Kalkulačka Laplaceova rozdělení - Bezplatný PDF a vizualizační nástroj

Co je Laplaceovo rozdělení?

Laplaceovo rozdělení, nazývané také dvojité exponenciální rozdělení, je spojité pravděpodobnostní rozdělení ve tvaru dvou exponenciálních křivek spojených v jednom vrcholu. Je symetrické kolem střední hodnoty a má těžší chvosty než normální rozdělení, takže přiřazuje vyšší pravděpodobnost extrémním hodnotám. Kalkulačka Laplaceova rozdělení na této stránce určuje maximální hustotu pravděpodobnosti rozdělení z parametru polohy a parametru měřítka a vykresluje celou křivku hustoty.

Rozdělení je pojmenováno po francouzském matematikovi Pierru-Simonu Laplaceovi, který je poprvé popsal v roce 1774.

Vzorec Laplaceova rozdělení

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) Laplaceova rozdělení je:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x je libovolný bod na číselné ose.
• μ (mí), parametr polohy, je středem rozdělení. Je také střední hodnotou a mediánem.
• b, parametr měřítka, určuje, jak je rozdělení rozptýlené. Musí být větší než 0.
• |x − μ| je vzdálenost mezi x a středem bez ohledu na směr.

Křivka dosahuje nejvyššího bodu přesně v x = μ. V tomto bodě se vzorec zjednoduší, protože |μ − μ| = 0 a exp(0) = 1, takže zbývá:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Tato maximální hodnota, 1/(2b), je číslo, které kalkulačka uvádí.

Jak používat kalkulačku Laplaceova rozdělení

1. Zadejte parametr polohy (μ). Tím se určí, kde je rozdělení vystředěné.
2. Zadejte parametr měřítka (b). Musí jít o kladné číslo; čím je jeho hodnota větší, tím je křivka plošší a rozptýlenější.
3. Kalkulačka zobrazí maximální hustotu, 1/(2b), a vykreslí křivku hustoty f(x) od μ − 4b do μ + 4b. Svislá osa grafu představuje hustotu pravděpodobnosti a křivku lze stáhnout jako tabulku hodnot x a f(x).

Kalkulačka nepřijímá samostatnou hodnotu x. Vždy uvádí hustotu v samotném maximu rozdělení, x = μ, protože jde o jediné nejvhodnější souhrnné číslo pro porovnávání rozdělení s různými měřítky. Chcete-li zjistit hustotu v jiném bodě, použijte výše uvedený vzorec s požadovanou hodnotou x nebo odečtěte výšku z grafu.

Příklad výpočtu

Uvažujme polohu μ = 4 a měřítko b = 2.

1. Ověřte, že b je kladné: 2 > 0, takže zadané hodnoty jsou platné.
2. Maximum nastává v x = μ = 4, kde |x − μ| = 0.
3. Vypočítejte maximální hustotu: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulačka zobrazí 0,250000. Vykreslená křivka má maximum v bodě (4, 0,25) a po obou stranách symetricky klesá; její rozsah je od μ − 4b do μ + 4b, tedy v tomto případě od −4 do 12.

Protože vzorec maximální hustoty, 1/(2b), neobsahuje μ, změna polohy pouze posune křivku doleva nebo doprava. Její výšku nezmění. Výšku mění pouze parametr měřítka.

Další příklady

Střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka

Pro Laplaceovo rozdělení s polohou μ a měřítkem b platí:

• Střední hodnota = μ
• Medián = μ
• Rozptyl = 2b²
• Směrodatná odchylka = b√2

Laplaceovo rozdělení versus normální rozdělení

Obě rozdělení jsou symetrická a mají zvonovitý tvar; obě lze plně popsat středem a parametrem měřítka. Rozdíl spočívá v chvostech. U normálního rozdělení se hustota zmenšuje s druhou mocninou vzdálenosti od střední hodnoty, takže extrémní hodnoty se velmi rychle stávají téměř nemožnými. U Laplaceova rozdělení se zmenšuje s prostou vzdáleností, takže extrémní hodnoty zůstávají relativně pravděpodobnější. Laplaceovo rozdělení je proto užitečné všude tam, kde skutečná data obsahují více odlehlých hodnot, než by předpovídalo normální rozdělení.

Běžné použití

• Zpracování signálu a obrazu: modelování šumu a komprese obrazu, protože rozdíly mezi pixely nebo signály se často soustřeďují kolem nuly, ale občas vykazují velké skoky.
• Diferenciální soukromí: Laplaceův mechanismus přidává k výsledkům dotazů šum s Laplaceovým rozdělením, aby chránil údaje jednotlivců a současně zachoval celkovou přesnost.
• Robustní statistika a regrese: Lasso regrese používá apriorní rozdělení ve tvaru Laplaceova rozdělení, které upřednostňuje řešení, v nichž je mnoho koeficientů přesně nulových.
• Finance: modelování výnosů aktiv, které mívají těžší chvosty, než naznačuje normální rozdělení.
• Seismologie: objevuje se v modelech rozložení magnitud zemětřesení souvisejících s Gutenbergovým-Richterovým zákonem.

Často kladené otázky

Co znamená výsledek kalkulačky?

Jde o maximální hodnotu funkce hustoty pravděpodobnosti, která se rovná 1/(2b). Je to výška křivky v jejím středu, x = μ.

Proč kalkulačka nepožaduje hodnotu x?

Maximální hustota, 1/(2b), je stejná pro každou hodnotu x, která se rovná μ, takže k jejímu zjištění není potřeba zadávat x samostatně. Jde o standardní jediné číslo používané k porovnání toho, jak vysoká a úzká nebo nízká a široká jsou dvě Laplaceova rozdělení. Celá křivka s hustotou pro každé x je k dispozici v grafu.

Jak zjistím hustotu v jiném bodě než v maximu?

Pro požadovanou hodnotu x použijte vzorec $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ nebo odečtěte výšku přímo z vykreslené křivky.

Jak se Laplaceovo rozdělení liší od exponenciálního rozdělení?

Laplaceovo rozdělení lze sestavit ze dvou exponenciálních rozdělení. Pokud jsou X a Y nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením a stejným parametrem intenzity, pak X − Y má Laplaceovo rozdělení se středem v bodě 0.

Jaká jsou typická použití Laplaceova rozdělení?

Používá se při zpracování signálu, kompresi obrazu, diferenciálním soukromí, robustní statistice, Lasso regresi a modelování finančních výnosů a magnitud zemětřesení, tedy všude tam, kde skutečná data vykazují více extrémních hodnot, než předpovídá normální rozdělení.

Může být Laplaceovo rozdělení záporné, nebo se týká pouze kladných hodnot?

Je definováno pro všechna reálná čísla, kladná i záporná, na rozdíl od exponenciálního rozdělení, které nabývá pouze nezáporných hodnot.

Reference

1. Kotz, S., Kozubowski, T. a Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution