Kalkulátor Laplaceovy distribuce

Úvod

Laplaceova distribuce, známá také jako dvojitá exponenciální distribuce, je spojitá pravděpodobnostní distribuce pojmenovaná po Pierre-Simonu Laplaceovi. Je symetrická kolem svého průměru (parametr umístění) a má těžší ocasy ve srovnání s normální distribucí. Tento kalkulátor vám umožňuje vypočítat hodnotu funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) Laplaceovy distribuce pro dané parametry a vizualizovat její tvar.

Jak používat tento kalkulátor

1. Zadejte parametr umístění (μ), který představuje průměr distribuce.
2. Zadejte parametr škály (b), který určuje rozptyl distribuce (b > 0).
3. Kalkulátor zobrazí hodnotu funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) při x = 0 a zobrazí graf distribuce.

Poznámka: Parametr škály musí být přísně kladný (b > 0).

Vzorec

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) Laplaceovy distribuce je dána vzorcem:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Kde:

• x je proměnná
• μ (mu) je parametr umístění
• b je parametr škály (b > 0)

Výpočet

Kalkulátor používá tento vzorec k výpočtu hodnoty PDF při x = 0 na základě uživatelského vstupu. Zde je krok za krokem vysvětlení:

1. Ověřte vstupy: Ujistěte se, že parametr škály b je kladný.
2. Vypočítejte |x - μ|: V tomto případě je to jednoduše |0 - μ| = |μ|.
3. Vypočítejte exponenciální člen: $\exp(-|μ| / b)$
4. Vypočítejte konečný výsledek: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Okrajové případy, které je třeba zvážit:

• Pokud b ≤ 0, zobrazte chybovou zprávu.
• Pro velmi velké |μ| nebo velmi malé b může být výsledek extrémně blízko nule.
• Pro μ = 0 dosáhne PDF své maximální hodnoty 1/(2b) při x = 0.

Případy použití

Laplaceova distribuce má různé aplikace v různých oblastech:

1. Zpracování signálů: Používá se při modelování a analýze zvukových a obrazových signálů.

2. Finance: Aplikována při modelování finančních výnosů a hodnocení rizik.

3. Strojové učení: Používá se v Laplaceově mechanismu pro diferenciální soukromí a v některých modelech bayesovské inference.

4. Zpracování přirozeného jazyka: Aplikována v jazykových modelech a úlohách klasifikace textu.

5. Geologie: Používá se při modelování rozdělení magnitud zemětřesení (zákon Gutenberg-Richter).

Alternativy

I když je Laplaceova distribuce užitečná v mnoha scénářích, existují i jiné pravděpodobnostní distribuce, které by mohly být v určitých situacích vhodnější:

1. Normální (Gaussova) distribuce: Častěji se používá k modelování přírodních jevů a chyb měření.

2. Cauchyova distribuce: Má ještě těžší ocasy než Laplaceova distribuce, užitečná pro modelování dat náchylných k odlehlým hodnotám.

3. Exponenciální distribuce: Používá se k modelování času mezi událostmi v Poissonově procesu.

4. Studentova t-distribuce: Často se používá v testování hypotéz a modelování finančních výnosů.

5. Logistická distribuce: Podobná tvarem normální distribuci, ale s těžšími ocasy.

Historie

Laplaceova distribuce byla představena Pierrem-Simonem Laplaceem v jeho pamfletu z roku 1774 "O pravděpodobnosti příčin událostí." Nicméně distribuce získala větší význam na počátku 20. století s rozvojem matematické statistiky.

Klíčové milníky v historii Laplaceovy distribuce:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace představuje distribuci ve své práci o teorii pravděpodobnosti.
2. 1930. léta: Distribuce je znovuobjevena a aplikována v různých oblastech, včetně ekonomie a inženýrství.
3. 1960. léta: Laplaceova distribuce získává význam v robustní statistice jako alternativa k normální distribuci.
4. 1990. léta - současnost: Zvýšené využití v strojovém učení, zpracování signálů a finančním modelování.

Příklady

Zde jsou některé příklady kódu pro výpočet PDF Laplaceovy distribuce:

1' Excel VBA Funkce pro PDF Laplaceovy distribuce
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Použití:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Parametr škály musí být kladný")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Příklad použití:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Hodnota PDF při x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Parametr škály musí být kladný");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Příklad použití:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Hodnota PDF při x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Parametr škály musí být kladný");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Hodnota PDF při x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Tyto příklady demonstrují, jak vypočítat PDF Laplaceovy distribuce pro dané parametry. Můžete tyto funkce přizpůsobit svým specifickým potřebám nebo je integrovat do větších systémů statistické analýzy.

Číselné příklady

1. Standardní Laplaceova distribuce:

   • Umístění (μ) = 0
   • Škála (b) = 1
   • PDF při x = 0: 0.500000

2. Posunutá Laplaceova distribuce:

   • Umístění (μ) = 2
   • Škála (b) = 1
   • PDF při x = 0: 0.183940

3. Škálovaná Laplaceova distribuce:

   • Umístění (μ) = 0
   • Škála (b) = 3
   • PDF při x = 0: 0.166667

4. Posunutá a škálovaná Laplaceova distribuce:

   • Umístění (μ) = -1
   • Škála (b) = 0.5
   • PDF při x = 0: 0.367879

Reference

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). Laplaceova distribuce a generalizace. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). Hlavní průměry a zákony chyb, které k nim vedou. Časopis Královské statistické společnosti, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). Laplaceův mechanismus v diferenciální soukromí. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Základy analýzy šumu a vibrací pro inženýry. Cambridge University Press.
5. "Laplaceova distribuce." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Přístup 2. srpna 2024.