Kalkulačka Laplaceova rozdělení - Bezplatný PDF a vizualizační nástroj

Co je Laplaceovo rozdělení?

Laplaceovo rozdělení, nazývané také dvojité exponenciální rozdělení, je spojité pravděpodobnostní rozdělení ve tvaru dvou exponenciálních křivek spojených v jednom vrcholu. Je symetrické kolem střední hodnoty a má těžší chvosty než normální rozdělení, takže přiřazuje vyšší pravděpodobnost extrémním hodnotám. Kalkulačka Laplaceova rozdělení na této stránce určuje maximální hustotu pravděpodobnosti rozdělení z parametru polohy a parametru měřítka a vykresluje celou křivku hustoty.

Rozdělení je pojmenováno po Pierru-Simonu Laplaceovi, francouzském matematikovi, který je poprvé popsal v roce 1774 jako zákon chyb.

Vzorec Laplaceova rozdělení

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) Laplaceova rozdělení je:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x je libovolný bod na číselné ose.
• μ (mí), parametr polohy, je středem rozdělení. Je také střední hodnotou a mediánem.
• b, parametr měřítka, určuje, jak široce je rozdělení rozptýlené. Musí být větší než 0. Kalkulačka přijímá hodnoty b větší než 0,0001.
• |x − μ| je vzdálenost mezi x a středem bez ohledu na směr.

Křivka dosahuje nejvyššího bodu přesně v x = μ. V tomto bodě se vzorec zjednoduší, protože |μ − μ| = 0 a exp(0) = 1, takže zbývá:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Tato maximální hodnota, 1/(2b), je číslo, které kalkulačka uvádí.

Jak používat kalkulačku Laplaceova rozdělení

1. Zadejte parametr polohy (μ). Tím se určí, kde je rozdělení vystředěné.
2. Zadejte parametr měřítka (b). Musí být větší než 0,0001; čím větší hodnota, tím plošší a širší křivka.
3. Kalkulačka zobrazí maximální hustotu 1/(2b) a vykreslí křivku hustoty f(x) v okolí μ.

Kalkulačka nepřijímá samostatnou hodnotu x. Vždy uvádí hustotu v samotném maximu rozdělení, x = μ, protože jde o jediné nejvhodnější souhrnné číslo pro porovnávání rozdělení s různými měřítky. Chcete-li zjistit hustotu v jiném bodě, použijte výše uvedený vzorec s požadovanou hodnotou x nebo odečtěte výšku z grafu.

Praktický příklad

Uvažujme polohu μ = 4 a měřítko b = 2.

1. Zkontrolujte, že b je větší než minimum kalkulačky: 2 > 0,0001, takže zadané hodnoty jsou platné.
2. Maximum nastává v x = μ = 4, kde |x − μ| = 0.
3. Vypočtěte maximální hustotu: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulačka zobrazí 0,250000. Vykreslená křivka má maximum v bodě (4, 0,25) a po obou stranách symetricky klesá; její rozsah je od μ − 4b do μ + 4b, tedy v tomto případě od −4 do 12.

Protože vzorec maximální hustoty, 1/(2b), neobsahuje μ, změna polohy pouze posune křivku doleva nebo doprava. Její výšku nezmění. Výšku mění pouze parametr měřítka.

Další příklady

Střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka

U Laplaceova rozdělení s polohou μ a měřítkem b uvádí příručka NIST střední hodnotu, medián i modus rovné μ a směrodatnou odchylku jako √2 krát měřítko; rozptyl je druhá mocnina směrodatné odchylky:

• Střední hodnota = μ
• Medián = μ
• Rozptyl = 2b²
• Směrodatná odchylka = b√2

Laplaceovo rozdělení versus normální rozdělení

Obě rozdělení jsou symetrická a zvonovitá a obě jsou plně popsána středem a parametrem rozptylu. Rozdíl je v chvostech. Hustota normálního rozdělení klesá úměrně druhé mocnině vzdálenosti od střední hodnoty, takže extrémní hodnoty se velmi rychle stávají nesmírně vzácnými. Hustota Laplaceova rozdělení klesá úměrně prosté vzdálenosti od střední hodnoty, takže extrémní hodnoty zůstávají poměrně pravděpodobnější. Proto je Laplaceovo rozdělení užitečné všude, kde reálná data obsahují více odlehlých hodnot, než by předpovídalo normální rozdělení.

Běžné použití

• Zpracování signálu a obrazu: modelování šumu a komprese obrazu, protože rozdíly mezi pixely nebo signály se často soustřeďují kolem nuly, ale občas vykazují velké skoky.
• Diferenciální soukromí: Laplaceův mechanismus přidává k výsledkům dotazů šum s Laplaceovým rozdělením, aby chránil jednotlivé údaje a zároveň zachoval celkovou přesnost.
• Robustní statistika a regrese: Lasso regrese používá apriorní rozdělení ve tvaru Laplaceova rozdělení, které upřednostňuje řešení, v nichž je mnoho koeficientů přesně nulových.
• Finance: modelování výnosů aktiv, které mívají těžší chvosty, než naznačuje normální rozdělení.

Často kladené otázky

Co znamená výsledek kalkulačky?

Jde o maximální hodnotu funkce hustoty pravděpodobnosti, která se rovná 1/(2b). Je to výška křivky v jejím středu, x = μ.

Proč kalkulačka nepožaduje hodnotu x?

Maximální hustota, 1/(2b), je stejná pro každou hodnotu x, která se rovná μ, takže k jejímu zjištění není potřeba zadávat x samostatně. Jde o standardní jediné číslo používané k porovnání toho, jak vysoká a úzká nebo nízká a široká jsou dvě Laplaceova rozdělení. Celá křivka s hustotou pro každé x je k dispozici v grafu.

Jak zjistím hustotu v jiném bodě než v maximu?

Použijte vzorec f(x) = (1/2b) × exp(−|x − μ|/b) s požadovanou hodnotou x nebo odečtěte výšku přímo z vykreslené křivky.

Jak se Laplaceovo rozdělení liší od exponenciálního rozdělení?

Laplaceovo rozdělení lze sestavit ze dvou exponenciálních rozdělení. Pokud jsou X a Y nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením a stejným parametrem intenzity, pak X − Y má Laplaceovo rozdělení se středem v bodě 0.

Jaká jsou typická použití Laplaceova rozdělení?

Používá se při zpracování signálů, kompresi obrazu, diferenciálním soukromí, robustní statistice, lasso regresi a modelování finančních výnosů, tedy všude, kde reálná data vykazují více extrémních hodnot, než předpovídá normální rozdělení.

Může být Laplaceovo rozdělení záporné, nebo se týká pouze kladných hodnot?

Je definováno pro všechna reálná čísla, kladná i záporná, na rozdíl od exponenciálního rozdělení, které nabývá pouze nezáporných hodnot.

Reference

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Double Exponential Distribution. Příručka NIST e-Handbook, dvojité exponenciální rozdělení — funkce hustoty (PDF) s polohou μ a měřítkem β; střední hodnota, medián i modus μ; směrodatná odchylka √2β; obor od −∞ do ∞; nazývá se také Laplaceovo rozdělení.
2. Kotz, S., Kozubowski, T. J. & Podgórski, K. The Laplace Distribution and Generalizations, kapitola 1, "Historical Background" (Springer, 2001). Abstrakt kapitoly na RePEc — Laplace představil tento "first law of error" v roce 1774.
3. National Institute of Standards and Technology. Glossary: Laplace mechanism (z NIST SP 800-226). Glosář NIST CSRC, Laplaceův mechanismus — Laplaceův mechanismus přidává k výstupu dotazu šum z Laplaceova rozdělení.