Fisherův exaktní test - Bezplatný statistický nástroj

Co je Fisherův exaktní test?

Fisherův exaktní test je statistická metoda, která ověřuje, zda spolu dvě kategoriální proměnné souvisejí, pomocí údajů uspořádaných v tabulce 2×2. Vypočítává přesnou pravděpodobnost označovanou jako p-hodnota, nikoli aproximaci. Díky tomu je užitečný při malém výběru.

Test porovnává četnosti ve dvou řádcích a dvou sloupcích, například „léčení“ versus „neléčení“ u pacientů, kteří se uzdravili nebo neuzdravili. Tabulka 2×2 má čtyři buňky, obvykle označené A, B, C a D, a také součty řádků a sloupců.

Fisherův exaktní test versus chí-kvadrátový test

Chí-kvadrátový test také ověřuje vztah mezi dvěma kategoriálními proměnnými, ale opírá se o aproximaci, která dobře funguje pouze tehdy, když jsou četnosti v buňkách dostatečně vysoké. Běžné orientační pravidlo říká: pokud je očekávaná četnost v některé buňce tabulky menší než 5, chí-kvadrátová aproximace se stává nespolehlivou a vhodnější volbou je Fisherův exaktní test. Fisherův exaktní test funguje při libovolné velikosti výběru, ale je matematicky exaktní, nikoli aproximační, což je jeho hlavní výhoda u malých výběrů.

Jak vypočítat Fisherův exaktní test

Test používá hypergeometrické rozdělení, které popisuje pravděpodobnost vytažení určitého počtu položek ze skupiny bez jejich vracení. Jsou-li známy součty řádků a sloupců tabulky, hypergeometrické rozdělení udává pravděpodobnost libovolného konkrétního uspořádání četností ve čtyřech buňkách.

Vzorec pravděpodobnosti

U tabulky s buňkami A, B, C, D, součty řádků r₁ = A + B a r₂ = C + D, součty sloupců c₁ = A + C a c₂ = B + D a celkovou velikostí výběru n = A + B + C + D je pravděpodobnost přesně této tabulky:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Zde „!“ znamená faktoriál: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Jednostranná p-hodnota

Jednostranná p-hodnota sčítá pravděpodobnost pozorované tabulky a všech ostatních tabulek se stejnými součty řádků a sloupců, které vykazují stejně silný nebo silnější vztah stejným směrem. „Směr“ se určuje porovnáním buňky A s hodnotou, kterou by měla, kdyby spolu proměnné nesouvisely; tato hodnota se nazývá očekávaná hodnota: E(A) = r₁c₁ / n.

• Pokud je A rovno E(A) nebo větší, asociace je kladná a součet zahrnuje všechny možné hodnoty buňky A od pozorované hodnoty až po její nejvyšší možnou hodnotu.
• Pokud je A menší než E(A), asociace je záporná a součet sahá od nejnižší možné hodnoty buňky A až po pozorovanou hodnotu.

Oboustranná p-hodnota

Oboustranná p-hodnota sčítá pravděpodobnosti všech možných tabulek se stejnými součty řádků a sloupců, jejichž pravděpodobnost je stejná nebo menší než pravděpodobnost pozorované tabulky. Zahrnuje extrémní výsledky v obou směrech, takže oboustranná p-hodnota bývá obvykle větší než jednostranná p-hodnota vypočtená ze stejné tabulky.

Příklad výpočtu

V malé studii dostalo nový lék 10 pacientů a placebo dalších 10 pacientů. Výsledky:

Zde A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 a n = 20. Očekávaná hodnota A za předpokladu nezávislosti je E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Protože 8 je větší než 5,5, asociace je kladná, takže jednostranný součet sahá od A = 8 až po nejvyšší možnou hodnotu A, která je 10.

Výpočet hypergeometrických pravděpodobností pro A = 8, 9 a 10 dává jednostrannou p-hodnotu přibližně 0,0349. Sečtením pravděpodobností všech tabulek (v obou směrech) s pravděpodobností nejvýše rovnou pravděpodobnosti pozorované tabulky získáme oboustrannou p-hodnotu přibližně 0,0698.

Při běžné hladině 0,05 je jednostranný výsledek statisticky významný, zatímco oboustranný výsledek významný není. To ukazuje, proč záleží na volbě typu testu: jednostranný test je vhodný pouze tehdy, když byl směr účinku (zde že lék zlepšuje výsledky) předpovězen ještě před zkoumáním údajů.

Kdy použít Fisherův exaktní test

Fisherův exaktní test se běžně používá v těchto případech:

• Klinické studie s malým počtem pacientů.
• Kontroly kvality porovnávající počty vad mezi dvěma výrobními dávkami.
• Genetický výzkum porovnávající četnosti znaku ve dvou malých skupinách.
• Libovolná tabulka 2×2, v níž je očekávaná četnost v některé buňce menší než 5.

Často kladené otázky

K čemu se Fisherův exaktní test používá? Ověřuje, zda spolu dvě kategoriální proměnné souvisejí, a používá k tomu četnosti z tabulky 2×2. Často se volí místo chí-kvadrátového testu, když je výběr malý.

Kdy by měl být Fisherův exaktní test použit místo chí-kvadrátového testu? Když je očekávaná četnost v některé buňce tabulky menší než 5 nebo když je bez ohledu na velikost výběru zapotřebí vyšší jistota ohledně přesné pravděpodobnosti.

Jaký je rozdíl mezi jednostrannými a oboustrannými výsledky? Jednostranná p-hodnota testuje předpovězený směr účinku, o němž se rozhodlo před zobrazením údajů. Oboustranná p-hodnota testuje, zda existuje jakákoli asociace v kterémkoli směru. Oboustranná p-hodnota ze stejné tabulky bývá obvykle větší.

Uvádí tato kalkulačka poměr šancí? Ne. Uvádí pouze přesnou p-hodnotu. Poměr šancí pro stejnou tabulku lze vypočítat samostatně jako A × D děleno B × C.

Lze Fisherův exaktní test použít pro tabulky větší než 2×2? Zde popsaná verze je určena pro tabulky 2×2. Pro větší tabulky je zapotřebí související metoda nazývaná Freemanovo-Haltonovo rozšíření, která je dostupná ve většině statistického softwaru.

Lze Fisherův exaktní test použít pro párová data, například měření před a po u stejných osob? Ne. Předpokládá dvě nezávislé skupiny. Pro párová kategoriální data se místo něj používá McNemarův test.

Reference

1. Fisher, R.A. (1922). „On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.“ Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). „Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.“ Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. vyd.). Wiley.