Fisherův exaktní test - Bezplatný statistický nástroj

Co je Fisherův exaktní test?

Fisherův exaktní test je statistická metoda, která zjišťuje, zda spolu dvě kategoriální proměnné souvisejí, a využívá data uspořádaná do tabulky 2×2. Místo aproximace vypočítá přesnou pravděpodobnost, tzv. p-hodnotu. Díky tomu se hodí při malém výběru.

Test porovnává četnosti ve dvou řádcích a dvou sloupcích, například u pacientů „léčených“ a „neléčených“, kteří se uzdravili, nebo neuzdravili. Tabulka 2×2 má čtyři buňky, obvykle označené A, B, C a D, a dále součty řádků a sloupců.

Fisherův exaktní test versus test chí-kvadrát

Test chí-kvadrát také zjišťuje vztah mezi dvěma kategoriálními proměnnými, ale opírá se o aproximaci, která dobře funguje jen tehdy, jsou-li četnosti v buňkách dostatečně velké. Běžné orientační pravidlo zní: je-li očekávaná četnost v některé buňce tabulky menší než 5, aproximace chí-kvadrát přestává být spolehlivá a lepší volbou je Fisherův exaktní test. Fisherův exaktní test funguje při jakékoli velikosti výběru. Je matematicky přesný, nikoli přibližný, a to je jeho hlavní přednost u malých výběrů.

Jak vypočítat Fisherův exaktní test

Test používá hypergeometrické rozdělení, které popisuje pravděpodobnost vytažení určitého počtu položek ze skupiny bez jejich vracení. Jsou-li známy součty řádků a sloupců tabulky, hypergeometrické rozdělení udává pravděpodobnost libovolného konkrétního uspořádání četností ve čtyřech buňkách.

Vzorec pravděpodobnosti

U tabulky s buňkami A, B, C, D, součty řádků r₁ = A + B a r₂ = C + D, součty sloupců c₁ = A + C a c₂ = B + D a celkovou velikostí výběru n = A + B + C + D je pravděpodobnost přesně této tabulky:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Zde „!“ znamená faktoriál: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Jednostranná p-hodnota

Jednostranná p-hodnota sčítá pravděpodobnost pozorované tabulky a všech ostatních tabulek se stejnými součty řádků a sloupců, které vykazují stejně silný nebo silnější vztah stejným směrem. „Směr“ se určuje porovnáním buňky A s hodnotou, kterou by měla, kdyby spolu proměnné nesouvisely; tato hodnota se nazývá očekávaná hodnota: E(A) = r₁c₁ / n.

• Pokud je A rovno E(A) nebo větší, asociace je kladná a součet zahrnuje všechny možné hodnoty buňky A od pozorované hodnoty až po její nejvyšší možnou hodnotu.
• Pokud je A menší než E(A), asociace je záporná a součet sahá od nejnižší možné hodnoty buňky A až po pozorovanou hodnotu.

Oboustranná p-hodnota

Oboustranná p-hodnota sčítá pravděpodobnosti všech možných tabulek se stejnými součty řádků a sloupců, jejichž pravděpodobnost je stejná nebo menší než pravděpodobnost pozorované tabulky. Zahrnuje extrémní výsledky v obou směrech, takže oboustranná p-hodnota bývá obvykle větší než jednostranná p-hodnota vypočtená ze stejné tabulky.

Praktický příklad

V malé studii dostalo nový lék 10 pacientů a placebo dalších 10 pacientů. Výsledky:

Zde A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 a n = 20. Očekávaná hodnota A za předpokladu nezávislosti je E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Protože 8 je větší než 5,5, asociace je kladná, takže jednostranný součet sahá od A = 8 až po nejvyšší možnou hodnotu A, která je 10.

Výpočtem hypergeometrických pravděpodobností pro A = 8, 9 a 10 vychází jednostranná p-hodnota přibližně 0,0349. Sečtením pravděpodobností všech tabulek (v obou směrech), jejichž pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti pozorované tabulky nebo nižší, vychází oboustranná p-hodnota přibližně 0,0698.

Při běžné hladině 0,05 je jednostranný výsledek statisticky významný, zatímco oboustranný výsledek významný není. To ukazuje, proč záleží na volbě typu testu: jednostranný test je vhodný pouze tehdy, když byl směr účinku (zde že lék zlepšuje výsledky) předpovězen ještě před zkoumáním údajů.

Kdy použít Fisherův exaktní test

Fisherův exaktní test se běžně používá v těchto případech:

• Klinické studie s malým počtem pacientů.
• Kontroly kvality porovnávající počty vad mezi dvěma výrobními dávkami.
• Genetický výzkum porovnávající četnosti znaku ve dvou malých skupinách.
• Jakákoli tabulka 2×2, v níž je očekávaná četnost v některé buňce menší než 5.

Často kladené otázky

K čemu se Fisherův exaktní test používá? Zjišťuje, zda spolu dvě kategoriální proměnné souvisejí, a využívá četnosti z tabulky 2×2. Při malém výběru se často volí místo testu chí-kvadrát.

Kdy by měl být Fisherův exaktní test použit místo testu chí-kvadrát? Když je očekávaná četnost v některé buňce tabulky menší než 5 nebo když je bez ohledu na velikost výběru zapotřebí vyšší jistota ohledně přesné pravděpodobnosti.

Jaký je rozdíl mezi jednostrannými a oboustrannými výsledky? Jednostranná p-hodnota testuje předpovězený směr účinku, o němž se rozhodlo před zobrazením údajů. Oboustranná p-hodnota testuje, zda existuje jakákoli asociace v kterémkoli směru. Oboustranná p-hodnota ze stejné tabulky bývá obvykle větší.

Uvádí tato kalkulačka poměr šancí? Ne. Uvádí pouze přesnou p-hodnotu. Poměr šancí pro stejnou tabulku lze vypočítat samostatně jako A × D děleno B × C.

Lze Fisherův exaktní test použít na tabulky větší než 2×2? Zde popsaná verze je určena pro tabulky 2×2. Větší tabulky vyžadují příbuznou metodu, která se nazývá Freemanovo-Haltonovo rozšíření a je dostupná ve většině statistických programů.

Lze Fisherův exaktní test použít pro párová data, například měření před a po u stejných osob? Ne. Předpokládá dvě nezávislé skupiny. Pro párová kategoriální data se místo něj používá McNemarův test.

Reference

1. Kim H-Y. Statistical notes for clinical researchers: Chi-squared test and Fisher's exact test. Restorative Dentistry & Endodontics, 2017. Kim 2017 (PMC) — Fisherův exaktní test se používá, když očekávané četnosti v buňkách klesnou pod 5, a na buňky tabulky se při něm uplatňuje hypergeometrické rozdělení.