Řešitel kvadratické rovnice - Výpočet kořenů ax² + bx + c = 0

Co je kvadratická rovnice?

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru $ax^2 + bx + c = 0$, kde $a$, $b$ a $c$ jsou čísla a $a$ není nula. Řešitel kvadratických rovnic na této stránce najde hodnotu nebo hodnoty $x$, pro které je rovnice pravdivá, pomocí koeficientů $a$, $b$ a $c$ zadaných uživatelem.

Kdyby $a$ bylo nula, člen $x^2$ by zmizel a rovnice by se místo kvadratické stala lineární. Z tohoto důvodu kalkulačka vyžaduje $a \neq 0$ a při $a = 0$ zobrazí chybu.

Kvadratický vzorec

Každou kvadratickou rovnici ve tvaru $ax^2 + bx + c = 0$ lze vyřešit pomocí kvadratického vzorce:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Znaménko $\pm$ označuje dva samostatné výpočty, jeden se znaménkem plus a druhý se znaménkem minus. Proto může mít kvadratická rovnice dvě různá řešení.

Výraz pod odmocninou, $b^2 - 4ac$, se nazývá diskriminant. Obvykle se zapisuje jako $\Delta$ (řecké písmeno delta). Samotný diskriminant určuje, kolik má rovnice reálných řešení, ještě před provedením zbytku výpočtu.

Jak vypočítat kořeny

1. Zapište rovnici ve standardním tvaru, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Určete koeficienty $a$, $b$ a $c$.
3. Vypočítejte diskriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Pokud je $\Delta$ kladný, vypočítejte oba kořeny pomocí $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Pokud je $\Delta$ roven nule, vypočítejte jediný kořen pomocí $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Pokud je $\Delta$ záporný, rovnice nemá žádné reálné kořeny, protože záporné číslo nemá reálnou odmocninu.

Kalkulačka na této stránce provádí tyto kroky automaticky. Přijímá koeficienty mezi hodnotami $-10^{10}$ a $10^{10}$ a zaokrouhluje výsledky na zvolený počet desetinných míst, od 0 do 10.

Co znamená diskriminant

Tato kalkulačka zobrazí „žádné reálné kořeny“, pokud je $\Delta$ záporný. Nevypočítává komplexní kořeny (čísla, která obsahují $i = \sqrt{-1}$).

Příklad výpočtu

Vyřešte $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Zde platí $a = 1$, $b = 5$ a $c = 6$.

Nejprve najděte diskriminant:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Protože $\Delta$ je kladný, má rovnice dva reálné kořeny:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

To lze ověřit rozkladem na součin: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, který je roven nule, když $x = -2$ nebo $x = -3$.

Druhý příklad ukazuje záporný diskriminant. Pro $x^2 + x + 1 = 0$ platí $a = 1$, $b = 1$ a $c = 1$, takže $\Delta = 1 - 4 = -3$. Protože $\Delta$ je záporný, rovnice nemá žádné reálné kořeny.

Parabola, vrchol a osa souměrnosti

Graf funkce $f(x) = ax^2 + bx + c$ je křivka nazývaná parabola. Pokud je $a$ kladné, parabola se otevírá nahoru a má nejnižší bod. Pokud je $a$ záporné, otevírá se dolů a má nejvyšší bod. Tento nejnižší nebo nejvyšší bod se nazývá vrchol.

Vrchol leží v bodě:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Svislá přímka procházející vrcholem, $x = -\dfrac{b}{2a}$, se nazývá osa souměrnosti, protože obě poloviny paraboly jsou podle ní zrcadlově souměrné. Reálné kořeny rovnice jsou body, v nichž parabola protíná osu x, takže leží po obou stranách osy souměrnosti ve stejné vzdálenosti od ní.

Kalkulačka nakreslí tuto parabolu vedle výsledku. Na křivce vyznačí vrchol a případné reálné kořeny a podle potřeby rozšíří zobrazovaný rozsah tak, aby všechny kořeny zůstaly viditelné.

Kde se používají kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice popisují mnoho situací z reálného světa. Ve fyzice se výška vrženého tělesa v závislosti na čase řídí rovnicí $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ a jejím vyřešením pro $t$ získáme čas, kdy těleso dopadne. V inženýrství se parabolické tvary používají u satelitních antén a mostních lan díky tomu, jak soustřeďují nebo rozkládají síly. V počítačové grafice programy pro trasování paprsků řeší kvadratické rovnice, aby zjistily, kde přímka protíná kouli.

Stručná historie

Babylonští matematici řešili konkrétní kvadratické úlohy přibližně kolem roku 2000 př. n. l. pomocí geometrických metod, nikoli algebry. Také řečtí matematici, například Eukleidés, pojednávali o kvadratických rovnicích geometricky. Kolem roku 600 n. l. uvedl indický matematik Brahmagupta explicitní vzorec pro kořeny včetně záporných řešení. Kolem roku 800 n. l. popsal perský matematik al-Chwárizmí systematické metody řešení kvadratických rovnic v knize, jejíž název dal vzniknout slovu „algebra“. Moderní symbolický tvar kvadratického vzorce se stal standardem později, s rozvojem algebraického zápisu během renesance.

Často kladené otázky

Co se stane, když pro koeficient a zadám 0? Kalkulačka zobrazí chybu, protože $a = 0$ převede rovnici na lineární rovnici $bx + c = 0$, která se řeší jinak.

Proč někdy rovnice nemá žádné reálné kořeny? Stává se to, když je diskriminant $b^2 - 4ac$ záporný. Záporné číslo nemá reálnou odmocninu, takže vzorec nemůže dát reálnou hodnotu $x$. Rovnice má stále dva komplexní kořeny, ale tato kalkulačka je nevypočítává.

Jaký je rozdíl mezi kořenem a řešením? Žádný. Obě slova označují hodnotu $x$, pro kterou se rovnice rovná nule. „Kořen“ označuje místo, kde se graf setkává s osou x; „řešení“ označuje algebraický pohled.

Kolik desetinných míst mohu zvolit? Od 0 do 10. Pro běžné úlohy obvykle stačí dvě nebo tři desetinná místa.

Mohu zadat velmi velké koeficienty? Koeficienty musí být mezi hodnotami $-10^{10}$ a $10^{10}$. Hodnoty mimo tento rozsah mohou způsobovat chyby zaokrouhlení a kalkulačka je odmítne.

Dokáže tato kalkulačka najít komplexní kořeny? Ne. Pokud je diskriminant záporný, zobrazí „žádné reálné kořeny“ místo výpočtu komplexních čísel.

Reference

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. Digitální matematická knihovna NIST, §1.11, Algebra: Kvadratická rovnice