. Introduïu el temps transcorregut i la seva unitat. No cal que la unitat coincideixi amb la del període de semidesintegració; la calculadora converteix totes dues quantitats a la mateixa unitat abans de calcular el resultat.
4. Llegiu la quantitat restant i el gràfic de la corba de desintegració, que mostra la quantitat durant tot el període de temps introduït.

Exemple resolt

El iode-131, utilitzat en el tractament i la imatgeria de la tiroide, té un període de semidesintegració de 8,02 dies. Si es comença amb 1.000 mil·licuris, quina quantitat en queda després de 24,06 dies?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ mil·licuris}$

Han transcorregut tres períodes de semidesintegració, de manera que la mostra s’ha reduït a la meitat tres vegades: 1.000 → 500 → 250 → 125 mil·licuris.

Isòtops habituals i els seus períodes de semidesintegració

Usos pràctics dels càlculs de desintegració

Medicina. Les fonts de radioteràpia, com el cobalt-60, perden intensitat a mesura que es desintegren; per tant, cal augmentar els temps d’exposició durant la vida útil de la font per administrar la mateixa dosi. Les exploracions de medicina nuclear utilitzen isòtops de vida curta, com el tecneci-99m, i es programen perquè l’exploració es faci mentre l’activitat és prou alta per obtenir imatges però prou baixa per limitar la dosi de radiació del pacient. Com que el seu període de semidesintegració és de 6 hores, després de 24 hores (quatre períodes de semidesintegració) en queda aproximadament el 6 % de l’activitat original; després de dos dies (vuit períodes de semidesintegració), en queda menys de l’1 %.

Datació. Els arqueòlegs estimen l’edat de les restes orgàniques mesurant la quantitat de carboni-14 que en queda, mitjançant el seu període de semidesintegració de 5.730 anys. Aquest mètode funciona fins aproximadament als 50.000–60.000 anys, més enllà dels quals queda massa poc carboni-14 per mesurar-lo. Els geòlegs daten roques que tenen una antiguitat molt superior mitjançant la desintegració urani-plom i potassi-argó; així és com es va estimar que l’edat de la Terra era d’uns 4,54 mil milions d’anys.

Seguretat i indústria. Després d’un accident nuclear, els isòtops de vida curta, com el iode-131, constitueixen un perill immediat però temporal, mentre que els de vida llarga, com el cesi-137 (uns 30 anys), continuen sent preocupants durant dècades. Les fonts de radiografia industrial es retiren quan la desintegració fa que els temps d’exposició siguin poc pràctics, i el combustible nuclear gastat s’emmagatzema durant anys en piscines de refrigeració perquè continua generant calor mentre es desintegra.

Limitacions d’aquesta calculadora

Aquesta calculadora gestiona la desintegració simple d’un sol isòtop en un producte estable. No modelitza:

• Cadenes de desintegració. Molts isòtops pesants es desintegren a través d’una sèrie de productes radioactius descendents abans d’arribar a un producte estable. Per exemple, l’urani-238 passa per aproximadament 14 etapes abans de convertir-se en plom-206 estable. Cal resoldre les equacions de Bateman, un conjunt d’equacions diferencials acoblades, per calcular la quantitat de cada isòtop intermedi.
• Mostres petites. La fórmula descriu el comportament mitjà d’un gran nombre d’àtoms. Amb només unes quantes desenes d’àtoms, el nombre real de desintegracions en qualsevol interval fluctua al voltant de la corba prevista.
• Calibratge. En les aplicacions de datació, les edats calculades inicialment no equivalen als anys del calendari. La datació amb carboni, per exemple, necessita corbes de calibratge que corregeixin els canvis passats del carboni-14 atmosfèric.

Preguntes més freqüents

Com es defineix el període de semidesintegració? El període de semidesintegració és el temps que triga a desintegrar-se la meitat dels àtoms radioactius d’una mostra. És constant per a un isòtop determinat, independentment de la mida de la mostra o de les condicions físiques.

La desintegració radioactiva es pot accelerar o alentir? En condicions normals, no. Les velocitats de desintegració no es veuen afectades per la temperatura, la pressió ni els enllaços químics. Aquesta constància és el que fa fiables la datació radiomètrica i la planificació de dosis. Alguns modes de desintegració poc habituals, com la captura electrònica, presenten canvis ínfims en la velocitat només en condicions extremes, com ara l’interior d’una estrella, que no s’apliquen a l’ús quotidià.

Què passa després que hagin transcorregut molts períodes de semidesintegració? La quantitat restant continua reduint-se a la meitat, però matemàticament mai no arriba a zero. Després de 10 períodes de semidesintegració, en queda aproximadament el 0,0977 %. Després de 20 períodes, en queda menys d’una milionèsima part de la quantitat original. En seguretat radiològica, 10 períodes de semidesintegració és un llindar habitual per considerar que una font ja no és significativa.

Com es converteix entre unitats de temps? 1 any = 365,25 dies, 1 dia = 24 hores, 1 hora = 60 minuts, 1 minut = 60 segons. La calculadora fa la conversió automàticament, de manera que el període de semidesintegració i el temps transcorregut es poden introduir en unitats diferents.

Aquesta calculadora es pot utilitzar per a la datació amb carboni? Pot donar una estimació bàsica utilitzant el període de semidesintegració de 5.730 anys del carboni-14. La datació professional utilitza corbes de calibratge publicades per convertir el resultat inicial en anys del calendari, ja que els nivells de carboni-14 atmosfèric han variat amb el temps.

Aquesta calculadora gestiona les cadenes de desintegració? No. Calcula la desintegració en una sola etapa, des d’un isòtop pare fins a un producte estable. Els isòtops que es desintegren a través d’una cadena de productes radioactius descendents, com l’urani-238, requereixen les equacions de Bateman, que aquesta eina no resol.