Z-Test Beregner - Gratis Statistisk Signifikans Værktøj

Hvad er en z-test?

En z-test er en statistisk test, der undersøger, om et stikprøvegennemsnit afviger signifikant fra et kendt populationsgennemsnit, når populationens standardafvigelse allerede er kendt. Den giver ét tal, z-scoren, som viser, hvor mange standardafvigelser stikprøvegennemsnittet ligger fra populationsgennemsnittet. Forskere, kvalitetsinspektører og analytikere bruger den til at vurdere, om en observeret forskel sandsynligvis er reel eller blot skyldes tilfældigheder.

Formel for Z-test

Z-testen beregner en z-score med denne formel:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ er stikprøvegennemsnittet
• $\mu$ er populationsgennemsnittet
• $\sigma$ er populationens standardafvigelse
• $n$ er stikprøvestørrelsen

Den nederste del af formlen, $\sigma / \sqrt{n}$, kaldes standardfejlen. Den måler, hvor meget stikprøvegennemsnit forventes at variere alene på grund af tilfældig udtagning.

Sådan beregnes en z-test trin for trin

1. Find stikprøvegennemsnittet ($\bar{x}$) ud fra de indsamlede data.
2. Find det kendte populationsgennemsnit ($\mu$).
3. Find populationens kendte standardafvigelse ($\sigma$).
4. Tæl stikprøvestørrelsen ($n$).
5. Træk $\mu$ fra $\bar{x}$.
6. Divider $\sigma$ med kvadratroden af $n$ for at finde standardfejlen.
7. Divider resultatet fra trin 5 med resultatet fra trin 6. Svaret er z-scoren.

Regneeksempel

En fabrik oplyser, at dens bolte i gennemsnit er 10 cm lange, med en populationsstandardafvigelse på 0,2 cm. En inspektør måler 100 bolte og finder et stikprøvegennemsnit på 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Standardfejl: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Z-score: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Z-scoren er 2,5. Stikprøvegennemsnittet ligger 2,5 standardfejl over populationsgennemsnittet.

Sådan fortolkes en z-score

En z-score tæt på 0 betyder, at stikprøvegennemsnittet ligger tæt på populationsgennemsnittet. En stor positiv eller negativ z-score betyder, at stikprøvegennemsnittet ligger langt fra populationsgennemsnittet, hvilket peger på en reel forskel snarere end tilfældigheder.

Almindelige kritiske værdier for en tosidet test:

• α = 0,10 (90 % konfidens): z = ±1,645
• α = 0,05 (95 % konfidens): z = ±1,96
• α = 0,01 (99 % konfidens): z = ±2,58

Hvis den beregnede z-score ligger uden for den kritiske værdi for det valgte signifikansniveau, kaldes resultatet statistisk signifikant, og nulhypotesen (at der ikke er nogen forskel) forkastes.

I regneeksemplet ligger z = 2,5 uden for ±1,96, så forskellen er statistisk signifikant på 0,05-niveauet. Den tosidede p-værdi for z = 2,5 er cirka 1,24 %, hvilket betyder, at der er omtrent en chance på 1 ud af 80 for at se en så stor forskel, hvis den sande gennemsnitlige boltlængde faktisk var 10 cm.

Hvornår bruges en z-test?

En z-test er passende, når:

• Populationens standardafvigelse er kendt.
• Stikprøvestørrelsen er rimelig stor, normalt større end 30.
• Dataene kommer fra en tilfældig stikprøve.
• Populationen er normalfordelt, eller stikprøven er stor nok til, at den centrale grænseværdisætning kan anvendes.

Hvis populationens standardafvigelse er ukendt, eller stikprøven er lille, bruges i stedet en t-test. T-testen estimerer variationen ud fra selve stikprøven og tager højde for den ekstra usikkerhed, som dette medfører.

Z-test kontra t-test

Begge test måler, hvor langt et stikprøvegennemsnit ligger fra en forventet værdi, udtrykt i standardfejl. Z-testen antager, at populationens standardafvigelse er kendt. T-testen estimerer denne værdi ud fra stikprøven og bruger en bredere, stikprøvestørrelsesafhængig fordeling til at tage højde for den ekstra usikkerhed. I praksis bruges t-testen langt oftere, fordi den sande populationsstandardafvigelse sjældent er kendt.

Anvendelser af z-testen i den virkelige verden

• Kvalitetskontrol: kontrol af, om et parti fremstillede dele svarer til målspecifikationen.
• Medicinsk forskning: sammenligning af en behandlingsgruppes gennemsnitlige resultat med en kendt populationsværdi.
• Uddannelse: sammenligning af en klasses testresultater med et nationalt gennemsnit.
• Finans: kontrol af, om en fonds afkast afviger fra et benchmark-gennemsnit.

Historie

Normalfordelingen bag z-testen blev beskrevet af Abraham de Moivre i 1733 som en tilnærmelse til binomialfordelingen. Carl Friedrich Gauss og Pierre-Simon Laplace videreudviklede teorien i begyndelsen af 1800'erne. Formelle metoder til hypoteseafprøvning, herunder brugen af z-scores og kritiske værdier til at vurdere statistisk signifikans, blev udviklet i begyndelsen af det 20. århundrede af statistikere som Ronald Fisher, Jerzy Neyman og Egon Pearson.

Hvad denne beregner viser

Beregneren beder om fire tal: stikprøvegennemsnittet, populationsgennemsnittet, populationens standardafvigelse og stikprøvestørrelsen. Den angiver z-scoren afrundet til fire decimaler. Under resultatet tegner den standardnormalfordelingen og markerer z-scoren med en lodret linje, så resultatets placering i fordelingen er synlig. Kurven er standardnormalfordelingens tæthed, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

Der gælder to begrænsninger for inputværdierne. Stikprøvestørrelsen skal være større end 0. Populationens standardafvigelse skal være mindst 0,0001; en mindre spredning skubber z-scoren op på en enorm værdi, der ikke har nogen nyttig betydning. Beregneren angiver ikke en p-værdi, så brug de kritiske værdier ovenfor eller en standardnormalfordelingstabel til at afgøre, om resultatet er signifikant.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er forskellen mellem en z-test og en t-test?

En z-test kræver en kendt populationsstandardafvigelse og fungerer bedst med store stikprøver. En t-test bruges, når populationens standardafvigelse er ukendt og skal estimeres ud fra stikprøven; den fungerer både med små og store stikprøver.

Hvilken stikprøvestørrelse kræver en z-test?

En stikprøvestørrelse på over 30 er den almindelige tommelfingerregel. Under dette bliver resultater fra en z-test upålidelige, og en t-test er normalt det bedre valg.

Hvad betyder en z-score på 2,5?

En z-score på 2,5 betyder, at stikprøvegennemsnittet ligger 2,5 standardfejl over populationsgennemsnittet. Det ligger uden for den kritiske tosidede værdi på ±1,96 ved 95 % konfidens, så forskellen er statistisk signifikant på dette niveau. Den tosidede p-værdi for z = 2,5 er cirka 1,24 %.

Hvad er en p-værdi i en z-test?

P-værdien er sandsynligheden for at få et resultat, der er mindst lige så ekstremt som det observerede, hvis der faktisk ikke var nogen forskel fra populationsgennemsnittet. En mindre p-værdi er et stærkere bevis mod nulhypotesen. En p-værdi under 0,05 betragtes almindeligvis som statistisk signifikant.

Hvad er nulhypotesen i en z-test?

Nulhypotesen siger, at der ikke er nogen forskel mellem stikprøvegennemsnittet og populationsgennemsnittet. Z-testen måler, hvor meget evidens stikprøven giver imod denne påstand.

Kan en z-test bruges til små stikprøver?

Det anbefales ikke. Ved en lille stikprøve eller en ukendt populationsstandardafvigelse giver en t-test mere nøjagtige resultater, fordi den tager højde for den ekstra usikkerhed, der er forbundet med at estimere variation ud fra begrænsede data.