Kalkulátor rychlosti efuze | Volný nástroj Grahamova zákona

Co je kalkulačka rychlosti efuze?

Kalkulačka rychlosti efuze určuje, jak rychle jeden plyn uniká malým otvorem ve srovnání s jiným plynem. Využívá Grahamův zákon efuze, který spojuje rychlost úniku plynu s jeho molární hmotností a teplotou. K efuzi dochází, když molekuly plynu procházejí otvorem jedna po druhé, přičemž je otvor tak malý, že se molekuly při průchodu navzájem nesrážejí.

Vzorec Grahamova zákona efuze

Grahamův zákon porovnává rychlosti efuze dvou plynů, plynu 1 a plynu 2:

$\frac{\text{Rychlost}_1}{\text{Rychlost}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ a Rate₂ jsou rychlosti efuze plynu 1 a plynu 2.
• M₁ a M₂ jsou molární hmotnosti plynu 1 a plynu 2 v gramech na mol (g/mol).
• T₁ a T₂ jsou absolutní teploty plynu 1 a plynu 2 v kelvinech (K).

Výsledek vyšší než 1 znamená, že plyn 1 efunduje rychleji než plyn 2. Výsledek nižší než 1 znamená, že rychlejší je plyn 2. Výsledek přesně 1 znamená, že oba plyny efundují stejnou rychlostí.

Proč vzorec funguje

Vzorec vychází z kinetické teorie plynů. Všechny plyny při stejné teplotě mají stejnou průměrnou kinetickou energii, ½mv² = (3/2)kT, kde m je hmotnost jedné molekuly, v její rychlost, k Boltzmannova konstanta a T absolutní teplota. Vyjádřením rychlosti získáme v = √(3kT/m). Lehčí molekula se musí pohybovat rychleji než těžší, aby měla stejnou kinetickou energii. Počet molekul, které každou sekundu opouštějí otvor, je úměrný této rychlosti a počtu molekul na jednotku objemu. Kalkulačka porovnává dva plyny, které mají stejný počet molekul na jednotku objemu, takže člen hustoty se vykrátí a zůstane pouze √(T/M). Vydělením hodnoty pro plyn 1 hodnotou pro plyn 2 získáme výše uvedený vzorec.

Dva jednodušší případy

• Stejná teplota. Pokud T₁ se rovná T₂, teplotní členy se vykrátí a vzorec má podobu Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Záleží pouze na molárních hmotnostech.
• Stejná molární hmotnost. Pokud M₁ se rovná M₂, vzorec má podobu Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Záleží pouze na teplotách.

Jak používat kalkulačku rychlosti efuze

1. Zadejte molární hmotnost a teplotu plynu 1.
2. Zadejte molární hmotnost a teplotu plynu 2.
3. Přečtěte relativní rychlost efuze. Ukazuje, kolikrát rychleji plyn 1 efunduje než plyn 2. Kalkulačka zobrazuje výsledek na čtyři desetinná místa.

Molární hmotnost i teplota musí být kladná čísla. Teplotu je nutné zadat v kelvinech, nikoli ve stupních Celsia nebo Fahrenheita, protože vzorec závisí na absolutní teplotě.

Běžné molární hmotnosti plynů

Příklad výpočtu

Příklad 1: helium versus methan při stejné teplotě

Helium (He) má molární hmotnost 4,00 g/mol. Methan (CH₄) má molární hmotnost 16,04 g/mol. Oba plyny mají teplotu 298 K.

$\frac{\text{Rychlost}_{He}}{\text{Rychlost}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

Helium efunduje přibližně 2,00krát rychleji než methan.

Kalkulačka se otevře s hodnotami 4,00 a 16,00 g/mol při 298 K, přičemž methan je zaokrouhlen na celé číslo. Tyto hodnoty dávají přesně √4 = 2,0000, takže poměr lze snadno ověřit ručně.

Příklad 2: vodík versus kyslík při různých teplotách

Vodík (H₂) má molární hmotnost 2,02 g/mol a teplotu 400 K. Kyslík (O₂) má molární hmotnost 32,00 g/mol a teplotu 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Rychlost}_{H_2}}{\text{Rychlost}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

Vodík při 400 K efunduje přibližně 4,60krát rychleji než kyslík při 300 K. Zaokrouhlení každé odmocniny na dvě desetinná místa před násobením, jak se uvádí v některých řešených příkladech na internetu, dává 3,98 × 1,15 = 4,58, což je mírně nepřesné. Chybu lze předejít zachováním více desetinných míst až do posledního kroku.

Použití Grahamova zákona

• Separace izotopů. Projekt Manhattan využíval plynnou difuzi k oddělení uranu-235 od uranu-238. Oba izotopy tvoří plynný hexafluorid uranu s mírně odlišnými molárními hmotnostmi, a proto efundují mírně odlišnými rychlostmi.
• Detekce netěsností. Helium je běžný značkovací plyn k vyhledávání netěsností ve vakuových systémech a tlakových nádobách, protože jeho nízká molární hmotnost mu umožňuje rychle procházet malými netěsnostmi.
• Plynová chromatografie. Molekuly s různou hmotností procházejí chromatografickou kolonou různými rychlostmi, což pomáhá oddělovat a identifikovat sloučeniny ve směsi plynů.
• Membránová separace plynů. Průmyslové membrány, které čistí nebo oddělují směsi plynů, částečně využívají rozdílné rychlosti efuze jednotlivých plynů.

Dějiny

Skotský chemik Thomas Graham tento vztah poprvé popsal v roce 1846. Měřil, jak rychle různé plyny unikají malými otvory, a zjistil, že rychlost je nepřímo úměrná druhé odmocnině hustoty plynu. Jeho výsledky později pomohly podpořit kinetickou teorii plynů, kterou v desetiletích 1860 a 1870 dále rozvíjeli James Clerk Maxwell a Ludwig Boltzmann.

Často kladené otázky

Jaký je rozdíl mezi efuzí a difuzí? Efuze je únik molekul plynu malým otvorem do vakua nebo oblasti s nižším tlakem, přičemž otvor je menší než průměrná vzdálenost, kterou molekula urazí mezi srážkami. Difuze je šíření molekul plynu jiným plynem nebo prostředím způsobené rozdíly v koncentraci a molekuly při ní do sebe narážejí.

Proč musí být teplota uvedena v kelvinech? Kinetická energie molekul plynu je úměrná absolutní teplotě. Stupnice Celsia a Fahrenheita nezačínají u absolutní nuly, takže jejich použití by vedlo k nesprávnému poměru.

Co kalkulačka předpokládá o obou plynech? Předpokládá, že oba plyny mají stejný počet molekul na jednotku objemu. Za tohoto předpokladu závisí poměr pouze na molární hmotnosti a absolutní teplotě. Když jsou obě teploty stejné, teplotní člen je 1 a výsledkem je běžný poměr podle Grahamova zákona √(M₂/M₁), bez ohledu na tlak. Když se teploty liší, tento předpoklad je důležitý: dva plyny udržované při stejném tlaku namísto stejné koncentrace se řídí vztahem Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), protože teplejší plyn při konstantním tlaku obsahuje v každém litru méně molekul.

Lze pomocí Grahamova zákona určit molární hmotnost neznámého plynu? Ano. Pokud se změří rychlost efuze neznámého plynu vůči plynu se známou molární hmotností, lze vzorec upravit:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Rychlost}_{known}}{\text{Rychlost}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

Platí Grahamův zákon pro kapaliny? Ne. Platí pouze pro plyny. Molekuly kapalin jsou mnohem těsněji uspořádané a vzájemně na sebe působí výrazně silněji, takže stejný vzorec nepopisuje pohyb kapalin malými otvory.

O kolik rychleji plyn efunduje, když se jeho teplota zdvojnásobí? Rychlost efuze je úměrná druhé odmocnině absolutní teploty. Zdvojnásobení teploty zvýší rychlost faktorem √2 neboli přibližně 1,41, pokud molární hmotnost zůstane stejná.