Boční plocha kužele - Volný online nástroj

Obsah pláště kužele

Obsah pláště kužele je plocha jeho zakřiveného bočního povrchu bez ploché kruhové podstavy. Nazývá se také obsah bočního povrchu. U rotačního kužele jej lze určit pouze ze dvou měření: poloměru podstavy a výšky kužele.

Co je obsah pláště?

Kužel má dva povrchy: plochou kruhovou podstavu a zakřivený povrch, který se od podstavy svažuje k vrcholu (špičatému konci). Obsah pláště zahrnuje pouze zakřivenou část. Pokud kužel rozříznete podél jedné šikmé hrany a rozvinete jej, plášť se rozvine do kruhové výseče. Obsah této výseče se rovná obsahu pláště kužele.

To se liší od celkového povrchu, do něhož se znovu započítává podstava.

Vzorec pro obsah pláště kužele

Obsah pláště L rotačního kužele je:

$L = \pi r s$

• r je poloměr kruhové podstavy
• s je tvořící, tedy přímá vzdálenost od okraje podstavy k vrcholu
• L je obsah pláště ve čtverečních jednotkách

Určení tvořící

Většina lidí zná spíše poloměr kužele a jeho kolmou výšku (h), tedy svislou vzdálenost od podstavy k vrcholu, než jeho tvořící. Poloměr, výška a tvořící tvoří pravoúhlý trojúhelník, takže tvořící získáme pomocí Pythagorovy věty:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Kombinovaný vzorec

Dosazením tohoto výrazu do vzorce pro obsah pláště získáme úplný vzorec, který používá pouze poloměr a výšku:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Jak vypočítat obsah pláště kužele

1. Změřte nebo si poznamenejte poloměr (r) podstavy.
2. Změřte nebo si poznamenejte kolmou výšku (h) od podstavy k vrcholu.
3. Určete tvořící: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. Vynásobte: $L = \pi \times r \times s$.
5. Odečtěte výsledek. Tato kalkulačka počítá s plnou přesností a zobrazuje výsledek zaokrouhlený na čtyři desetinná místa.

Kalkulačka na této stránce provádí tyto kroky automaticky. Zadejte poloměr a výšku a zobrazí se obsah pláště spolu s diagramem kužele.

Pravidla pro zadávání

Poloměr a výška nesmějí být záporné. Zadání záporné hodnoty místo výsledku zobrazí chybové hlášení. Hodnota nula je povolena. Výška rovná nule zploští kužel na jeho vlastní podstavu, takže tvořící se rovná poloměru a vzorec vrátí obsah tohoto kruhu podstavy, $\pi r^2$. Poloměr rovný nule zredukuje kužel na přímku a obsah pláště je 0.

Příklad výpočtu

Uvažujme kužel s poloměrem 3 m a výškou 4 m.

1. Tvořící: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. Obsah pláště: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

Druhý příklad: poloměr 2 m a výška 10 m.

1. Tvořící: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. Obsah pláště: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

Vyšší kužel se stejným poloměrem má delší tvořící, takže jeho obsah pláště je větší, i když podstava má stejnou velikost.

Obsah pláště a celkový povrch

Obsah pláště nezahrnuje podstavu. Celkový povrch ji znovu započítává:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

Samotný obsah pláště použijte, když záleží pouze na zakřiveném povrchu, například při výpočtu množství materiálu potřebného k obalení nebo potažení strany kužele. Celkový povrch použijte, když je odkrytá i podstava a je třeba ji pokrýt, natřít nebo zohlednit.

Kde se tento výpočet používá

• Výroba: odhad množství plechu, tkaniny nebo nátěru potřebného pro kuželovité součásti, trychtýře nebo stínidla.
• Stavebnictví: výpočet materiálu pro kuželovité střechy nebo věže.
• Balení a design: určení velikosti papíru nebo lepenky pro nádoby kuželovitého tvaru.
• Strojírenství: špičky raket, násypky a další kuželovité součásti v leteckém a průmyslovém designu.

Dějiny

Starověcí řečtí matematici studovali kužely a křivky vznikající jejich řezáním, známé jako kuželosečky. Apollónios z Pergy napsal rozsáhlé pojednání o tomto tématu, které po staletí ovlivňovalo způsob, jakým geometři popisovali kužely. Vzorce pro povrch kužele přímo vycházejí ze stejných geometrických vztahů, které odvodil on a dřívější matematici, například Eukleidés.

Často kladené otázky

Jaký je rozdíl mezi obsahem pláště a celkovým povrchem kužele? Obsah pláště zahrnuje pouze zakřivenou stranu. Celkový povrch tvoří zakřivená strana a kruhová podstava: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

Jak zjistit obsah pláště kužele bez měření tvořící? Použijte $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. Tím se tvořící automaticky určí z poloměru a výšky pomocí Pythagorovy věty.

V jakých jednotkách se výsledek udává? Ve čtverečních jednotkách odpovídajících vstupním údajům. Pokud jsou poloměr a výška uvedeny v metrech, obsah pláště je v metrech čtverečních; pokud jsou uvedeny v palcích, výsledek je ve čtverečních palcích.

Mohou být poloměr a výška uvedeny v různých jednotkách? Ne. Před zadáním musí být obě hodnoty ve stejné jednotce délky, jinak bude výsledek nesprávný.

Co se stane, když zadám záporné číslo? Kalkulačka je odmítne a zobrazí chybu, protože kužel nemůže mít záporný poloměr ani výšku.

Jaký je vzorec pro obsah pláště komolého kužele (kužele s odříznutou špičkou)? U komolého kužele s horním poloměrem $r_1$ a dolním poloměrem $r_2$ platí: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. Jde o jiný vzorec než u úplného kužele.

Reference

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — webový zdroj Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." CK-12 Foundation. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopaedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga