Young-Laplace-Gleichungsrechner | Grenzflächendruck

Was ist die Young-Laplace-Gleichung?

Die Young-Laplace-Gleichung ist eine Formel der Strömungsmechanik, die den Druckunterschied an einer gekrümmten Grenzfläche zwischen zwei Flüssigkeiten angibt, etwa an der Oberfläche eines Wassertropfens oder einer Seifenblase. Sie zeigt, dass dieser Druckunterschied von der Oberflächenspannung der Flüssigkeit und davon abhängt, wie stark die Grenzfläche gekrümmt ist. Die Gleichung erklärt, warum sich in Tropfen und Blasen ein Druck aufbaut und warum kleinere Tropfen und Blasen einen höheren Innendruck als größere haben.

Sie ist nach Thomas Young und Pierre-Simon Laplace benannt, die den Zusammenhang jeweils in den frühen 1800er Jahren beschrieben.

Formel der Young-Laplace-Gleichung

Die allgemeine Form der Gleichung lautet:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ ist der Druckunterschied über die Grenzfläche, angegeben in Pascal (Pa).
• $\gamma$ (Gamma) ist die Oberflächenspannung der Flüssigkeit, angegeben in Newton pro Meter (N/m).
• $R_1$ und $R_2$ sind die beiden Hauptkrümmungsradien der Oberfläche, angegeben in Metern (m).

Eine Oberfläche ist in verschiedenen Richtungen unterschiedlich gekrümmt. $R_1$ und $R_2$ beschreiben die Krümmung entlang zweier senkrecht aufeinander stehender Richtungen. Bei einer Kugel, etwa einem Tropfen oder einer Blase, ist $R_1$ gleich $R_2$, sodass sich die Formel vereinfacht zu:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Vorzeichenkonvention

Der Druck ist auf der konkaven Seite einer gekrümmten Grenzfläche, also auf der Seite, von der sich die Oberfläche wegwölbt, stets höher. Bei einem Tropfen oder einer Blase bedeutet das, dass der Druck im Inneren höher ist als außerhalb. Ein Radius wird als positiv gezählt, wenn sein Krümmungsmittelpunkt auf dieser Seite mit dem höheren Druck liegt. Krümmt sich die Oberfläche in einer Richtung umgekehrt, wird dieser Radius als negativ gezählt. Eine sattelförmige Grenzfläche, etwa der Flüssigkeitshals zwischen zwei sich berührenden Körnern, hat einen positiven und einen negativen Radius; die beiden Terme heben sich teilweise auf.

Dieser Rechner verwendet ausschließlich positive Radien.

Sonderfälle

• Ebene Oberfläche: Wenn ein Radius gegen unendlich wächst, geht sein Term in der Formel gegen null. Eine vollkommen ebene Grenzfläche weist überhaupt keinen Druckunterschied auf.
• Zylinder: Eine lange zylindrische Oberfläche, etwa ein aus einer Düse austretender Flüssigkeitsstrahl, ist nur in einer Richtung gekrümmt. Ein Radius entspricht dem Zylinderradius, der andere ist entlang der Länge unendlich, sodass sich die Formel zu $\Delta P = \gamma / R$ vereinfacht. Das ist die Hälfte des Druckunterschieds einer Kugel mit demselben Radius.
• Sehr kleine Maßstäbe: Unterhalb von ungefähr 10 bis 20 Nanometern werden zusätzliche Effekte wie die Linien­spannung bedeutsam, und die einfache Gleichung verliert an Genauigkeit.

So berechnet man den Druckunterschied mit der Young-Laplace-Gleichung

1. Bestimmen Sie die Oberflächenspannung der Flüssigkeit in N/m bei der für Sie relevanten Temperatur. Die Oberflächenspannung nimmt mit steigender Temperatur ab.
2. Messen oder schätzen Sie den ersten Hauptkrümmungsradius $R_1$ in Metern.
3. Messen oder schätzen Sie den zweiten Hauptkrümmungsradius $R_2$ in Metern. Bei einer Kugel verwenden Sie denselben Wert wie für $R_1$. Bei einem Zylinder setzen Sie eine sehr große Zahl als Ersatz für unendlich ein.
4. Multiplizieren Sie die Oberflächenspannung mit der Summe aus $1/R_1$ und $1/R_2$. Das Ergebnis ist der Druckunterschied in Pascal.

Verwenden Sie für alle Werte SI-Einheiten. Werden beispielsweise Millimeter und Meter gemischt, weicht das Ergebnis um einen Faktor von tausend ab.

Beispielrechnung

Betrachten wir einen kugelförmigen Wassertropfen mit einem Radius von 1 Millimeter (0,001 m) und einer Oberflächenspannung von 0,072 N/m, einem typischen Wert für Wasser nahe Raumtemperatur.

Da der Tropfen eine Kugel ist, gilt $R_1 = R_2 = R$, also:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Der Druck im Tropfen liegt um 144 Pa über dem Druck der umgebenden Luft. Gegenüber dem normalen Atmosphärendruck von etwa 101.325 Pa ist das wenig, doch der Effekt nimmt schnell zu, wenn ein Tropfen kleiner wird. Ein Tropfen mit einem Zehntel dieser Größe und einem Radius von 0,1 mm weist den zehnfachen Druckunterschied auf: 1.440 Pa. Ein Tropfen mit einem Radius von 0,01 mm erreicht 14.400 Pa, also mehr als 14 % des Atmosphärendrucks.

Anwendungsbereiche der Gleichung

• Tropfen und Blasen: Der höhere Druck in kleinen Tropfen treibt die Ostwald-Reifung an. Dabei schrumpfen kleine Tropfen in einer Emulsion, während größere wachsen, weil ihr Inhalt vom hohen zum niedrigen Druck diffundiert.
• Kapillarwirkung: Die gekrümmte Oberfläche in einem engen Rohr zieht die Flüssigkeit nach oben. Deshalb steigt Wasser in Papiertüchern und engen Glasröhren auf.
• Atmung: Die winzigen Luftsäcke in der Lunge, Alveolen genannt, verhalten sich wie kleine Blasen. Eine als Lungensurfactant bezeichnete Beschichtung senkt die Oberflächenspannung, sodass kleine Alveolen unter dem von der Gleichung vorhergesagten Druck nicht kollabieren. Frühgeborene, denen ausreichend Surfactant fehlt, können aus diesem Grund Atemprobleme entwickeln.
• Tintenstrahldruck: Druckerdüsen bilden Tropfen mit einem Durchmesser von einigen Dutzend Mikrometern, wobei der durch die Krümmung verursachte Druck groß genug ist, um zu beeinflussen, wie die Tinte die Düse verlässt.
• Materialwissenschaft: Geräte, die messen, wie Flüssigkeiten eine Oberfläche benetzen und wie sich dünne Beschichtungen verhalten, verwenden die Gleichung, um die Form eines Tropfens mit seiner Oberflächenenergie in Beziehung zu setzen.

Historie

Menschen beobachteten schon lange, dass Flüssigkeiten in engen Röhren aufsteigen, bevor jemand den Grund dafür erklärte. In den frühen 1700er Jahren zeigte Francis Hauksbee experimentell, dass engere Röhren einen stärkeren Kapillaraufstieg verursachen, und 1718 beschrieb James Jurin den Aufstieg als umgekehrt proportional zum Rohrdurchmesser.

Thomas Young erläuterte die zugrunde liegende Physik in einem Aufsatz von 1805. Er führte die Oberflächenspannung als Eigenschaft einer Flüssigkeit ein und stellte einen Zusammenhang mit dem Druck über gekrümmte Oberflächen her, wobei seine Darstellung überwiegend beschreibend blieb. In 1806 arbeitete Pierre-Simon Laplace mithilfe der Analysis die mathematische Form aus und gelangte unabhängig zum selben Zusammenhang. Ihre gemeinsame Arbeit wurde zur Young-Laplace-Gleichung. Spätere Wissenschaftler, darunter Carl Friedrich Gauß und Joseph Plateau, überprüften und erweiterten die Theorie im Laufe der 1800er Jahre.

Häufig gestellte Fragen

Was berechnet die Young-Laplace-Gleichung? Sie berechnet den Druckunterschied über eine gekrümmte Grenzfläche zwischen zwei Flüssigkeiten auf Grundlage der Oberflächenspannung der Flüssigkeit und der Krümmung der Grenzfläche.

Warum ist der Druck in einem kleineren Tropfen höher? Die Oberflächenspannung zieht am Rand des Tropfens, und diese Zugkraft wächst proportional zum Radius. Die Fläche, auf die der Druck wirken muss, wächst mit dem Quadrat des Radius. Aus dem Gleichgewicht beider Größen ergibt sich $\Delta P = 2\gamma/R$. Der Druckunterschied ist daher umgekehrt proportional zum Radius: Halbiert sich der Radius, verdoppelt sich der Druckunterschied.

Wie beeinflusst die Temperatur die Gleichung? Die Temperatur verändert den Wert der Oberflächenspannung, und die Oberflächenspannung nimmt mit steigender Temperatur ab. Bei Wasser sinkt die Oberflächenspannung von etwa 0,073 N/m bei 20 °C auf ungefähr 0,063 N/m bei 80 °C, also um etwa 0,17 mN/m je Grad Celsius. Die Oberflächenspannung bei Raumtemperatur ist höher als die von heißem Wasser. Wird für ein heißes System ein Wert bei Raumtemperatur verwendet, wird der Druckunterschied daher überschätzt.

Funktioniert die Gleichung auch für andere Formen als Kugeln? Ja. Die allgemeine Form mit den beiden getrennten Radien $R_1$ und $R_2$ gilt für jede gekrümmte Oberfläche, einschließlich Ellipsoiden und sattelförmiger Grenzflächen. Nur die vereinfachte Form $2\gamma/R$ ist auf Kugeln beschränkt.

Wie unterscheidet sich die Young-Laplace-Gleichung von der Young-Gleichung? Die Young-Laplace-Gleichung gibt den durch eine gekrümmte Grenzfläche verursachten Druckunterschied an. Die Young-Gleichung, ein ebenfalls auf Thomas Young zurückgehender, unabhängiger Zusammenhang, gibt den Kontaktwinkel an, den ein Tropfen an der Stelle bildet, an der er auf eine feste Oberfläche trifft, und zwar auf Grundlage der Oberflächenenergien der drei beteiligten Materialien. Beide beschreiben unterschiedliche Sachverhalte und werden manchmal gemeinsam verwendet, um einen auf einer Oberfläche ruhenden Tropfen zu analysieren.

Wie klein kann ein Tropfen werden, bevor die Gleichung nicht mehr gilt? Die Gleichung bleibt bis ungefähr 1 Mikrometer genau. Unterhalb von etwa 10 bis 20 Nanometern werden zusätzliche Kräfte, die die Gleichung nicht berücksichtigt, darunter Linienspannung und Kräfte zwischen Oberflächen auf molekularer Ebene, groß genug, um eine Rolle zu spielen. Dann sind detailliertere Modelle erforderlich.

Referenzen

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids.“ Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Ergänzung zu Buch 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. und Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. und Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. Auflage). Wiley-Interscience.