Jednoduchý graf trigonometričních funkcí

Úvod do grafování trigonometričních funkcí

Graf trigonometričních funkcí je nezbytný nástroj pro vizualizaci sinusových, kosinusových, tangensových a dalších trigonometričních funkcí. Tento interaktivní graf umožňuje vykreslovat standardní trigonometriční funkce s přizpůsobitelnými parametry, což vám pomůže pochopit základní vzory a chování těchto důležitých matematických vztahů. Ať už jste student, který se učí trigonometrii, učitel, který vyučuje matematické koncepty, nebo profesionál pracující s periodickými jevy, tento jednoduchý grafovací nástroj poskytuje jasnou vizuální reprezentaci trigonometričních funkcí.

Náš jednoduchý graf trigonometričních funkcí se zaměřuje na tři hlavní trigonometriční funkce: sinus, kosinus a tangens. Můžete snadno upravit parametry jako amplitudu, frekvenci a fázový posun, abyste prozkoumali, jak tyto úpravy ovlivňují výsledný graf. Intuitivní rozhraní činí tento nástroj přístupným pro uživatele na všech úrovních, od začátečníků po pokročilé matematiky.

Pochopení trigonometričních funkcí

Trigonometriční funkce jsou základní matematické vztahy, které popisují poměry stran pravoúhlého trojúhelníku nebo vztah mezi úhlem a bodem na jednotkové kružnici. Tyto funkce jsou periodické, což znamená, že opakují své hodnoty v pravidelných intervalech, což je činí zvlášť užitečnými pro modelování cyklických jevů.

Základní trigonometriční funkce

Sinusová funkce

Sinusová funkce, označovaná jako $\sin(x)$, představuje poměr protilehlé strany k přeponě v pravoúhlém trojúhelníku. Na jednotkové kružnici představuje y-ovou souřadnici bodu na kružnici při úhlu x.

Standardní sinusová funkce má tvar:

$f(x) = \sin(x)$

Její klíčové vlastnosti zahrnují:

• Obor: Všechna reálná čísla
• Množina: [-1, 1]
• Perioda: $2\pi$
• Neparitní funkce: $\sin(-x) = -\sin(x)$

Kosinusová funkce

Kosinusová funkce, označovaná jako $\cos(x)$, představuje poměr přilehlé strany k přeponě v pravoúhlém trojúhelníku. Na jednotkové kružnici představuje x-ovou souřadnici bodu na kružnici při úhlu x.

Standardní kosinusová funkce má tvar:

$f(x) = \cos(x)$

Její klíčové vlastnosti zahrnují:

• Obor: Všechna reálná čísla
• Množina: [-1, 1]
• Perioda: $2\pi$
• Sudá funkce: $\cos(-x) = \cos(x)$

Tangensová funkce

Tangensová funkce, označovaná jako $\tan(x)$, představuje poměr protilehlé strany k přilehlé straně v pravoúhlém trojúhelníku. Může být také definována jako poměr sinus k kosinu.

Standardní tangensová funkce má tvar:

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Její klíčové vlastnosti zahrnují:

• Obor: Všechna reálná čísla kromě $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, kde n je celé číslo
• Množina: Všechna reálná čísla
• Perioda: $\pi$
• Neparitní funkce: $\tan(-x) = -\tan(x)$
• Má vertikální asymptoty při $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Upravené trigonometriční funkce

Můžete upravit základní trigonometriční funkce změnou parametrů jako amplituda, frekvence a fázový posun. Obecný tvar je:

$f(x) = A \sin(Bx + C) + D$

Kde:

• A je amplituda (ovlivňuje výšku grafu)
• B je frekvence (ovlivňuje, kolik cyklů se vyskytne v daném intervalu)
• C je fázový posun (posune graf horizontálně)
• D je vertikální posun (posune graf vertikálně)

Podobné úpravy platí pro kosinusové a tangensové funkce.

Jak používat graf trigonometričních funkcí

Náš jednoduchý graf trigonometričních funkcí poskytuje intuitivní rozhraní pro vizualizaci trigonometričních funkcí. Postupujte podle těchto kroků, abyste vytvořili a přizpůsobili své grafy:

1. Vyberte funkci: Zvolte ze sinus (sin), kosinus (cos) nebo tangens (tan) pomocí rozbalovacího menu.

2. Upravte parametry:

   • Amplituda: Použijte posuvník pro změnu výšky grafu. U sinusových a kosinusových funkcí to určuje, jak daleko se funkce rozprostírá nad a pod osou x. U tangensu to ovlivňuje strmost křivek.
   • Frekvence: Upravte, kolik cyklů se objeví v rámci standardní periody. Vyšší hodnoty vytvářejí komprimovanější vlny.
   • Fázový posun: Posuňte graf horizontálně podél osy x.

3. Zobrazte graf: Graf se aktualizuje v reálném čase, jakmile upravíte parametry, což ukazuje jasnou vizualizaci vaší vybrané funkce.

4. Analyzujte klíčové body: Sledujte, jak se funkce chová v kritických bodech, jako je x = 0, π/2, π atd.

5. Zkopírujte vzorec: Použijte tlačítko kopírovat, abyste uložili aktuální vzorec funkce pro referenci nebo použití v jiných aplikacích.

Tipy pro efektivní grafování

• Začněte jednoduše: Začněte se základní funkcí (amplituda = 1, frekvence = 1, fázový posun = 0), abyste pochopili její základní tvar.
• Změňte jeden parametr najednou: To vám pomůže pochopit, jak každý parametr ovlivňuje graf nezávisle.
• Věnujte pozornost asymptotám: Při grafování tangensových funkcí si dejte pozor na vertikální asymptoty, kde je funkce nedefinovaná.
• Porovnejte funkce: Přepněte mezi sinusovými, kosinusovými a tangensovými funkcemi, abyste pozorovali jejich vztahy a rozdíly.
• Prozkoumejte extrémní hodnoty: Zkuste velmi vysoké nebo nízké hodnoty pro amplitudu a frekvenci, abyste viděli, jak se funkce chová v extrémech.

Matematické vzorce a výpočty

Graf trigonometričních funkcí používá následující vzorce k výpočtu a zobrazení grafů:

Sinusová funkce s parametry

$f(x) = A \sin(Bx + C)$

Kde:

• A = amplituda
• B = frekvence
• C = fázový posun

Kosinusová funkce s parametry

$f(x) = A \cos(Bx + C)$

Kde:

• A = amplituda
• B = frekvence
• C = fázový posun

Tangensová funkce s parametry

$f(x) = A \tan(Bx + C)$

Kde:

• A = amplituda
• B = frekvence
• C = fázový posun

Příklad výpočtu

Pro sinusovou funkci s amplitudou = 2, frekvencí = 3 a fázovým posunem = π/4:

$f(x) = 2 \sin(3x + \pi/4)$

Pro výpočet hodnoty při x = π/6:

$f(\pi/6) = 2 \sin(3 \times \pi/6 + \pi/4) = 2 \sin(\pi/2 + \pi/4) = 2 \sin(3\pi/4) \approx 1.414$

Případové studie pro grafování trigonometričních funkcí

Trigonometriční funkce mají nespočet aplikací v různých oblastech. Zde jsou některé běžné případy použití našeho grafu trigonometričních funkcí:

Vzdělávání a učení

• Výuka trigonometrie: Učitelé mohou použít graf pro demonstraci toho, jak změna parametrů ovlivňuje trigonometriční funkce.
• Pomoc s domácími úkoly a studiem: Studenti mohou ověřit své manuální výpočty a rozvíjet intuici ohledně chování funkcí.
• Vizualizace konceptů: Abstraktní matematické koncepty se stávají jasnějšími, když jsou vizualizovány graficky.

Fyzika a inženýrství

• Vlnové jevy: Modelování zvukových vln, světelných vln a dalších oscilačních jevů.
• Analýza obvodů: Vizualizace chování střídavého proudu v elektrických obvodech.
• Mechanické vibrace: Studium pohybu pružin, kyvadla a dalších mechanických systémů.
• Zpracování signálů: Analýza periodických signálů a jejich komponentů.

Počítačová grafika a animace

• Design pohybu: Vytváření plynulých, přirozeně vypadajících animací pomocí sinusových a kosinusových funkcí.
• Vývoj her: Implementace realistických pohybových vzorů pro objekty a postavy.
• Procedurální generace: Generování terénu, textur a dalších prvků s kontrolovanou náhodností.

Analýza dat

• Sezónní trendy: Identifikace a modelování cyklických vzorů v časových řadách.
• Frekvenční analýza: Rozklad složitých signálů na jednodušší trigonometriční komponenty.
• Rozpoznávání vzorů: Detekce periodických vzorů v experimentálních nebo observačních datech.

Příklad ze skutečného života: Modelování zvukových vln

Zvukové vlny mohou být modelovány pomocí sinusových funkcí. Pro čistý tón s frekvencí f (v Hz) může být tlak vzduchu p v čase t reprezentován jako:

$p(t) = A \sin(2\pi ft)$

Pomocí našeho grafu můžete nastavit:

• Funkce: sinus
• Amplituda: úměrná hlasitosti
• Frekvence: související s výškou tónu (vyšší frekvence = vyšší tón)
• Fázový posun: určuje, kdy zvuková vlna začíná

Alternativy k grafování trigonometričních funkcí

Zatímco náš jednoduchý graf trigonometričních funkcí se zaměřuje na základní funkce a jejich úpravy, existují alternativní přístupy a nástroje pro podobné úkoly:

Pokročilé grafické kalkulačky

Profesionální grafické kalkulačky a software jako Desmos, GeoGebra nebo Mathematica nabízejí více funkcí, včetně:

• Vícenásobného vykreslování funkcí na stejném grafu
• 3D vizualizace trigonometričních ploch
• Podpory parametrických a polárních funkcí
• Možností animace
• Nástrojů pro numerální analýzu

Přístup Fourierovy řady

Pro složitější periodické funkce vyjadřuje Fourierova řada je jako součet sinusových a kosinusových členů:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$

Tento přístup je zvlášť užitečný pro:

• Zpracování signálů
• Částečné diferenciální rovnice
• Problémy přenosu tepla
• Kvantovou mechaniku

Reprezentace fázorů

V elektrotechnice se sinusové funkce často reprezentují jako fázory (otáčející se vektory), aby se zjednodušily výpočty zahrnující fázové rozdíly.

Srovnávací tabulka: Přístupy k grafování

Historie trigonometričních funkcí a jejich grafické reprezentace

Vývoj trigonometričních funkcí a jejich grafické reprezentace sahá tisíce let zpět, vyvíjející se od praktických aplikací po sofistikovanou matematickou teorii.

Starověké kořeny

Trigonometrii začali s praktickými potřebami astronomie, navigace a měření pozemků ve starověkých civilizacích:

• Babylonci (c. 1900-1600 př. n. l.): Vytvořili tabulky hodnot souvisejících s pravoúhlými trojúhelníky.
• Starověcí Egypťané: Používali primitivní formy trigonometrii pro stavbu pyramid.
• Starověcí Řekové: Hipparchos (c. 190-120 př. n. l.) je často považován za "otce trigonometrii" za vytvoření první známé tabulky funkcí chord, předchůdce funkce sinus.

Vývoj moderních trigonometričních funkcí

• Indická matematika (400-1200 n. l.): Matematici jako Aryabhata vyvinuli sinusové a kosinusové funkce, jak je známe dnes.
• Islámské zlaté období (8.-14. století): Učenci jako Al-Khwarizmi a Al-Battani rozšířili znalosti o trigonometrii a vytvořili přesnější tabulky.
• Evropská renesance: Regiomontanus (1436-1476) publikoval komplexní trigonometriční tabulky a vzorce.

Grafická reprezentace

Vizuální reprezentace trigonometričních funkcí jako kontinuálních grafů je relativně nedávný vývoj:

• René Descartes (1596-1650): Jeho vynález karteziánského souřadnicového systému umožnil graficky reprezentovat funkce.
• Leonhard Euler (1707-1783): Učinil významné příspěvky k trigonometrii, včetně slavného Eulerova vzorce ($e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$), který spojuje trigonometriční funkce s exponenciálními funkcemi.
• Joseph Fourier (1768-1830): Vyvinul Fourierovy řady, ukazující, že složité periodické funkce mohou být reprezentovány jako součty jednoduchých sinusových a kosinusových funkcí.

Moderní éra

• 19. století: Vývoj kalkulu a analýzy poskytl hlubší porozumění trigonometričním funkcím.
• 20. století: Elektronické kalkulačky a počítače revolucionalizovaly schopnost počítat a vizualizovat trigonometriční funkce.
• 21. století: Interaktivní online nástroje (jako je tento graf) činí trigonometriční funkce přístupné komukoli s připojením k internetu.

Často kladené otázky

Co jsou trigonometriční funkce?

Trigonometriční funkce jsou matematické funkce, které se vztahují k úhlům trojúhelníku k poměrům délek jeho stran. Hlavní trigonometriční funkce jsou sinus, kosinus a tangens, s jejich inverzemi, které jsou kosekans, sekans a kotangens. Tyto funkce jsou základní v matematice a mají nespočet aplikací ve fyzice, inženýrství a dalších oblastech.

Proč potřebuji vizualizovat trigonometriční funkce?

Vizualizace trigonometričních funkcí pomáhá pochopit jejich chování, periodičnost a klíčové vlastnosti. Grafy usnadňují identifikaci vzorů, nul, maxim, minim a asymptot. Toto vizuální porozumění je zásadní pro aplikace v analýze vln, zpracování signálů a modelování periodických jevů.

Co dělá parametr amplitudy?

Parametr amplitudy ovládá výšku grafu. U sinusových a kosinusových funkcí to určuje, jak daleko se křivka rozprostírá nad a pod osou x. Větší amplituda vytváří vyšší vrcholy a hlubší údolí. Například $2\sin(x)$ bude mít vrcholy na y=2 a údolí na y=-2, ve srovnání se standardním $\sin(x)$ s vrcholy na y=1 a údolími na y=-1.

Co dělá parametr frekvence?

Parametr frekvence určuje, kolik cyklů funkce se vyskytuje v daném intervalu. Vyšší hodnoty frekvence komprimují graf horizontálně, což vede k více cyklům. Například $\sin(2x)$ dokončuje dva plné cykly v intervalu $[0, 2\pi]$, zatímco $\sin(x)$ dokončuje pouze jeden cyklus ve stejném intervalu.

Co dělá parametr fázového posunu?

Parametr fázového posunu posouvá graf horizontálně. Kladný fázový posun posune graf doleva, zatímco záporný fázový posun posune doprava. Například $\sin(x + \pi/2)$ posune standardní sinusovou křivku doleva o $\pi/2$ jednotek, což ji efektivně přetváří na kosinusovou křivku.

Proč má tangensová funkce vertikální čáry?

Vertikální čáry v grafu tangensové funkce představují asymptoty, které se vyskytují v bodech, kde je funkce nedefinovaná. Matematicky je tangens definován jako $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$, takže při hodnotách, kde $\cos(x) = 0$ (například $x = \pi/2, 3\pi/2$ atd.), se tangensová funkce blíží nekonečnu, což vytváří tyto vertikální asymptoty.

Jaký je rozdíl mezi radiány a stupni?

Radiány a stupně jsou dva způsoby měření úhlů. Celý kruh má 360 stupňů nebo $2\pi$ radiánů. Radiány jsou často preferovány v matematické analýze, protože zjednodušují mnoho vzorců. Náš graf používá radiány pro hodnoty na ose x, kde $\pi$ představuje přibližně 3.14159.

Mohu grafovat více funkcí současně?

Náš jednoduchý graf trigonometričních funkcí se zaměřuje na jasnost a snadnost použití, takže zobrazuje jednu funkci najednou. To pomáhá začátečníkům pochopit chování každé funkce bez zmatku. Pro porovnávání více funkcí byste mohli chtít použít pokročilejší grafovací nástroje jako Desmos nebo GeoGebra.

Jak přesný je tento graf?

Graf používá standardní matematické funkce JavaScriptu a D3.js pro vizualizaci, což poskytuje dostatečnou přesnost pro vzdělávací a obecné použití. Pro extrémně přesné vědecké nebo inženýrské aplikace může být vhodnější specializovaný software.

Mohu uložit nebo sdílet své grafy?

V současnosti můžete zkopírovat vzorec funkce pomocí tlačítka "Kopírovat". I když přímé ukládání obrázků není implementováno, můžete použít funkci snímání obrazovky vašeho zařízení k zachycení a sdílení grafu.

Kódové příklady pro trigonometriční funkce

Zde jsou příklady v různých programovacích jazycích, které demonstrují, jak vypočítat a pracovat s trigonometričními funkcemi:

1// Příklad v JavaScriptu pro výpočet a vykreslení sinusové funkce
2function calculateSinePoints(amplitude, frequency, phaseShift, start, end, steps) {
3  const points = [];
4  const stepSize = (end - start) / steps;
5  
6  for (let i = 0; i <= steps; i++) {
7    const x = start + i * stepSize;
8    const y = amplitude * Math.sin(frequency * x + phaseShift);
9    points.push({ x, y });
10  }
11  
12  return points;
13}
14
15// Příklad použití:
16const sinePoints = calculateSinePoints(2, 3, Math.PI/4, -Math.PI, Math.PI, 100);
17console.log(sinePoints);
18

1# Příklad v Pythonu s matplotlib pro vizualizaci trigonometričních funkcí
2import numpy as np
3import matplotlib.pyplot as plt
4
5def plot_trig_function(func_type, amplitude, frequency, phase_shift):
6    # Vytvořit hodnoty x
7    x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
8    
9    # Vypočítat hodnoty y na základě typu funkce
10    if func_type == 'sin':
11        y = amplitude * np.sin(frequency * x + phase_shift)
12        title = f"f(x) = {amplitude} sin({frequency}x + {phase_shift})"
13    elif func_type == 'cos':
14        y = amplitude * np.cos(frequency * x + phase_shift)
15        title = f"f(x) = {amplitude} cos({frequency}x + {phase_shift})"
16    elif func_type == 'tan':
17        y = amplitude * np.tan(frequency * x + phase_shift)
18        # Filtrujte nekonečné hodnoty pro lepší vizualizaci
19        y = np.where(np.abs(y) > 10, np.nan, y)
20        title = f"f(x) = {amplitude} tan({frequency}x + {phase_shift})"
21    
22    # Vytvořit graf
23    plt.figure(figsize=(10, 6))
24    plt.plot(x, y)
25    plt.grid(True)
26    plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
27    plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
28    plt.title(title)
29    plt.xlabel('x')
30    plt.ylabel('f(x)')
31    
32    # Přidat speciální body pro osu x
33    special_points = [-2*np.pi, -3*np.pi/2, -np.pi, -np.pi/2, 0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi]
34    special_labels = ['-2π', '-3π/2', '-π', '-π/2', '0', 'π/2', 'π', '3π/2', '2π']
35    plt.xticks(special_points, special_labels)
36    
37    plt.ylim(-5, 5)  # Omezit osu y pro lepší vizualizaci
38    plt.show()
39
40# Příklad použití:
41plot_trig_function('sin', 2, 1, 0)  # Vykreslit f(x) = 2 sin(x)
42

1// Příklad v Javě pro výpočet hodnot trigonometričních funkcí
2import java.util.ArrayList;
3import java.util.List;
4
5public class TrigonometricCalculator {
6    
7    public static class Point {
8        public double x;
9        public double y;
10        
11        public Point(double x, double y) {
12            this.x = x;
13            this.y = y;
14        }
15        
16        @Override
17        public String toString() {
18            return "(" + x + ", " + y + ")";
19        }
20    }
21    
22    public static List<Point> calculateCosinePoints(
23            double amplitude, 
24            double frequency, 
25            double phaseShift, 
26            double start, 
27            double end, 
28            int steps) {
29        
30        List<Point> points = new ArrayList<>();
31        double stepSize = (end - start) / steps;
32        
33        for (int i = 0; i <= steps; i++) {
34            double x = start + i * stepSize;
35            double y = amplitude * Math.cos(frequency * x + phaseShift);
36            points.add(new Point(x, y));
37        }
38        
39        return points;
40    }
41    
42    public static void main(String[] args) {
43        // Vypočítat body pro f(x) = 2 cos(3x + π/4)
44        List<Point> cosinePoints = calculateCosinePoints(
45            2.0,  // amplituda
46            3.0,  // frekvence
47            Math.PI/4,  // fázový posun
48            -Math.PI,  // začátek
49            Math.PI,  // konec
50            100  // kroky
51        );
52        
53        // Vytisknout prvních několik bodů
54        System.out.println("Prvních 5 bodů pro f(x) = 2 cos(3x + π/4):");
55        for (int i = 0; i < 5 && i < cosinePoints.size(); i++) {
56            System.out.println(cosinePoints.get(i));
57        }
58    }
59}
60

1' Excel VBA funkce pro výpočet hodnoty sinus
2Function SineValue(x As Double, amplitude As Double, frequency As Double, phaseShift As Double) As Double
3    SineValue = amplitude * Sin(frequency * x + phaseShift)
4End Function
5
6' Excel vzorec pro sinusovou funkci (v buňce)
7' =A2*SIN(B2*C2+D2)
8' Kde A2 je amplituda, B2 je frekvence, C2 je hodnota x a D2 je fázový posun
9

1// C implementace pro výpočet hodnot tangensových funkcí
2#include <stdio.h>
3#include <math.h>
4
5// Funkce pro výpočet tangensu s parametry
6double parameterizedTangent(double x, double amplitude, double frequency, double phaseShift) {
7    double angle = frequency * x + phaseShift;
8    
9    // Zkontrolovat nedefinované body (kde cos = 0)
10    double cosValue = cos(angle);
11    if (fabs(cosValue) < 1e-10) {
12        return NAN; // Not a Number pro nedefinované body
13    }
14    
15    return amplitude * tan(angle);
16}
17
18int main() {
19    double amplitude = 1.0;
20    double frequency = 2.0;
21    double phaseShift = 0.0;
22    
23    printf("x\t\tf(x) = %g tan(%gx + %g)\n", amplitude, frequency, phaseShift);
24    printf("----------------------------------------\n");
25    
26    // Tisknout hodnoty od -π do π
27    for (double x = -M_PI; x <= M_PI; x += M_PI/8) {
28        double y = parameterizedTangent(x, amplitude, frequency, phaseShift);
29        
30        if (isnan(y)) {
31            printf("%g\t\tNedefinováno (asymptota)\n", x);
32        } else {
33            printf("%g\t\t%g\n", x, y);
34        }
35    }
36    
37    return 0;
38}
39

Odkazy

1. Abramowitz, M. a Stegun, I. A. (Eds.). "Příručka matematických funkcí s vzorci, grafy a matematickými tabulkami," 9. vydání. New York: Dover, 1972.

2. Gelfand, I. M., a Fomin, S. V. "Kalkulus variací." Courier Corporation, 2000.

3. Kreyszig, E. "Pokročilá inženýrská matematika," 10. vydání. John Wiley & Sons, 2011.

4. Bostock, M., Ogievetsky, V., a Heer, J. "D3: Data-Driven Documents." IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 17(12), 2301-2309, 2011. https://d3js.org/

5. "Trigonometriční funkce." Khan Academy, https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles/intro-to-the-trig-ratios/a/trigonometric-functions. Přístup 3. srpna 2023.

6. "Historie trigonometrii." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, Skotsko. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/. Přístup 3. srpna 2023.

7. Maor, E. "Trigonometriční potěšení." Princeton University Press, 2013.

Vyzkoušejte náš graf trigonometričních funkcí ještě dnes!

Vizualizujte krásu a sílu trigonometričních funkcí s naším jednoduchým, intuitivním grafem. Upravte parametry v reálném čase, abyste viděli, jak ovlivňují graf, a prohlubte své porozumění těmto základním matematickým vztahům. Ať už se připravujete na zkoušku, vyučujete třídu nebo jen prozkoumáváte fascinující svět matematiky, náš graf trigonometričních funkcí poskytuje jasný pohled na chování sinusových, kosinusových a tangensových funkcí.

Začněte grafovat nyní a objevte vzory, které spojují matematiku s rytmy našeho přirozeného světa!