Gitterenergi Beregner | Gratis Born-Landé Lignings Værktøj

Hvad er gitterenergi?

Gitterenergi er den energi, der frigives, når separate ioner i gasfasen går sammen og danner ét mol af en fast ionforbindelse. En beregner for gitterenergi bruger Born-Landé-ligningen til at estimere denne værdi ud fra ionladninger, ionstørrelser og en justerbar parameter kaldet Born-eksponenten.

Den proces, som gitterenergi beskriver, er:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Her er $M^{n+}$ en metalkation (en positivt ladet ion), og $X^{n-}$ er en ikke-metal-anion (en negativt ladet ion). Gitterenergi er altid negativ, fordi energi strømmer ud af systemet, når ionerne låses fast i en krystal. Kemikere kalder en proces, der frigiver energi, for »eksoterm«.

Tre ting bestemmer gitterenergiens størrelse:

1. Ionladning. Ioner med større ladninger tiltrækker hinanden stærkere.
2. Ionstørrelse. Mindre ioner kan komme tættere på hinanden, hvilket styrker tiltrækningen.
3. Krystalstruktur. Det geometriske mønster, som ionerne danner, ændrer, hvor mange naboer hver ion har. Dette beskrives af et tal, der kaldes Madelung-konstanten.

Formel for gitterenergi (Born-Landé-ligningen)

Born-Landé-ligningen, som blev publiceret af fysikerne Max Born og Alfred Landé i 1918, er:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

Hvor:

• $U$ = gitterenergi i kilojoule pr. mol (kJ/mol)
• $N_0$ = Avogadros tal, 6,022 × 10²³ pr. mol
• $A$ = Madelung-konstanten (denne beregner bruger 1,7476, værdien for stensaltstrukturen, som NaCl, MgO og mange andre simple salte har til fælles)
• $z_1$, $z_2$ = kationens og anionens ladninger
• $e$ = ladningen af én elektron, 1,602 × 10⁻¹⁹ coulomb
• $\varepsilon_0$ = vakuumpermittiviteten, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = den interioniske afstand, altså afstanden mellem de to ioners centre
• $n$ = Born-eksponenten, et tal, der angiver, hvor stærkt ionerne modstår at blive presset sammen (normalt mellem 5 og 12 og altid større end 1)

Den første del af ligningen beregner tiltrækningen mellem to modsatte ladninger. Leddet $(1 - 1/n)$ trækker den frastødning fra, som opstår, når ionernes elektronskyer begynder at overlappe. Dette led giver kun mening for $n$ større end 1. Ved $n = 1$ er det nul, og under 1 bliver det negativt, så beregneren afviser disse værdier.

Interionisk afstand

Afstanden mellem ionernes centre, $r_0$, er ganske enkelt summen af de to ionradier:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Ionradier angives normalt i pikometer (pm), hvor én pikometer er en billiontedel af en meter.

Sådan beregnes gitterenergi

1. Indtast kationens ladning som et positivt helt tal (1 for Na⁺, 2 for Mg²⁺).
2. Indtast anionens ladning som et negativt helt tal (-1 for Cl⁻, -2 for O²⁻).
3. Indtast kationens radius i pikometer.
4. Indtast anionens radius i pikometer.
5. Indtast en Born-eksponent. En værdi på 9 fungerer for mange forbindelser. Eksponenten skal være større end 1.
6. Aflæs den interioniske afstand og gitterenergien i resultatpanelet.

Eksempel: Natriumchlorids (NaCl) gitterenergi

Natriumchlorid, almindeligt køkkensalt, er et nyttigt første eksempel, fordi dets ioner har enkeltladninger.

• Kationladning: +1 (Na⁺)
• Anionladning: -1 (Cl⁻)
• Kationradius: 102 pm
• Anionradius: 181 pm
• Born-eksponent: 9

Trin 1: Find den interioniske afstand.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Trin 2: Anvend Born-Landé-ligningen.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Dette ligger tæt på, men er ikke det samme som den værdi, der normalt angives i lærebøger, omkring -787 kJ/mol. Den stammer fra eksperimentelle termodynamiske data målt gennem en Born-Haber-cyklus og ikke fra denne ligning. Forskellen skyldes, at Born-Landé-ligningen behandler ionerne som perfekte stive kugler og bruger én frastødningseksponent for hele krystallen. Derfor er den en tilnærmelse og ikke et nøjagtigt billede af virkeligheden.

Eksempel: Magnesiumoxids (MgO) gitterenergi

Magnesiumoxid har dobbeltladede ioner og er derfor velegnet til sammenligning.

• Kationladning: +2 (Mg²⁺), radius 72 pm
• Anionladning: -2 (O²⁻), radius 140 pm
• Born-eksponent: 9
• Interionisk afstand: 72 pm + 140 pm = 212 pm

Når disse tal indsættes i den samme ligning, fås en gitterenergi på omkring -4071 kJ/mol, som er mere end fem gange mere negativ end NaCl's. Den eksperimentelt målte værdi er omkring -3795 kJ/mol. En fordobling af begge ionladninger firedobler omtrent den elektrostatiske tiltrækning, eftersom ligningen multiplicerer $z_1$ med $z_2$, og den kortere interioniske afstand i MgO styrker tiltrækningen yderligere.

Almindelige ionradier og Born-eksponenter

Udvalgte kationradier

Udvalgte anionradier

Typiske Born-eksponenter

Dette er udgangspunkter. Publicerede kilder angiver nogle gange lidt andre tal.

Hvad påvirker gitterenergi?

Gitterenergi hænger sammen med flere egenskaber, som kemikere kan måle direkte.

• Smeltepunkt. Stærkere iontiltrækning betyder normalt et højere smeltepunkt. Magnesiumoxids ioner har dobbelt så stor ladning som natriumchlorids ioner og ligger tættere på hinanden, hvilket giver MgO en langt mere negativ gitterenergi. Det er en del af forklaringen på, at MgO smelter ved omkring 2852 °C, mens NaCl smelter ved omkring 801 °C.
• Hårdhed. Krystaller med højere gitterenergi modstår normalt ridser og deformation bedre.
• Opløselighed. Forbindelser med meget høj gitterenergi er ofte sværere at opløse i vand, fordi det kræver mere energi at bryde krystallen fra hinanden, end vandmolekylerne kan levere ved at omgive ionerne.

Gitterenergi er også et led i Born-Haber-cyklussen, en bogføringsmetode, som kemikere bruger til at beregne energiændringer under dannelsen af en ionforbindelse ud fra dens grundstoffer.

Begrænsninger ved Born-Landé-ligningen og denne beregner

Denne beregner bruger altid Madelung-konstanten for stensaltstrukturen (1,7476). Denne værdi er korrekt for forbindelser, der krystalliserer som NaCl og MgO, men ikke for forbindelser med andre strukturer, såsom cæsiumchlorid eller calciumfluorid, som har andre Madelung-konstanter. Born-Landé-ligningen antager også, at ionerne er perfekte kugler, og ser bort fra virkninger som kovalent bindingskarakter. Resultaterne er derfor gode estimater, men ikke nøjagtige eksperimentelle værdier.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er gitterenergi med en enkel forklaring? Det er den energi, der frigives, når ladede partikler kaldet ioner går sammen og låses fast i en fast krystal. Et mere negativt tal betyder, at ionerne holdes tættere sammen.

Hvorfor er gitterenergi altid negativ? Fordi dannelsen af det faste stof frigiver energi i stedet for at optage den. Nogle lærebøger definerer i stedet »gitterentalpi« som den positive energi, der kræves for at bryde krystallen fra hinanden. Begge begreber beskriver den samme bindingsstyrke, blot med modsat fortegn.

Hvilken Born-eksponent skal jeg bruge? Ni er en almindelig standardværdi, der fungerer rimeligt godt for mange ionforbindelser. For en bestemt forbindelse angiver en kemisk referencetekst eller en krystallografisk database en mere præcis værdi baseret på ionernes elektronkonfigurationer.

Hvorfor stemmer beregneren ikke nøjagtigt med tallet i min lærebog? Værdier i lærebøger stammer ofte fra eksperimenter (en Born-Haber-cyklus), mens denne beregner bruger den teoretiske Born-Landé-ligning. De to metoder stemmer normalt overens inden for få procent, men sjældent helt nøjagtigt.

Betyder en større ion altid lavere gitterenergi? Som regel ja. Større ioner øger den interioniske afstand $r_0$, som står i ligningens nævner. Derfor bliver gitterenergien mindre negativ, når ionerne bliver større, hvis alt andet er uændret.

Kan denne beregner håndtere alle ionforbindelser? Den fungerer bedst for simple forbindelser, der har stensaltstrukturen til fælles, såsom NaCl, MgO og CaO. Den er mindre pålidelig for forbindelser med andre krystalstrukturer eller betydelig kovalent binding.

Referencer

1. Atkins, P. W., & De Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10. udg.). Oxford University Press.
2. Housecroft, C. E., & Sharpe, A. G. (2018). Inorganic Chemistry (5. udg.). Pearson.
3. Born, M., & Landé, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Shannon, R. D. (1976). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.