Laplace-fordelingskalkulator - Gratis PDF & Visualiseringsværktøj

Hvad er Laplace-fordelingen?

Laplace-fordelingen, også kaldet den dobbelte eksponentialfordeling, er en kontinuert sandsynlighedsfordeling, der har form som to eksponentialkurver, der er sat sammen ryg mod ryg ved deres toppunkt. Den er symmetrisk omkring en central værdi og har tungere haler end normalfordelingen, så den tildeler ekstreme værdier større sandsynlighed. Lommeregneren til Laplace-fordelingen på denne side finder fordelingens højeste sandsynlighedstæthed ud fra en positionsparameter og en skalaparameter og tegner hele tæthedskurven.

Fordelingen er opkaldt efter den franske matematiker Pierre-Simon Laplace, som først beskrev den i 1774.

Formel for Laplace-fordelingen

Sandsynlighedstæthedsfunktionen (PDF'en) for Laplace-fordelingen er:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x er et vilkårligt punkt på tallinjen.
• μ (mu), positionsparameteren, er fordelingens centrum. Den er også middelværdien og medianen.
• b, skalaparameteren, bestemmer, hvor spredt fordelingen er. Den skal være større end 0.
• |x − μ| er afstanden mellem x og centrum uden hensyn til retningen.

Kurven når sit højeste punkt præcis ved x = μ. På dette punkt forenkles formlen, fordi |μ − μ| = 0 og exp(0) = 1, hvilket giver:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Denne topværdi, 1/(2b), er det tal, som lommeregneren viser.

Sådan bruges lommeregneren til Laplace-fordelingen

1. Indtast positionsparameteren (μ). Den angiver, hvor fordelingen er centreret.
2. Indtast skalaparameteren (b). Den skal være et positivt tal; jo større værdien er, desto fladere og mere spredt bliver kurven.
3. Lommeregneren viser toptætheden, 1/(2b), og afbilder tæthedskurven f(x) fra μ − 4b til μ + 4b. Grafens lodrette akse er sandsynlighedstætheden, og kurven kan downloades som en tabel med x- og f(x)-værdier.

Lommeregneren tager ikke en separat x-værdi. Den viser altid tætheden ved fordelingens eget toppunkt, x = μ, fordi dette er det enkeltstående mest nyttige oversigtstal til sammenligning af fordelinger med forskellige skalaer. Hvis tætheden skal findes ved et andet punkt, bruges formlen ovenfor med den relevante x-værdi, eller højden aflæses på grafen.

Regneeksempel

Lad en position være μ = 4 og en skala være b = 2.

1. Kontrollér, at b er positiv: 2 > 0, så inputværdierne er gyldige.
2. Toppen ligger ved x = μ = 4, hvor |x − μ| = 0.
3. Beregn toptætheden: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Lommeregneren viser 0,250000. Den afbildede kurve har sit toppunkt ved (4, 0,25) og falder symmetrisk på begge sider, fra μ − 4b til μ + 4b, det vil sige fra −4 til 12 i dette tilfælde.

Da formlen for toptætheden, 1/(2b), ikke indeholder μ, forskyder en ændring af positionen kun kurven til venstre eller højre. Den ændrer ikke dens højde. Det er kun skalaparameteren, der ændrer højden.

Flere eksempler

Middelværdi, varians og standardafvigelse

For en Laplace-fordeling med position μ og skala b:

• Middelværdi = μ
• Median = μ
• Varians = 2b²
• Standardafvigelse = b√2

Laplace-fordelingen sammenlignet med normalfordelingen

Begge fordelinger er symmetriske og klokkeformede, og begge beskrives fuldstændigt af et centrum og en spredningsparameter. Forskellen ligger i halerne. I normalfordelingen aftager tætheden med kvadratet på afstanden fra middelværdien, så ekstreme værdier meget hurtigt bliver forsvindende sjældne. I Laplace-fordelingen aftager den med selve afstanden, så ekstreme værdier forbliver forholdsvis mere sandsynlige. Det gør Laplace-fordelingen nyttig, når virkelige data har flere afvigende observationer, end en normalfordeling ville forudsige.

Almindelige anvendelser

• Signal- og billedbehandling: modellering af støj og komprimering af billeder, fordi forskelle mellem pixels eller signaler ofte samler sig nær nul med lejlighedsvise store spring.
• Differential privacy: Laplace-mekanismen tilføjer Laplace-fordelt støj til forespørgselsresultater for at beskytte individuelle data og samtidig bevare den overordnede nøjagtighed.
• Statistik med modstandsdygtighed og regression: Lasso-regression anvender en Laplace-formet a priori-fordeling, som favoriserer løsninger, hvor mange koefficienter er præcis nul.
• Finans: modellering af aktivafkast, som har tendens til at have tungere haler, end en normalfordeling antyder.
• Seismologi: indgår i modeller for mønstre i jordskælvsmagnituder, der er knyttet til Gutenberg-Richter-loven.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad betyder lommeregnerens resultat?

Det er sandsynlighedstæthedsfunktionens topværdi eller maksimumsværdi, lig med 1/(2b). Det er kurvens højde i dens centrum, x = μ.

Hvorfor beder lommeregneren ikke om en x-værdi?

Toptætheden, 1/(2b), er den samme ved enhver x-værdi lig med μ, så der er ikke behov for et separat x-input for at finde den. Det er det standardiserede enkeltstående tal, der bruges til at sammenligne, hvor høje og smalle eller lave og brede to Laplace-fordelinger er. Hele kurven, der viser tætheden ved alle x-værdier, findes på grafen.

Hvordan finder jeg tætheden ved et andet punkt end toppunktet?

Brug formlen $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ med den relevante x-værdi, eller aflæs højden direkte på den afbildede kurve.

Hvordan adskiller Laplace-fordelingen sig fra eksponentialfordelingen?

Laplace-fordelingen kan konstrueres ud fra to eksponentialfordelinger. Hvis X og Y er uafhængige eksponentialfordelte stokastiske variable med samme rate, følger X − Y en Laplace-fordeling centreret ved 0.

Hvad bruges Laplace-fordelingen typisk til?

Den bruges inden for signalbehandling, billedkomprimering, differential privacy, resistent statistik, Lasso-regression samt modellering af finansielle afkast og jordskælvsmagnituder, når virkelige data viser flere ekstreme værdier, end en normalfordeling forudsiger.

Kan Laplace-fordelingen være negativ, eller gælder den kun for positive værdier?

Den er defineret for alle reelle tal, både positive og negative, i modsætning til eksponentialfordelingen, som kun antager ikke-negative værdier.

Referencer

1. Kotz, S., Kozubowski, T. & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution