Kalkulačka kuželoseček - Kruh, Elipsa, Parabola

Co je kalkulačka kuželoseček?

Kalkulačka kuželoseček určuje excentricitu a standardní rovnici kružnice, elipsy, paraboly nebo hyperboly z několika měření. Tyto čtyři křivky vznikají, když rovina protne kužel pod různými úhly.

Čtyři kuželosečky

Příčné protnutí kužele vytvoří kružnici. Naklonění roviny vytvoří elipsu. Řez rovnoběžný s povrchovou přímkou kužele vytvoří parabolu. Řez procházející oběma částmi dvojkužele vytvoří hyperbolu.

Každá křivka má excentricitu, což je číslo udávající, jak moc se liší od dokonalé kružnice.

• Kružnice: $e = 0$
• Elipsa: $0 < e < 1$
• Parabola: $e = 1$
• Hyperbola: $e > 1$

Jak tuto kalkulačku používat

1. Zvolte typ kuželosečky: kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola.
2. Zadejte požadovaná měření.
   • Kružnice: poloměr ($r$)
   • Elipsa: hlavní poloosa ($a$) a vedlejší poloosa ($b$)
   • Parabola: ohnisková vzdálenost ($f$)
   • Hyperbola: příčná poloosa ($a$) a sdružená poloosa ($b$)
3. Excentricita a standardní rovnice se automaticky zobrazí, jakmile jsou pro zvolený typ kuželosečky zadány platné kladné hodnoty; není třeba klikat na tlačítko „Vypočítat“.
4. Pod výsledky se vykreslí graf křivky.

Kalkulačka vypíše rovnici s již dosazenými zadanými hodnotami, takže elipsa s $a = 5$ a $b = 3$ je zobrazena jako $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Jde o stejnou rovnici jako $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Excentricita se zobrazuje na čtyři desetinná místa.

Všechny vstupy musí být kladná čísla. U elipsy musí být hlavní poloosa alespoň stejně dlouhá jako vedlejší poloosa, protože hlavní poloosa je definována jako delší. Hyperbola takové pravidlo nemá: její příčná a sdružená poloosa mohou mít libovolné kladné délky, včetně stejných.

Vzorec pro kružnici

Pro kružnici s poloměrem $r$ se středem v počátku soustavy:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricita: $e = 0$.

Kružnice je zvláštním případem elipsy, u níž mají obě poloosy stejnou délku a obě ohniska leží ve středu.

Vzorec pro elipsu

Pro elipsu se středem v počátku soustavy, hlavní poloosou $a$ a vedlejší poloosou $b$, kde $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Příklad: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Rovnice: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Když $a = b$, elipsa se stává kružnicí a $e = 0$.

Vzorec pro parabolu

Pro parabolu otevřenou doprava s ohniskovou vzdáleností $f$ (vzdáleností vrcholu od ohniska):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricita: $e = 1$, vždy.

Příklad: $f = 2$. Rovnice: $y^2 = 8x$.

Vzorec pro hyperbolu

Pro hyperbolu se středem v počátku soustavy, příčnou poloosou $a$ a sdruženou poloosou $b$, kde $a$ a $b$ jsou libovolná kladná čísla:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Příčná poloosa $a$ je polovinou vzdálenosti mezi dvěma vrcholy, tedy body, v nichž se křivka stáčí. Sdružená poloosa $b$ je polovinou délky sdružené osy, úsečky vedené středem kolmo k příčné ose. Určuje, jak rychle se větve rozevírají.

Na rozdíl od elipsy hyperbola nevyžaduje, aby $a$ bylo větší než $b$. Tyto dvě délky jsou nezávislé, takže $b$ může být menší než, rovno nebo větší než $a$. Když $a = b$, křivka se nazývá pravoúhlá hyperbola a její excentricita je $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Příklad: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Rovnice: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Praktické využití kuželoseček

Planety a komety obíhají po drahách ve tvaru kuželoseček. První Keplerův zákon říká, že oběžná dráha planety je elipsa se Sluncem v jednom ohnisku. Některé komety se pohybují po parabolických nebo hyperbolických drahách a nikdy se nevracejí.

Paraboly soustřeďují rovnoběžné paprsky do jediného bodu, proto inženýři používají parabolické tvary u satelitních antén, zrcadel dalekohledů a automobilových světlometů. Hyperbolické křivky se objevují na stěnách chladicích věží, kde tento tvar zajišťuje pevnost při menší spotřebě materiálu. Elipsy se používají u oblouků, stropů s šeptající galerií a při návrhu ozubených kol.

Stručná historie kuželoseček

Řecký matematik Menéchmos studoval kuželosečky kolem 350 př. n. l. při pokusu vyřešit problém zdvojení krychle. Apollónios z Pergy napsal kolem 200 př. n. l. podrobný spis nazvaný Kuželosečky. Pojmenoval elipsu, parabolu a hyperbolu a popsal jejich vlastnosti. O staletí později použil Johannes Kepler elipsu k popisu pohybu planet a Isaac Newton využil kuželosečky k vysvětlení gravitace.

Často kladené otázky

Jaké jsou čtyři typy kuželoseček?

Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola. Každá vzniká, když rovina protne kužel pod jiným úhlem, a každá má jiný rozsah excentricity.

Jak se vypočítá excentricita?

Excentricita je pro kružnici ($e = 0$) a parabolu ($e = 1$) pevně daná. Pro elipsu platí $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, kde $a$ je hlavní poloosa a $b$ vedlejší poloosa. Pro hyperbolu platí $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, kde $a$ je příčná poloosa a $b$ sdružená poloosa.

Musí být příčná poloosa hyperboly delší než její sdružená poloosa?

Ne. Na rozdíl od hlavní a vedlejší poloosy elipsy jsou příčná poloosa ($a$) a sdružená poloosa ($b$) hyperboly nezávislá měření. Obě musí být kladné, ale kterákoli z nich může být delší.

Může se elipsa stát kružnicí?

Ano. Když se hlavní poloosa rovná vedlejší poloose, elipsa je kružnicí a její excentricita je 0.

Proč mají satelitní antény parabolický tvar?

Parabola odráží paprsky, které se šíří rovnoběžně s její osou, do jediného ohniska. Satelitní antény a zrcadla dalekohledů tuto vlastnost využívají ke koncentraci signálů nebo světla do jednoho bodu.

Co je pravoúhlá hyperbola?

Pravoúhlá hyperbola je hyperbola, u níž se příčná poloosa rovná sdružené poloose ($a = b$). Její asymptoty jsou kolmé a její excentricita je $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Reference

1. Kuželosečka – Wikipedie
2. Excentricita kuželoseček – Khan Academy
3. Kuželosečky – OpenStax