Kalkulačka povrchu

Q: Jaký je vzorec pro povrch koule?

$SA = 4\pi r²$, kde r je poloměr. Koule s poloměrem 5 m má povrch přibližně 314,16 m².

Povrch trojrozměrného tělesa je celková plocha všech stěn a zakřivených povrchů, které pokrývají jeho vnější stranu, měřená ve čtverečních jednotkách, například metrech čtverečních nebo stopách čtverečních. Tato kalkulačka určuje povrch sedmi běžných těles: koule, krychle, válce, jehlanu, kužele, kvádru a trojbokého hranolu.

Co znamená povrch

Povrch je součet ploch všech vnějších povrchů tělesa. Povrch krychle je součet ploch jejích šesti rovných čtvercových stěn. Povrch koule je plocha jejího jediného zakřiveného vnějšího povrchu. Povrch se liší od objemu, který měří prostor uvnitř tělesa, nikoli plochu jeho hranice. Obě veličiny se měří v různých jednotkách: povrch ve čtverečních jednotkách (m²), objem v krychlových jednotkách (m³).

Jak vypočítat povrch

Vyberte těleso ze seznamu sedmi možností.
Zadejte rozměry potřebné pro dané těleso:
- Koule: poloměr
- Krychle: délka hrany
- Válec: poloměr a výška
- Jehlan: délka základny, šířka základny a šikmá výška
- Kužel: poloměr a výška
- Kvádr: délka, šířka a výška
- Trojboký hranol: délka základny, výška trojúhelníkové stěny a délka hranolu
Výsledek se zobrazí automaticky, jakmile má každé požadované pole hodnotu.
Odečtěte povrch ve čtverečních jednotkách. Tlačítko pro kopírování vedle výsledku jej zkopíruje do schránky.

Dokud je některé požadované pole prázdné, kalkulačka zobrazuje místo výsledku krátkou výzvu. Jakmile mají všechna pole hodnotu, číslo rovné nule nebo záporné číslo vyvolá chybové hlášení.

U jehlanu platí pro každou základnu, čtvercovou i obdélníkovou, ještě jedno pravidlo: zadaná šikmá výška musí být delší než polovina šířky základny. Polovina šířky základny je vzdálenost od středu základny ke středu hrany základny o délce základny. Šikmá výška, která se této hodnotě rovná nebo je kratší, by neposkytla žádný prostor pro svislou výšku, takže takový jehlan neexistuje a kalkulačka vrátí chybu.

Vzorce pro výpočet povrchu

V níže uvedených vzorcích je r poloměr, h výška, l délka, w šířka, b délka základny a s šikmá výška.

Koule: $SA = 4\pi r²$
Krychle: $SA = 6a²$ , kde a je délka hrany
Válec: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , tedy obsah dvou kruhových podstav a zakřiveného pláště
Kužel: $SA = \pi r² + \pi rs$ , kde šikmá výška je $s = \sqrt{r² + h²}$
Jehlan se čtvercovou základnou: $SA = l² + 2ls$ , kde l je délka základny a s je šikmá výška trojúhelníkové stěny
Kvádr: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Trojboký hranol (trojúhelníkový průřez se základnou b, výškou h a dvěma stejnými šikmými stranami $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , kde L je délka hranolu a $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ pro symetrický (rovnoramenný) trojúhelník

Jehlan s obdélníkovou základnou má dvě různé šikmé výšky, jednu pro každou dvojici trojúhelníkových stěn. Pole Šikmá výška používá šikmou výšku s dvou stěn, které stojí na hranách o délce základny. Z ní kalkulačka určí svislou výšku h pomocí $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ a poté vypočítá druhou dvojici stěn:

Jehlan s obdélníkovou základnou: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , kde l je délka základny, w je šířka základny a h je svislá výška odvozená z s.

Výše uvedený vzorec pro čtvercovou základnu je zvláštním případem tohoto vzorce, pokud jsou délka a šířka základny stejné (s přesností do 0,001 zadaných jednotek).

Příklad výpočtu

Koule, poloměr 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 m²

Krychle, délka hrany 3 m: SA = 6(3)² = 54 m²

Válec, poloměr 2 m, výška 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 m²

Kužel, poloměr 3 m, výška 4 m: výška boční stěny = √(3² + 4²) = 5 m, takže SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 m²

Jehlan se čtvercovou základnou, délka základny 4 m, výška boční stěny 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

Jehlan s obdélníkovou základnou, délka základny 6 m, šířka základny 8 m, výška boční stěny 5 m: polovina šířky základny je 4 m, takže svislá výška je √(5² − 4²) = 3 m. Druhá dvojice stěn má výšku boční stěny √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 m²

Kvádr, délka 4 m, šířka 3 m, výška 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

Trojboký hranol, základna 3 m, výška trojúhelníku 4 m, délka hranolu 5 m: dvě stejné šikmé strany jsou √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 m²

Jednotky a přesnost

Všechny zadané rozměry by měly používat stejnou jednotku, například metry, stopy nebo centimetry. Výsledek je uveden v jednotkách na druhou. Kalkulačka interně počítá s plnou přesností čísel s plovoucí desetinnou čárkou a zobrazuje výsledek zaokrouhlený na dvě desetinná místa.

Proč je povrch důležitý

Povrch se používá k odhadu množství barvy nebo nátěru potřebného na stěnu či předmět, materiálu potřebného pro obal a plechu nebo látky potřebných ke zhotovení nádoby. V biologii a chemii ovlivňuje povrch buňky nebo částice katalyzátoru rychlost výměny látek s okolím, protože k výměně dochází přes povrch. V technice ovlivňuje povrch radiátoru nebo tepelného výměníku rychlost přenosu tepla.

Často kladené otázky

Co je povrch? Povrch je celková plocha všech vnějších stěn nebo zakřivených povrchů trojrozměrného objektu, uvedená ve čtverečních jednotkách.

Jaký je vzorec pro povrch koule? $SA = 4\pi r²$ , kde r je poloměr. Koule s poloměrem 5 m má povrch přibližně 314,16 m².

Jak se vypočítá povrch válce? Přičtěte obsah dvou kruhových podstav k obsahu zakřiveného pláště: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , kde r je poloměr a h je výška.

Jaký je rozdíl mezi povrchem a objemem? Povrch měří vnější hranici tělesa ve čtverečních jednotkách. Objem měří prostor ohraničený touto hranicí v krychlových jednotkách. Povrch a objem tělesa obvykle rostou při zvětšování jeho velikosti různou rychlostí.

Dokáže tato kalkulačka pracovat s jehlanem s obdélníkovou základnou? Ano. Zadejte délku a šířku základny, které se navzájem liší, a výšku bočních stěn přiléhajících k hranám základny o délce základny. Kalkulačka z těchto tří hodnot odvodí výšku jehlanu a druhou výšku boční stěny.

Proč je u jehlanu někdy zobrazena chyba? Apotéma musí být větší než polovina šířky základny. Při této hodnotě nebo pod ní by jehlan měl nulovou nebo imaginární výšku, takže takové těleso neexistuje a nelze uvést jeho povrch.

Jaká tělesa tato kalkulačka podporuje? Kouli, krychli, válec, jehlan, kužel, kvádr a trojboký hranol.

Reference

"Surface Area." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — webový zdroj Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Kalkulačka povrchu - Volný nástroj pro všechny 3D tvary

Kalkulátor povrchu

Dokumentace