Kalkulačka průměru kužele - Výpočet z výšky a poloměru

Jaký je průměr kužele?

Průměr kužele je šířka jeho kruhové základny měřená v přímce procházející středem. Je roven dvojnásobku poloměru základny. Kužel lze také popsat jeho výškou (přímou vzdáleností od základny k vrcholu) a tvořící (vzdáleností od vrcholu po povrchu kužele k okraji základny). Pokud jsou známy kterékoli dvě z těchto tří hodnot, lze zjistit třetí.

Vzorec pro průměr kužele

Průměr lze zjistit dvěma běžnými způsoby podle toho, která měření jsou k dispozici.

Z výšky a tvořící:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Zde d označuje průměr, s tvořící a h výšku. Tento vztah vychází z Pythagorovy věty: tvořící je přepona pravoúhlého trojúhelníku vytvořeného výškou a poloměrem, takže $s^2 = h^2 + r^2$. Vyjádřením poloměru a jeho vynásobením dvěma získáme průměr. Kalkulačka vypočítá stejnou hodnotu v ekvivalentním tvaru $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Oba tvary dávají stejný výsledek, ale druhý zachovává více platných číslic, když je tvořící jen o málo větší než výška.

Z poloměru:

$d = 2r$

Jde pouze o definici průměru. Pokud je poloměr již znám, není potřeba žádné další měření.

Tvořící musí být vždy delší než výška, protože je přeponou pravoúhlého trojúhelníku a přepona je vždy jeho nejdelší stranou. Pokud je tvořící stejně dlouhá jako výška nebo kratší, popsaný útvar není platným kuželem.

Jak vypočítat průměr kužele

Metoda 1: výška a tvořící

1. Změřte výšku (h), přímou svislou vzdálenost od základny k vrcholu.
2. Změřte tvořící (s), vzdálenost od vrcholu k okraji základny po povrchu kužele.
3. Umocněte obě hodnoty na druhou, od druhé mocniny tvořící odečtěte druhou mocninu výšky a vypočítejte druhou odmocninu: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Výsledek vynásobte 2, abyste získali průměr.

Metoda 2: poloměr

1. Změřte poloměr (r), vzdálenost od středu základny k jejímu okraji.
2. Vynásobte jej 2.

V daném okamžiku by měla být použita pouze jedna z těchto dvou metod. Zadání výšky, tvořící a poloměru současně je nejednoznačné, protože tyto tři hodnoty nemusí popisovat konzistentní kužel.

Příklad výpočtu

Příklad 1: výška a tvořící

Kužel má výšku 3 jednotek a tvořící 5 jednotek.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Průměr je 8 jednotek.

Příklad 2: poloměr

Kužel má poloměr 4 jednotek.

$d = 2 \times 4 = 8$

Průměr je 8 jednotek. To odpovídá příkladu 1, protože kužel s výškou 3 a tvořící 5 má poloměr základny 4.

Příklad 3: plochý kužel

Kužel má výšku 0,1 jednotek a tvořící 10 jednotek.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Průměr je přibližně 20,00 jednotek. Když je výška ve srovnání s tvořící velmi malá, průměr se blíží dvojnásobku tvořící.

Příklad 4: kužel podobný jehle

Kužel má výšku 9,99 jednotek a tvořící 10 jednotek.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Průměr je přibližně 0,89 jednotek. Když je tvořící jen nepatrně delší než výška, kužel je vysoký a úzký a jeho průměr základny je malý.

Kde se používají výpočty průměru kužele

S průměrem kužele se setkáváme všude tam, kde se měří nebo vyrábějí kuželovité tvary. Inženýři jej používají při navrhování trychtýřů, trysek a kuželových nádrží. Výrobci jej využívají k určení rozměrů forem a kuželových součástí. Geologové používají podobná měření k popisu sopečných kuželů. Stejný vztah mezi výškou, tvořící a poloměrem platí pro každý rotační kužel, od papírové narozeninové čepičky po kuželovou špičku rakety.

Dějiny

Matematické studium kuželoseček sahá až do starověkého Řecka. Apollónios z Pergy, který působil kolem 200 př. n. l., napsal významné pojednání nazvané Kuželosečky, v němž zkoumal, jak roviny protínají kužele a vytvářejí kružnice, elipsy, paraboly a hyperboly. Základní vztah mezi výškou kužele, jeho poloměrem a tvořící, založený na Pythagorově větě, je znám již od starověku a používá se dodnes.

Často kladené otázky

Jaký je průměr kužele?

Je to šířka kruhové základny kužele měřená přímo přes střed. Je roven dvojnásobku poloměru základny.

Jak zjistit průměr kužele bez poloměru?

Použijte výšku a tvořící spolu se vzorcem $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Pythagorova věta se pomocí něj použije k výpočtu poloměru, který se následně vynásobí dvěma.

Jaký je vztah mezi průměrem kužele, jeho výškou a tvořící?

Výška, poloměr a tvořící tvoří pravoúhlý trojúhelník. Tvořící je přepona, výška je jedna odvěsna a poloměr druhá odvěsna: $s^2 = h^2 + r^2$. Průměr je dvojnásobkem poloměru.

Proč kalkulačka některé hodnoty odmítá?

Výška musí být větší než nula. Tvořící musí být větší než výška, protože přepona nemůže být kratší než odvěsna ani stejně dlouhá. Poloměr musí být větší než nula. Výška a tvořící nebo poloměr se mají zadávat samostatně; zadání všech tří hodnot současně je nejednoznačné, a proto je odmítnuto. Pokud je spolu s výškou zadán poloměr, použije se pouze poloměr, protože ten již jednoznačně určuje průměr.

Může mít kužel dva různé průměry?

Běžný kužel má jeden průměr, a to u základny, a ve vrcholu se sbíhá do jediného bodu. Komolý kužel, tedy kužel s odříznutou špičkou, má dva průměry, jeden na každém z obou rovných konců.

Jaké jednotky se mají používat?

Lze použít jakékoli kompatibilní jednotky, například centimetry, metry nebo palce. Výsledek je ve stejné jednotce, jaká byla použita pro vstupní hodnoty.

Reference

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J. J. a Robertson, E. F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/