Kalkulačka Poissonova rozdělení - Výpočet pravděpodobností událostí

Co je kalkulačka Poissonova rozdělení?

Kalkulačka Poissonova rozdělení vypočítá pravděpodobnost, že v pevně vymezeném časovém intervalu nebo prostoru nastane určitý počet událostí, pokud známe jejich průměrnou četnost. Používá se, když události nastávají po jedné, nezávisle na sobě a se stálou průměrnou intenzitou. Typickými příklady jsou počet telefonátů, které call centrum přijme za hodinu, nebo počet překlepů na stránce.

Vzorec Poissonova rozdělení

Poissonovo rozdělení udává pravděpodobnost, že nastane právě k událostí, jestliže je průměrný počet událostí v intervalu λ (řecké písmeno lambda). Jeho pravděpodobnostní funkce je:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Jednotlivé symboly znamenají:

• λ (lambda) — průměrný počet událostí na interval. Je to jediný vstup, který rozdělení potřebuje.
• k — přesný počet událostí, jehož pravděpodobnost se počítá. Musí jít o celé číslo 0 nebo vyšší.
• e — Eulerovo číslo, pevná konstanta přibližně rovná hodnotě 2,71828.
• k! — „k faktoriál“, součin všech celých čísel od 1 do k. Například 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Podle konvence platí 0! = 1.

Vzorec vyžaduje pouze λ a k. Na rozdíl od binomického rozdělení nepotřebuje celkový počet pokusů.

Jak vypočítat Poissonovu pravděpodobnost

1. Zvolte λ, průměrný počet událostí ve sledovaném intervalu.
2. Zvolte k, přesný počet událostí, pro který chcete zjistit pravděpodobnost.
3. Umocněte e na −λ: získáte e^(−λ).
4. Umocněte λ na k: získáte λ^k.
5. Vypočítejte k!, tedy faktoriál k.
6. Vynásobte výsledky kroků 3 a 4 a poté je vydělte výsledkem kroku 5.

Výsledkem je pravděpodobnost mezi 0 a 1. Chcete-li ji vyjádřit v procentech, vynásobte ji hodnotou 100.

Praktický příklad

Call centrum přijímá průměrně 5 hovorů za hodinu (λ = 5). Jaká je pravděpodobnost, že během dané hodiny přijme přesně 3 hovory (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Vynásobte: 0,00673795 × 125 ≈ 0,842244
5. Vydělte číslem 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Pravděpodobnost přesně 3 hovorů během této hodiny je přibližně 0,140 neboli 14 %.

Další příklady

Kde se Poissonovo rozdělení používá

Poissonovo rozdělení modeluje počty vzácných, nezávislých událostí. Mezi běžná použití patří:

• Call centra a zákaznický servis: předpovídání počtu hovorů nebo chatů přijatých za hodinu.
• Výroba: odhad počtu vad v dávce výrobků.
• Pojišťovnictví: odhad počtu pojistných událostí, které nastanou v daném období.
• Biologie a lékařství: modelování počtu mutací nebo šíření vzácných onemocnění.
• Fyzika: popis radioaktivního rozpadu, při němž se každý atom rozpadá nezávisle na ostatních se stálou průměrnou intenzitou.
• Doprava a síťové inženýrství: odhad příjezdů vozidel ke křižovatce nebo požadavků směřujících na server.

Podmínky použití Poissonova rozdělení

Poissonovo rozdělení odpovídá situaci pouze tehdy, když platí všechny tyto podmínky:

• Události nastávají po jedné; dvě události nemohou nastat přesně ve stejném okamžiku.
• Události nastávají nezávisle — jedna událost nezvyšuje ani nesnižuje pravděpodobnost další události.
• Průměrná intenzita λ zůstává během sledovaného intervalu konstantní.

Pokud se intenzita v čase mění nebo se události mají tendenci shlukovat, běžné Poissonovo rozdělení nebude data dobře popisovat.

Poissonovo rozdělení a příbuzná rozdělení

• Binomické rozdělení: používá se při pevném počtu pokusů a známé pravděpodobnosti úspěchu v každém z nich, například při 20 hodech mincí. Poissonovo rozdělení se hodí v případě, kdy pravděpodobnost události v jednotlivém pokusu je velmi malá, ale počet pokusů velmi velký. Součin počtu pokusů a pravděpodobnosti na jeden pokus pak hraje roli λ.
• Normální rozdělení: pro velké λ se Poissonovo rozdělení blíží zvonovitému normálnímu rozdělení se střední hodnotou λ a rozptylem λ.
• Exponenciální rozdělení: Poissonovo rozdělení počítá, kolik událostí nastane v pevném intervalu, zatímco exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání mezi těmito událostmi.

Poznámka k historii

Francouzský matematik Siméon Denis Poisson rozdělení představil v roce 1837 v knize o pravděpodobnosti aplikované na soudní rozsudky. Dílo tehdy nenašlo velký ohlas. V roce 1898 vydal Ladislaus Bortkiewicz knihu The Law of Small Numbers. Ukázal, že vzácné události ve velké populaci se řídí Poissonovým rozdělením, na příkladu počtu pruských vojáků, kteří každý rok zahynuli po kopnutí koněm.

Často kladené otázky

Co znamená lambda (λ) v Poissonově rozdělení? Lambda je průměrný očekávaný počet událostí ve sledovaném intervalu. Je to také rozptyl rozdělení, protože směrodatná odchylka je √λ, takže větší λ znamená vyšší průměrný počet i větší rozptyl možných výsledků.

Může být k nebo λ záporné, nebo zlomkové? λ musí být větší než 0, ale může být desetinné číslo, například 2,5 události za hodinu. k musí být celé číslo 0 nebo vyšší, protože počítá skutečné události; nemůže být záporné ani zlomkové. Kalkulačka také omezuje λ na 700 a k na 1 000, aby výsledky zůstaly numericky stabilní.

Jak se Poissonovo rozdělení liší od binomického rozdělení? Binomické rozdělení vyžaduje pevný počet pokusů a pevnou pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu. Poissonovo rozdělení vyžaduje pouze průměrnou intenzitu a používá se pro události, které by teoreticky mohly nastat libovolněkrát.

Kdy použít místo toho normální rozdělení? Pro velké λ normální rozdělení se stejnou střední hodnotou a rozptylem Poissonovo rozdělení těsně aproximuje a často se s ním snáze pracuje ručně.

Proč kalkulačka někdy zobrazuje číslo ve vědeckém zápisu? Pokud je pravděpodobnost menší než 0,0001, kalkulačka přepne na vědecký zápis se šesti desetinnými místy (například 1.000000e-7). Větší výsledky se zobrazují se šesti desetinnými místy. Pevné zobrazení na šest desetinných míst by drobné výsledky ukázalo jako 0,000000 a skrylo by, jak jsou malé.

Umožňuje Poissonovo rozdělení více než jednu událost současně? Ne. Model předpokládá, že události nastávají po jedné. Pokud dvě události běžně nastávají společně, data lépe popíše jiné rozdělení.

Reference

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution. NIST: Poissonovo rozdělení — pravděpodobnostní funkce, střední hodnota λ a směrodatná odchylka √λ.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Siméon-Denis Poisson. MacTutor: Poisson — rozdělení se poprvé objevuje v díle Recherches z roku 1837; malá pravděpodobnost, velký počet pokusů; tehdy nenašlo velký ohlas.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Ladislaus Bortkiewicz. MacTutor: Bortkiewicz — The Law of Small Numbers (1898) a údaje o kopnutí koněm u pruských vojáků.