Šikmá výška kužele

Šikmá výška kužele je vzdálenost od vrcholu, tedy špičky, k okraji kruhové podstavy, měřená podél vnějšího povrchu kužele. Liší se od výšky, která vede přímo středem kužele. Tato kalkulačka vypočítá šikmou výšku, poloměr nebo výšku rotačního kužele z dalších dvou hodnot.

Co je šikmá výška?

Rotační kužel má plochou kruhovou podstavu a špičatý vrchol přímo nad jejím středem. Jeho tvar popisují tři rozměry:

• Poloměr (r) — vzdálenost od středu podstavy k jejímu okraji.
• Výška (h) — přímá, kolmá vzdálenost od podstavy k vrcholu.
• Šikmá výška (l) — vzdálenost od vrcholu k okraji podstavy, měřená podél šikmého povrchu.

Tyto tři délky tvoří pravoúhlý trojúhelník. Výška je jedna odvěsna, poloměr druhá odvěsna a šikmá výška je přepona, tedy nejdelší strana ležící naproti pravému úhlu.

Vzorec pro šikmou výšku kužele

Protože poloměr, výška a šikmá výška tvoří pravoúhlý trojúhelník, platí Pythagorova věta:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Zde $l$ označuje šikmou výšku, $r$ poloměr a $h$ výšku.

Vzorec lze upravit tak, aby určil kteroukoli z dalších dvou délek, pokud známe šikmou výšku a jednu další hodnotu.

Pro výpočet poloměru:

$$r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

Pro výpočet výšky:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$

Jak vypočítat šikmou výšku kužele

1. Změřte nebo zjistěte poloměr a výšku kužele; obě hodnoty musí být ve stejné jednotce (například obě v centimetrech).
2. Umocněte každou hodnotu na druhou a potom oba výsledky sečtěte.
3. Z tohoto součtu vypočítejte druhou odmocninu. Výsledkem je šikmá výška ve stejné jednotce.

Kalkulačka zaokrouhluje výsledek na čtyři desetinná místa.

Příklad výpočtu

Kužel má poloměr 3 jednotek a výšku 4 jednotek. Šikmou výšku vypočítáme takto:

$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ jednotek}$$

Šikmá výška je 5 jednotek.

Stejný postup funguje i opačně. Kužel má šikmou výšku 13 jednotek a výšku 12 jednotek. Poloměr vypočítáme takto:

$$r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ jednotek}$$

Poloměr je 5 jednotek.

Platné hodnoty

Poloměr, výška i šikmá výška musí být kladná čísla. Kužel s poloměrem nebo výškou rovnou nule nemá objem a není skutečným trojrozměrným útvarem.

Šikmá výška musí být vždy delší než poloměr i výška. Vyplývá to přímo z Pythagorovy věty: přepona pravoúhlého trojúhelníku je vždy delší než kterákoli odvěsna. Pokud je zadaná šikmá výška kratší nebo stejně dlouhá jako zadaný poloměr či výška, s těmito rozměry neexistuje platný kužel a kalkulačka místo zobrazení nesprávného čísla oznámí neplatný vstup. Stejným způsobem jsou odmítnuty i údaje, které nejsou běžnými čísly, například text nebo číslo příliš velké na zpracování kalkulačkou.

Proč je šikmá výška důležitá

Šikmá výška se používá k výpočtu obsahu pláště kužele, tedy zakřiveného povrchu bez podstavy, pomocí vzorce $\pi r l$. To je důležité například při:

• Řezání plechu nebo papíru do správného tvaru výseče pro vytvoření kužele, například u trychtýřů, papírových kelímků nebo stínidel.
• Odhadu množství materiálu pro kuželové střechy, věže nebo sila.
• Řešení geometrických úloh, které ve třech rozměrech využívají Pythagorovu větu.

Často kladené otázky

Co je šikmá výška kužele? Je to vzdálenost od vrcholu kužele k okraji jeho podstavy, měřená podél šikmého povrchu, nikoli přímo dolů středem kužele.

Jak se vypočítá šikmá výška kužele? Použijte $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, kde $r$ je poloměr a $h$ výška. Umocněte obě hodnoty na druhou, sečtěte je a vypočítejte druhou odmocninu.

Jaký je rozdíl mezi šikmou výškou a výškou? Výška je přímka kolmá k podstavě, která vede od podstavy k vrcholu. Šikmá výška vede po vnějším povrchu kužele od vrcholu k okraji podstavy, a proto je vždy delší.

Může být šikmá výška kratší než poloměr nebo výška? Ne. Protože šikmá výška je přepona pravoúhlého trojúhelníku tvořeného poloměrem a výškou, je vždy delší než kterákoli z nich.

Platí tento vzorec pro každý kužel? Platí pro rotační kužel, tedy kužel s kruhovou podstavou a vrcholem umístěným přímo nad jejím středem. U kosého kužele, jehož vrchol je vychýlený na jednu stranu, je nutný jiný výpočet.

Jaké jednotky se mají použít? Lze použít libovolné jednotky, pokud jsou poloměr a výška zadány ve stejné jednotce. Výsledek bude ve stejné jednotce.

Reference

1. Kužel – Wikipedie
2. Pythagorova věta – Khan Academy