Trigonometrische Funktionen Grapher - Visualisierung von Sin, Cos, Tan
Interaktiver trigonometrischer Funktionsgraph. Passen Sie Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung in Echtzeit an, um Sinus-, Kosinus- und Tangenswellen sofort zu visualisieren.
Trigonometrische Funktionsgrafik
Funktionsparameter
Funktionsgrafik
Dokumentation
Was ist ein Plotter für trigonometrische Funktionen?
Ein Plotter für trigonometrische Funktionen ist ein Werkzeug, das die Kurve einer Sinus-, Kosinus- oder Tangensfunktion zeichnet und es ermöglicht, ihre Form durch das Anpassen einiger Zahlen, der sogenannten Parameter, zu verändern. Wenn ein Schieberegler bewegt wird, wird der Graph sofort neu gezeichnet. Dadurch lässt sich leichter erkennen, wie Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung die Wellenform verändern.
Die drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen
Sinus, Kosinus und Tangens ergeben sich aus den Seitenverhältnissen eines rechtwinkligen Dreiecks. Auf einem Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt im Ursprung (dem Einheitskreis) ist sin(x) die Höhe eines Punkts mit dem Winkel x, und cos(x) ist die horizontale Position dieses Punkts. Der Tangens ist das Verhältnis sin(x) / cos(x).
| Funktion | Definitionsmenge | Wertebereich | Periode |
|---|---|---|---|
| sin(x) | alle reellen Zahlen | −1 bis 1 | 2π |
| cos(x) | alle reellen Zahlen | −1 bis 1 | 2π |
| tan(x) | alle reellen Zahlen außer π/2 + nπ | alle reellen Zahlen | π |
Der Sinus ist eine ungerade Funktion: sin(−x) = −sin(x). Der Kosinus ist eine gerade Funktion: cos(−x) = cos(x). Der Kosinus ist einfach der um π/2 Radiant (90 Grad) nach links verschobene Sinus.
Der Tangens hat vertikale Asymptoten: Geraden, denen sich die Kurve immer weiter nähert, die sie aber nie berührt. Sie liegen bei x = π/2 + nπ, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Da tan(x) = sin(x) / cos(x) und cos(x) an diesen Punkten gleich 0 ist, ist das Verhältnis dort nicht definiert.
Formel einer trigonometrischen Funktion
Der Funktionsplotter stellt Funktionen in dieser Form dar:
f(x) = A sin(Bx + C)
Dieselbe Form wird für Kosinus und Tangens verwendet, wobei sin durch cos beziehungsweise tan ersetzt wird. Jeder Buchstabe ist ein Parameter, der angepasst werden kann:
- A (Amplitude) legt die Höhe der Welle fest, gemessen von ihrer Mittellinie bis zu einem Scheitelpunkt. Der Funktionsplotter ermöglicht für Sinus und Kosinus Werte von 0,1 bis 5 und für den Tangens Werte von 0,1 bis 2.
- B (Frequenz) legt fest, wie viele vollständige Zyklen in einen Abschnitt der x-Achse passen. Ein größeres B staucht die Welle. Der Funktionsplotter ermöglicht Werte von 0,1 bis 5.
- C (Phasenverschiebung) verschiebt die gesamte Kurve nach links oder rechts, ohne ihre Form zu verändern. Der Graphzeichner erlaubt Werte von −π bis π, ungefähr von −3,14 bis 3,14.
Eine positive Phasenverschiebung bewegt den Graphen nach links, eine negative nach rechts.
So wird der Plotter für trigonometrische Funktionen verwendet
- Eine Funktion – Sinus, Kosinus oder Tangens – aus dem Auswahlfeld auswählen.
- Den Amplituden-Schieberegler bewegen, um die Höhe der Welle zu verändern.
- Den Frequenz-Schieberegler bewegen, um die Welle zu stauchen oder zu strecken.
- Den Schieberegler für die Phasenverschiebung bewegen, um die Kurve seitlich zu verschieben.
- Die unter den Schiebereglern angezeigte Formel ablesen und auf „Copy“ drücken, um sie als Text zu kopieren.
Der Graph wird aktualisiert, sobald ein Schieberegler bewegt wird. Beim Tangens erscheinen an jeder Asymptote kleine Lücken in der Linie. Das ist erwartungsgemäß und kein Fehler.
Die Grenzwerte der Schieberegler testen
Um zu sehen, wie hoch eine Welle werden kann, die Amplitude auf den höchsten vom Werkzeug zugelassenen Wert setzen: 5 für Sinus oder Kosinus, 2 für Tangens. Um eine fast vollständig flache Welle zu sehen, die Frequenz auf ihren niedrigsten Wert, 0,1, setzen. Wenn jeweils nur ein Schieberegler verändert wird, lässt sich leichter feststellen, welcher Parameter welche Änderung verursacht hat.
Einen Wert von Hand berechnen
Man nehme eine Sinusfunktion mit der Amplitude A = 2, der Frequenz B = 3 und der Phasenverschiebung C = π/4:
f(x) = 2 sin(3x + π/4)
Um f(π/6) zu bestimmen, wird zunächst der Winkel innerhalb des Sinus berechnet:
3 × (π/6) = π/2
π/2 + π/4 = 3π/4
Anschließend wird der Sinus berechnet und mit der Amplitude multipliziert:
f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414
Wo trigonometrische Wellen vorkommen
Viele Vorgänge, die sich in einem gleichmäßigen Hin und Her wiederholen, folgen einer Kurve, die einer Sinuswelle ähnelt: Schall, Wechselstrom, Meeresgezeiten, die Bewegung eines Pendels und die Tageslichtdauer im Jahresverlauf. Ingenieure verwenden Sinus und Kosinus, um solche Muster zu beschreiben und vorherzusagen. Computeranimatoren verwenden dieselben Kurven, um Bewegungen gleichmäßig wirken zu lassen, etwa bei einem wippenden Gehzyklus oder einer weich ablaufenden Kamerabewegung.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Sinus, Kosinus und Tangens?
Sinus und Kosinus schwanken beide zwischen −1 und 1 und haben eine Periode von 2π, aber der Kosinus erreicht jeden Punkt seines Zyklus eine Vierteldrehung (π/2) früher als der Sinus. Der Tangens ist der Sinus geteilt durch den Kosinus. Er hat eine Periode von π, ist unbeschränkt und besitzt vertikale Asymptoten, überall dort, wo der Kosinus gleich 0 ist.
Was steuert die Amplitude?
Die Amplitude (A) legt fest, wie weit sich die Welle oberhalb und unterhalb ihrer Mittellinie erstreckt. In diesem Funktionsplotter reicht sie für Sinus und Kosinus von 0,1 bis 5 und für den Tangens von 0,1 bis 2.
Was steuert die Frequenz?
Die Frequenz (B) legt fest, wie viele Wellenzyklen in einem festgelegten Abschnitt der x-Achse erscheinen. Eine höhere Frequenz bringt mehr Zyklen auf demselben Raum unter. Der Graphzeichner erlaubt Werte von 0,1 bis 5.
Warum wird der Graph durch eine positive Phasenverschiebung nach links statt nach rechts verschoben?
Weil die Phasenverschiebung C innerhalb der Funktion vor der Winkelmessung addiert wird: f(x) = sin(Bx + C). Ein positives C bedeutet, dass der Winkel bei einem kleineren x einen bestimmten Wert erreicht. Daher erscheint derselbe Punkt der Kurve früher – nach links verschoben und nicht nach rechts.
Warum gibt es Lücken im Tangensgraphen?
Der Tangens ist überall dort nicht definiert, wo der Kosinus gleich 0 ist. Das geschieht bei x = π/2 + nπ. Der Funktionsplotter unterbricht die Darstellung der Linie an diesen Punkten, statt eine falsche Verbindung gerade durch die Lücke zu zeichnen.
Verwendet der Funktionsplotter Grad oder Bogenmaß?
Radiant. Eine vollständige Umdrehung entspricht 2π Radiant, also 360 Grad. Um Grad in Radiant umzurechnen, wird mit π/180 multipliziert.