Logaritmus odpovídá na jednu otázku: na jakou mocninu je třeba umocnit základ, aby vzniklo toto číslo? Pokud $b^y = x$, pak $\log_b(x) = y$. Logaritmus je inverzní operací k umocňování. Ruší umocnění. Nejčastěji se objevují tři druhy: log: základ 10, dekadický logaritmus. log(100) se ptá: „Na jakou mocninu je třeba umocnit 10, aby vzniklo 100?“ ln: základ $e$ (přibližně 2,71828), přirozený logaritmus, běžný v matematické analýze. log_a: vlastní základ zapisovaný pomocí podtržítka. log_2(8) znamená logaritmus čísla 8 o základu 2. Logaritmus je definován pouze pro kladný argument. Aplikace odmítá vstupy jako log(0) nebo log(-5) jako neplatné, protože žádná reálná mocnina kladného základu nevytvoří nulu ani záporné číslo.

Zjednodušovač logaritmů - Okamžité řešení krok za krokem

Zjednodušovač logaritmů

Zjednodušovač logaritmů je nástroj, který přepisuje logaritmický výraz použitím jednoho standardního logaritmického pravidla, například pravidla pro součin nebo pravidla pro mocninu. Aplikace Zjednodušovač logaritmů porovnává výraz s pevně danou sadou vzorů a vrací zjednodušený tvar. Pokud nevyhovuje žádný jednotlivý vzor, vrátí výraz beze změny.

Co je logaritmus?

Logaritmus odpovídá na jednu otázku: na jakou mocninu je třeba umocnit základ, aby vzniklo toto číslo? Pokud $b^y = x$ , pak $\log_b(x) = y$ . Logaritmus je inverzní operací k umocňování. Ruší umocnění.

Nejčastěji se objevují tři druhy:

log: základ 10, dekadický logaritmus. log(100) se ptá: „Na jakou mocninu je třeba umocnit 10, aby vzniklo 100?“
ln: základ $e$ (přibližně 2,71828), přirozený logaritmus, běžný v matematické analýze.
log_a: vlastní základ zapisovaný pomocí podtržítka. log_2(8) znamená logaritmus čísla 8 o základu 2.

Logaritmus je definován pouze pro kladný argument. Aplikace odmítá vstupy jako log(0) nebo log(-5) jako neplatné, protože žádná reálná mocnina kladného základu nevytvoří nulu ani záporné číslo.

Logaritmická pravidla a vzorce

Pravidlo	Vzorec
Pravidlo pro součin	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Pravidlo pro podíl	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Pravidlo pro mocninu	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Změna základu	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Identita	$\log_b(b) = 1$
Logaritmus jedničky	$\log_b(1) = 0$

Jak vypočítat zjednodušený logaritmus

Aplikace postupně porovnává každé pravidlo s celým výrazem zadaným do vstupního pole. Použije první pravidlo, jehož tvar odpovídá celému výrazu, nikoli pouze jeho části.

Protože každé pravidlo kontroluje celý výraz, aplikace zjednodušuje vždy jednu operaci. Výraz, který v jednom členu kombinuje mocninu a násobení, například log(x^2*y), neodpovídá žádnému jednotlivému vzoru, a proto se vrátí beze změny. Nástroj nekombinuje několik pravidel, aby delší výraz rozložil postupně krok za krokem.

U čistě číselného logaritmu, například log(8), log(100) nebo ln(20), aplikace místo použití symbolického pravidla vypočítá číslo. Výsledky v celých číslech zobrazuje jako celá čísla; všechny ostatní hodnoty zaokrouhluje na šest desetinných míst. K tomu dochází pouze tehdy, když je celý vstup jediným logaritmem čísla. Vstup se dvěma logaritmy, například log(8)/log(2), se vrátí beze změny, místo aby byl částečně vyhodnocen.

Příklad výpočtu

Při zjednodušování log(x*y) aplikace rozpozná vzor pravidla pro součin log(A*B). Rozdělí výraz na dva samostatné logaritmy spojené sčítáním:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

U výrazu log(x^3) odpovídá vzor pravidla pro mocninu log(A^n) a exponent se přesune před logaritmus:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

Exponent může být záporný nebo desetinný. log(x^-2) dává -2 * log(x) a log(x^0.5) dává 0.5 * log(x).

U vlastního základu, například log_2(8), aplikace symbolicky použije vzorec pro změnu základu. Číselný výsledek (kterým je 3) nevypočítá; vrátí podíl log(8) / log(2).

Příklady vstupů a výsledků

Poslední sloupec obsahuje název pravidla, který aplikace zobrazuje pod diagramem.

Vstup	Výsledek	Zobrazené pravidlo
`log(100)`	`2`	Vyhodnocení základu
`log(8)`	`0.903090`	Vyhodnocení základu
`log(1)`	`0`	Vyhodnocení základu
`log(10)`	`1`	Vyhodnocení základu
`log(0.5)`	`-0.301030`	Vyhodnocení základu
`ln(20)`	`2.995732`	Vyhodnocení základu
`ln(e^5)`	`5`	Přirozený logaritmus e na n-tou
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Pravidlo pro mocninu
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Pravidlo pro mocninu
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Pravidlo pro součin
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Pravidlo pro podíl
`log_5(5)`	`1`	Identita logaritmu se stejným základem
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Změna základu (symbolický výsledek, nikoli `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (beze změny)	Zjednodušení

Použití aplikace

Zadejte výraz do vstupního pole; pro násobení použijte *, pro dělení /, pro exponenty ^ a pro seskupení členů závorky. Pro vlastní základ použijte zápis s podtržítkem ve tvaru log_2(8). Výsledek se zobrazí ihned po zadání platného výrazu spolu s malým diagramem znázorňujícím vstup, výsledek a použité jediné pravidlo. Tlačítko pro kopírování umožňuje vložit výsledek do jiných dokumentů.

Omezení

Aplikace je malý nástroj pro porovnávání vzorů, nikoli úplný systém počítačové algebry. Nedokáže:

Použít na stejný výraz dvě nebo více pravidel za sebou, takže víceterní výrazy jako log(x^2*y/z) dále nerozloží.
Pracovat se vstupem, který obsahuje více než jeden logaritmus. log(8)/log(2) se vrátí beze změny, nikoli jako vyhodnocené 3.
Vyhodnotit logaritmus s vlastním základem na prosté číslo. log_2(8) zůstane ve tvaru log(8) / log(2), místo aby se změnil na 3.
Zjednodušit součty nebo rozdíly uvnitř logaritmu, například log(x + y), protože pravidla pro součin a podíl se vztahují pouze na násobení a dělení.
Řešit rovnice, vykreslovat funkce ani zpracovávat vnořené logaritmy.

Pro tyto úkoly je vhodnější úplný systém počítačové algebry, například Wolfram Alpha, nebo grafická kalkulačka.

Stručná historie

Skotský matematik John Napier zavedl logaritmy v roce 1614, aby převedl násobení na sčítání a zkrátil dobu ručních výpočtů astronomů a navigátorů. Henry Briggs později s Napierem spolupracoval na vytvoření logaritmických tabulek o základu 10, které byly publikovány v roce 1617 a používány více než tři století. Ve 20. století získaly logaritmy novou úlohu: Claude Shannon je v roce 1948 použil k definici bitu, základní jednotky informace, a informatici dnes pomocí logaritmů popisují, jak efektivně algoritmy, jako je binární vyhledávání, pracují s rostoucím objemem dat.

Často kladené otázky

Co je zjednodušovač logaritmů? Je to nástroj, který přepisuje logaritmický výraz pomocí logaritmického pravidla, například převede log(x*y) na log(x) + log(y). Tato aplikace porovnává s celým zadaným výrazem vždy jedno pravidlo.

Zjednoduší se log_2(8) na 3? Ne. Aplikace symbolicky použije vzorec pro změnu základu a vrátí log(8) / log(2). Logaritmy s vlastním základem nepřevádí na číslo, ani když je číselný výsledek celé číslo.

Může aplikace zkombinovat několik pravidel pro jeden výraz? Ne. Každé pravidlo kontroluje celý výraz najednou. Výraz, který vyžaduje dvě pravidla, například nejprve oddělit součin a potom v něm použít pravidlo pro mocninu, se vrátí beze změny.

Proč se log(x + y) dále nezjednoduší? Pravidla pro součin a podíl se uvnitř logaritmu vztahují pouze na násobení a dělení, nikoli na sčítání nebo odčítání. log(x + y) nelze přepsat jako log(x) + log(y); jde o běžnou chybu.

Kde výpočet probíhá? V prohlížeči na zařízení. Výraz se neposílá na server a nástroj lze používat zdarma bez registrace.

Zjednodušovač logaritmů - Okamžité řešení krok za krokem