Kalkulačka Poissonova rozdělení - Výpočet pravděpodobností událostí

Co je kalkulačka Poissonova rozdělení?

Kalkulačka Poissonova rozdělení vypočítá pravděpodobnost, že v pevně vymezeném časovém intervalu nebo prostoru nastane určitý počet událostí, pokud známe jejich průměrnou četnost. Používá se, když události nastávají po jedné, nezávisle na sobě a se stálou průměrnou intenzitou. Typickými příklady jsou počet telefonátů, které call centrum přijme za hodinu, nebo počet překlepů na stránce.

Vzorec Poissonova rozdělení

Poissonovo rozdělení udává pravděpodobnost přesně k událostí, pokud je průměrná intenzita λ (řecké písmeno lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Jednotlivé symboly znamenají:

• λ (lambda) — průměrný počet událostí za interval. Je to jediný parametr rozdělení.
• k — přesný počet událostí, jehož pravděpodobnost se počítá. Musí jít o celé číslo 0 nebo vyšší.
• e — Eulerovo číslo, pevná konstanta přibližně rovná hodnotě 2,71828.
• k! — „k faktoriál“, součin všech celých čísel od 1 do k. Například 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Podle konvence platí 0! = 1.

Vzorec vyžaduje pouze λ a k. Na rozdíl od binomického rozdělení nepotřebuje celkový počet pokusů.

Jak vypočítat Poissonovu pravděpodobnost

1. Zvolte λ, průměrný počet událostí ve sledovaném intervalu.
2. Zvolte k, přesný počet událostí, pro který chcete zjistit pravděpodobnost.
3. Umocněte e na −λ: získáte e^(−λ).
4. Umocněte λ na k: získáte λ^k.
5. Vypočítejte k!, tedy faktoriál k.
6. Vynásobte výsledky kroků 3 a 4 a poté je vydělte výsledkem kroku 5.

Výsledkem je pravděpodobnost mezi 0 a 1. Chcete-li ji vyjádřit v procentech, vynásobte ji hodnotou 100.

Příklad výpočtu

Call centrum přijímá průměrně 5 hovorů za hodinu (λ = 5). Jaká je pravděpodobnost, že během dané hodiny přijme přesně 3 hovory (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Vynásobení: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Dělení číslem 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Pravděpodobnost přesně 3 hovorů během této hodiny je přibližně 0,140 neboli 14 %.

Další příklady

Kde se Poissonovo rozdělení používá

Poissonovo rozdělení modeluje počty vzácných, nezávislých událostí. Mezi běžná použití patří:

• Call centra a zákaznický servis: předpovídání počtu hovorů nebo chatů přijatých za hodinu.
• Výroba: odhad počtu vad v dávce výrobků.
• Pojišťovnictví: odhad počtu pojistných událostí, které nastanou v daném období.
• Biologie a lékařství: modelování počtu mutací nebo šíření vzácných onemocnění.
• Fyzika: popis radioaktivního rozpadu, při němž se každý atom rozpadá nezávisle na ostatních se stálou průměrnou intenzitou.
• Doprava a síťové inženýrství: odhad příjezdů vozidel ke křižovatce nebo požadavků směřujících na server.

Podmínky použití Poissonova rozdělení

Poissonovo rozdělení odpovídá situaci pouze tehdy, když platí všechny tyto podmínky:

• Události nastávají po jedné; dvě události nemohou nastat přesně ve stejném okamžiku.
• Události nastávají nezávisle — jedna událost nezvyšuje ani nesnižuje pravděpodobnost další události.
• Průměrná intenzita λ zůstává během sledovaného intervalu konstantní.

Pokud se intenzita v čase mění nebo se události mají tendenci shlukovat, běžné Poissonovo rozdělení nebude data dobře popisovat.

Poissonovo rozdělení a příbuzná rozdělení

• Binomické rozdělení: používá se při pevném počtu pokusů a známé pravděpodobnosti úspěchu v každém z nich, například při 20 hodech mincí. Poissonovo rozdělení vzniká jako limitní případ binomického rozdělení, když počet pokusů roste do velmi vysokých hodnot a pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu klesá k nule, přičemž jejich součin zůstává přibližně roven λ.
• Normální rozdělení: při velkém λ, zhruba nad 20, se Poissonovo rozdělení podobá zvonovitému normálnímu rozdělení se střední hodnotou λ a rozptylem λ.
• Exponenciální rozdělení: Poissonovo rozdělení počítá, kolik událostí nastane v pevném intervalu, zatímco exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání mezi těmito událostmi.

Poznámka k historii

Francouzský matematik Siméon Denis Poisson zavedl toto rozdělení v 1837 v knize o aplikaci pravděpodobnosti na soudní verdikty. Zpočátku mu byla věnována jen malá pozornost. Jeho využití se rozšířilo na začátku 20. století poté, co je statistici jako Ladislaus Bortkiewicz a Ronald Fisher použili na skutečná data o počtech událostí, včetně známé studie pruských vojáků usmrcených kopnutím koně.

Často kladené otázky

Co znamená lambda (λ) v Poissonově rozdělení? Lambda je očekávaný průměrný počet událostí ve sledovaném intervalu. Je také rozptylem tohoto rozdělení, takže větší λ znamená jak vyšší průměrný počet, tak větší rozptyl možných výsledků.

Může být k nebo λ záporné či zlomkové? λ musí být větší než 0, ale může mít desetinnou hodnotu, například 2,5 událostí za hodinu. k musí být celé číslo 0 nebo vyšší, protože počítá skutečné události; nemůže být záporné ani zlomkové.

Jak se Poissonovo rozdělení liší od binomického rozdělení? Binomické rozdělení vyžaduje pevný počet pokusů a pevnou pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu. Poissonovo rozdělení vyžaduje pouze průměrnou intenzitu a používá se pro události, které by teoreticky mohly nastat libovolněkrát.

Kdy je vhodnější použít normální rozdělení? Při velkém λ, obecně nad přibližně 20, normální rozdělení se stejnou střední hodnotou a rozptylem Poissonovo rozdělení dobře aproximuje a často se s ním snáze pracuje ručně.

Proč kalkulačka někdy zobrazuje číslo ve vědeckém zápisu? Výsledky se obvykle zobrazují na šest desetinných míst. Když je pravděpodobnost menší než 0,0001, zaokrouhlení na šest desetinných míst by ji změnilo na 0,000000 a skrylo, jak je ve skutečnosti malá, proto kalkulačka přepne na vědecký zápis. Pro λ = 20 a k = 1 zobrazí 4.122307e-8, což znamená 0,00000004122307.

Existují omezení hodnot, které kalkulačka přijímá? Ano. λ musí být větší než 0 a nejvýše 700, zatímco k musí být celé číslo od 0 do 1000. Mimo tyto meze kalkulačka zobrazí chybu. Tato omezení udržují výsledek v rozsahu čísel, která může počítač uložit, a zachovávají v grafu čitelný počet sloupců.

Umožňuje Poissonovo rozdělení více než jednu událost současně? Ne. Model předpokládá, že události nastávají po jedné. Pokud dvě události běžně nastávají společně, data lépe popíše jiné rozdělení.

Reference

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paříž, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, oddíl 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp a Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.