Kalkulačka pravého kruhového kužele - Objem, Povrch a Vzorce

Co je kolmý kruhový kužel?

Pravý kruhový kužel je těleso s rovinnou kruhovou podstavou a jedním zakřiveným pláštěm, který se zužuje do jediného bodu zvaného vrchol. Je „pravý“, protože vrchol leží přímo nad středem podstavy. Úsečka vedená z vrcholu kolmo dolů k podstavě se s podstavou protíná v pravém úhlu. Tato kalkulačka vypočítá z poloměru a výšky objem kužele, obsah podstavy, obsah pláště a celkový povrch.

Mezi běžné příklady tohoto tvaru patří dopravní kužely, kornouty na zmrzlinu, trychtýře a střechy některých věží.

Rozměry kužele

Rotační kužel popisují dva rozměry:

• Poloměr (r): vzdálenost od středu kruhové podstavy k jejímu okraji.
• Výška (h): přímá svislá vzdálenost od podstavy k vrcholu.

Třetí délka, stranová výška (l), je vzdálenost podél vnější strany kužele od vrcholu k okraji podstavy. Neměří se přímo. Vypočítává se z poloměru a výšky, protože tyto tři délky tvoří pravoúhlý trojúhelník. Kalkulačka používá stranovou výšku k výpočtu obsahu pláště, ale nezobrazuje ji jako samostatný výsledek.

Kalkulačka neurčuje jednotku. Zadejte poloměr a výšku ve stejné jednotce. Každý obsah pak vyjde v této jednotce na druhou a objem v této jednotce na třetí. Ani jedna hodnota nesmí být záporná, protože délka nemůže být záporná; kalkulačka místo výsledku zobrazí zprávu. Výsledky se uvádějí na čtyři desetinná místa.

Vzorce pro kužel

Vzorec pro výpočet strany kužele

Poloměr, výška a stranová výška tvoří pravoúhlý trojúhelník, takže stranová výška vyplývá z Pythagorovy věty:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Vzorec pro obsah podstavy

Podstava je kruh, takže její obsah se počítá standardním vzorcem pro obsah kruhu:

$$A_b = \pi r^2$$

Vzorec pro obsah pláště

Obsah pláště zahrnuje pouze zakřivenou stranu, nikoli podstavu. Kdyby se zakřivená strana rozvinula do roviny, vytvořila by kruhovou výseč s obsahem:

$$A_l = \pi r l$$

Vzorec pro celkový povrch

Celkový povrch je součtem podstavy a zakřivené strany:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Kužel otevřený u podstavy, například papírový trychtýř, potřebuje pro výpočty množství materiálu pouze obsah pláště.

Vzorec pro objem kužele

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Objem kužele je přesně jedna třetina objemu válce se stejnou podstavou a výškou. Archimédés tento vztah dokázal metodou, která předcházela kalkulu. Později byl tento vztah potvrzen pomocí integrálního počtu, který kužel chápe jako nekonečnou řadu zmenšujících se kruhových disků od podstavy k vrcholu.

Jak vypočítat objem kužele: řešený příklad

Uvažujme kužel s poloměrem r = 5 jednotek a výškou h = 12 jednotek.

1. Určete stranovou výšku.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ jednotek}$$

2. Určete obsah podstavy.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ jednotek}^2$$

3. Určete obsah pláště.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ jednotek}^2$$

4. Určete celkový povrch.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ jednotek}^2$$

5. Určete objem.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ jednotek}^3$$

Schéma

Přerušovaná svislá čára je výška od podstavy k vrcholu. Přerušovaná vodorovná čára je poloměr od středu podstavy k jejímu okraji.

Kde se kužele vyskytují v běžném životě

Výpočty objemu a povrchu kužele se používají v několika praktických oblastech:

• Výroba plechových součástí: obsah pláště určuje množství rovinného materiálu potřebného k vytvoření kuželové násypky, trychtýře nebo redukce potrubí, ještě před přidáním přídavku na švy a odpad.
• Skladovací kapacita: vzorec pro objem určuje kapacitu kuželových nádrží a kuželových den sil.
• Stavebnictví: věžičky, zakončení věží a další kuželové prvky střech využívají obsah pláště k odhadu množství střešního materiálu.
• Předměty běžné potřeby: papírové kelímky, kornouty na zmrzlinu a dopravní kužely jsou přibližně rotační kužely.

Tato kalkulačka předpokládá dokonalý kužel s kruhovou podstavou a vrcholem umístěným nad jejím středem. Kužel odříznutý nahoře, nazývaný komolý kužel, vyžaduje jinou sadu vzorců, protože má dva poloměry místo jednoho.

Dějiny

Staří řečtí matematici studovali kužele již přibližně kolem roku 300 př. n. l. Eukleidovy Základy definovaly kužel jako těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho odvěsen. Později Apollónios z Pergy studoval křivky vznikající průřezem kužele pod různými úhly, dnes nazývané kuželosečky: kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Vzorec pro objem V = (1/3)πr²h dokázal Archimédés metodou vyčerpání, geometrickou technikou, která předešla integrálnímu kalkulu přibližně o 2 000 let.

Často kladené otázky

Co dělá kužel „kolmým kruhovým“?

„Kolmý“ znamená, že vrchol leží přímo nad středem podstavy, takže osa je kolmá k podstavě. U šikmého kužele je vrchol vychýlen na jednu stranu. „Kruhový“ znamená, že podstavou je kruh, nikoli elipsa nebo jiný tvar.

Jaký je vzorec pro objem kužele?

V = (1/3)πr²h, kde r je poloměr podstavy a h je kolmá výška. Objem nevyžaduje stranovou výšku.

Jaký je vzorec pro povrch kužele?

Celkový povrch je A = πr² + πrl, kde r je poloměr a l je strana kužele. První člen představuje obsah podstavy a druhý obsah pláště. První člen vynechte, pokud kužel nemá podstavu, například u otevřeného trychtýře.

Co je strana kužele a jak se liší od výšky?

Výška je přímá svislá vzdálenost od podstavy k vrcholu měřená vnitřkem kužele. Strana kužele je vzdálenost podél vnějšího povrchu od vrcholu k okraji podstavy. Souvisí spolu vztahem l = √(r² + h²), přičemž strana kužele je vždy delší z obou délek, pokud je poloměr větší než nula.

Jak zjistím objem kužele z jeho průměru?

Vydělte průměr číslem 2, abyste získali poloměr, a poté použijte V = (1/3)πr²h. Například kužel s průměrem 10 cm a výškou 15 cm má poloměr 5 cm, takže V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Funguje tato kalkulačka pro komolé kužele?

Ne. Komolý kužel je kužel s odříznutým vrcholem, takže má dva poloměry místo jednoho a vyžaduje vlastní vzorce pro objem a povrch.