Grafovač trigonometrických funkcí - Vizualizace Sin, Cos, Tan
Interaktivní grafovač trigonometrických funkcí. Nastavte amplitudu, frekvenci a fázový posun v reálném čase pro okamžitou vizualizaci sinových, kosinových a tangentových vln.
Grafovač trigonometrických funkcí
Parametry funkce
Graf funkce
Dokumentace
Co je grafický znázorňovač goniometrických funkcí?
Grafický znázorňovač goniometrických funkcí je nástroj, který vykresluje křivku funkce sinus, kosinus nebo tangens a umožňuje měnit její tvar úpravou několika čísel nazývaných parametry. Posunutí posuvníku graf okamžitě překreslí, takže je snazší sledovat, jak se mění amplituda, frekvence a fázový posun vlny.
Tři základní goniometrické funkce
Sinus, kosinus a tangens vycházejí z poměrů stran pravoúhlého trojúhelníku. Na kružnici o poloměru 1 se středem v počátku (jednotkové kružnici) je sin(x) výška bodu s úhlem x a cos(x) je vodorovná souřadnice tohoto bodu. Tangens je poměr sin(x) / cos(x).
| Funkce | Definiční obor | Obor hodnot | Perioda |
|---|---|---|---|
| sin(x) | všechna reálná čísla | od −1 do 1 | 2π |
| cos(x) | všechna reálná čísla | od −1 do 1 | 2π |
| tan(x) | všechna reálná čísla kromě π/2 + nπ | všechna reálná čísla | π |
Sinus je lichá funkce: sin(−x) = −sin(x). Kosinus je sudá funkce: cos(−x) = cos(x). Kosinus je jednoduše sinus posunutý doleva o π/2 radiánů (90 stupňů).
Tangens má svislé asymptoty: přímky, ke kterým se křivka stále více přibližuje, ale nikdy se jich nedotkne. Nacházejí se v místech x = π/2 + nπ, kde n je libovolné celé číslo. Protože tan(x) = sin(x) / cos(x) a cos(x) se v těchto bodech rovná 0, je tam tento poměr nedefinovaný.
Vzorec goniometrické funkce
Znázorňovač vykresluje funkce v tomto tvaru:
f(x) = A sin(Bx + C)
Stejný tvar se používá pro kosinus a tangens, kde se sin nahradí za cos nebo tan. Každé písmeno je parametr, který lze upravovat:
- A (amplituda) určuje výšku vlny měřenou od její střední linie k vrcholu. Znázorňovač umožňuje pro sinus a kosinus hodnoty od 0,1 do 5 a pro tangens od 0,1 do 2.
- B (frekvence) určuje, kolik úplných cyklů se vejde do určitého úseku osy x. Větší hodnota B vlnu stlačí. Znázorňovač umožňuje hodnoty od 0,1 do 5.
- C (fázový posun) posouvá celou křivku doleva nebo doprava, aniž by měnil její tvar. Znázorňovač umožňuje hodnoty od −π do π, přibližně od −3,14 do 3,14.
Kladný fázový posun posouvá graf doleva, záporný doprava.
Jak používat grafický znázorňovač goniometrických funkcí
- Ve voliči vyberte funkci — sinus, kosinus nebo tangens.
- Posunutím posuvníku amplitudy změňte výšku vlny.
- Posunutím posuvníku frekvence vlnu stlačte nebo roztáhněte.
- Posunutím posuvníku fázového posunu posuňte křivku do strany.
- Přečtěte si vzorec zobrazený pod posuvníky a stisknutím tlačítka „Copy“ jej zkopírujte jako text.
Graf se aktualizuje ihned po posunutí posuvníku. U tangensu se v místě každé asymptoty objeví v čáře malá přerušení. Je to očekávané chování, nikoli chyba.
Testování krajních hodnot posuvníků
Chcete-li zjistit, jak vysoká může vlna být, nastavte amplitudu na nejvyšší hodnotu, kterou nástroj umožňuje: 5 pro sinus nebo kosinus a 2 pro tangens. Chcete-li zobrazit téměř rovnou vlnu, nastavte frekvenci na nejnižší hodnotu, 0,1. Když měníte vždy jen jeden posuvník, snáze určíte, který parametr způsobil danou změnu.
Jak ručně vypočítat hodnotu
Uvažujme funkci sinus s amplitudou A = 2, frekvencí B = 3 a fázovým posunem C = π/4:
f(x) = 2 sin(3x + π/4)
Pro výpočet f(π/6) nejprve vypočítejte úhel uvnitř sinu:
3 × (π/6) = π/2
π/2 + π/4 = 3π/4
Poté vypočítejte sinus a vynásobte jej amplitudou:
f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414
Kde se goniometrické vlny objevují
Mnoho jevů, které se plynule a střídavě opakují, sleduje křivku blízkou sinusové vlně: zvuk, střídavý elektrický proud, příliv a odliv, kyvadlo a délka denního světla během roku. Inženýři pomocí sinu a kosinu popisují a předpovídají podobné průběhy. Počítačoví animátoři používají stejné křivky k plynulému znázornění pohybu, například při houpavém cyklu chůze nebo plynulém pohybu kamery.
Často kladené otázky
Jaký je rozdíl mezi sinusem, kosinem a tangensem?
Sinus i kosinus oscilují mezi −1 a 1 s periodou 2π, ale kosinus dosáhne každého bodu svého cyklu o čtvrt otáčky (π/2) dříve než sinus. Tangens se rovná sinu dělenému kosinem. Má periodu π, není omezený a svislé asymptoty má všude tam, kde se kosinus rovná 0.
Co určuje amplituda?
Amplituda (A) určuje, jak daleko se vlna rozšiřuje nad svou střední linii a pod ni. V tomto znázorňovači se pro sinus a kosinus pohybuje od 0,1 do 5 a pro tangens od 0,1 do 2.
Co určuje frekvence?
Frekvence (B) určuje, kolik cyklů vlny se objeví na pevném úseku osy x. Vyšší frekvence vměstná do stejného prostoru více cyklů. Znázorňovač umožňuje hodnoty od 0,1 do 5.
Proč kladný fázový posun posouvá graf doleva, a ne doprava?
Protože fázový posun C se přičítá před měřením úhlu uvnitř funkce: f(x) = sin(Bx + C). Kladná hodnota C znamená, že dané hodnoty úhlu je dosaženo při menší hodnotě x, takže se stejný bod křivky objeví dříve — posune se doleva, nikoli doprava.
Proč jsou v grafu tangensu mezery?
Tangens není definován všude tam, kde se kosinus rovná 0, což nastává v x = π/2 + nπ. Znázorňovač v těchto bodech čáru přeruší, místo aby mezerou nakreslil nepravdivé přímé spojení.
Používá znázorňovač stupně, nebo radiány?
Radiány. Celá otáčka odpovídá 2π radiánů, což je totéž jako 360 stupňů. Stupně převedete na radiány vynásobením hodnoty číslem π/180.