Young-Laplace-Gleichungsrechner | Grenzflächendruck

Was ist die Young-Laplace-Gleichung?

Die Young-Laplace-Gleichung ist eine Formel der Strömungsmechanik, die den Druckunterschied an einer gekrümmten Grenzfläche zwischen zwei Fluiden angibt, etwa an der Oberfläche eines Wassertropfens oder einer Seifenblase. Sie zeigt, dass dieser Druckunterschied von der Oberflächenspannung der Flüssigkeit und davon abhängt, wie stark die Grenzfläche gekrümmt ist. Die Gleichung erklärt, warum sich in Tropfen und Blasen ein Druck aufbaut und warum kleinere Tropfen und Blasen einen höheren Innendruck als größere haben.

Sie ist nach Thomas Young und Pierre-Simon Laplace benannt, die den Zusammenhang jeweils im Jahr 1805 beschrieben haben.

Formel der Young-Laplace-Gleichung

Die allgemeine Form der Gleichung lautet:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ ist der Druckunterschied über die Grenzfläche, angegeben in Pascal (Pa).
• $\gamma$ (Gamma) ist die Oberflächenspannung der Flüssigkeit, angegeben in Newton pro Meter (N/m).
• $R_1$ und $R_2$ sind die beiden Hauptkrümmungsradien der Oberfläche, angegeben in Metern (m).

Eine Oberfläche ist in verschiedenen Richtungen unterschiedlich gekrümmt. $R_1$ und $R_2$ beschreiben die Krümmung entlang zweier senkrecht aufeinander stehender Richtungen. Bei einer Kugel, etwa einem Tropfen oder einer Blase, ist $R_1$ gleich $R_2$, sodass sich die Formel vereinfacht zu:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Vorzeichenkonvention

Der Druck ist auf der konkaven Seite einer gekrümmten Grenzfläche immer höher, also auf der Seite, von der sich die Oberfläche wegwölbt. Bei einem Tropfen oder einer Blase bedeutet das, dass der Innendruck höher ist als der Außendruck. Krümmt sich eine Oberfläche entlang einer Richtung entgegengesetzt, etwa bei einer Sattelform, wird dieser Radius in der allgemeinen Formel als negativ behandelt. Dieser Rechner akzeptiert nur positive Radien und deckt daher Oberflächen ab, die sich in beiden Richtungen gleichsinnig krümmen.

Sonderfälle

• Ebene Oberfläche: Wenn ein Radius gegen unendlich wächst, geht sein Term in der Formel gegen null. Eine vollkommen ebene Grenzfläche weist überhaupt keinen Druckunterschied auf.
• Zylinder: In einem engen Rohr, etwa einer Kapillare, ist ein Radius der Rohrradius und der andere entlang der Rohrlänge praktisch unendlich. Die Formel vereinfacht sich zu $\Delta P = \gamma / R$.
• Sehr kleine Größenordnungen: Im Bereich weniger Nanometer werden zusätzliche Effekte wie die Linienspannung bedeutsam, und die einfache Gleichung verliert an Genauigkeit.

So berechnet man den Druckunterschied mit der Young-Laplace-Gleichung

1. Bestimmen Sie die Oberflächenspannung der Flüssigkeit in N/m bei der für Sie relevanten Temperatur. Die Oberflächenspannung nimmt mit steigender Temperatur ab.
2. Messen oder schätzen Sie den ersten Hauptkrümmungsradius $R_1$ in Metern.
3. Messen oder schätzen Sie den zweiten Hauptkrümmungsradius $R_2$ in Metern. Verwenden Sie bei einer Kugel denselben Wert wie für $R_1$. Setzen Sie bei einem Zylinder eine sehr große Zahl als Ersatz für unendlich ein (der Rechner akzeptiert den Wert unendlich nicht).
4. Multiplizieren Sie die Oberflächenspannung mit der Summe aus $1/R_1$ und $1/R_2$. Das Ergebnis ist der Druckunterschied in Pascal.

Verwenden Sie für alle Werte SI-Einheiten. Werden beispielsweise Millimeter und Meter gemischt, weicht das Ergebnis um einen Faktor von tausend ab.

Rechenbeispiel

Nehmen wir einen kugelförmigen Wassertropfen mit einem Radius von 1 Millimeter (0,001 m) und einer Oberflächenspannung von 0,072 N/m. Das ist die Voreinstellung des Rechners und entspricht Wasser bei 25 °C, 71,98 mN/m.

Da der Tropfen eine Kugel ist, gilt $R_1 = R_2 = R$, also:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Der Druck im Inneren des Tropfens liegt 144 Pa über dem Druck der umgebenden Luft. Das ist wenig im Vergleich zum Normdruck von 101.325 Pa, doch der Effekt wächst schnell, wenn ein Tropfen kleiner wird. Ein Tropfen mit einem Zehntel der Größe, also mit 0,1 mm Radius, hat einen zehnmal so großen Druckunterschied: 1.440 Pa. Ein Tropfen mit 0,01 mm Radius erreicht 14.400 Pa, über 14 % des Atmosphärendrucks.

Anwendungsbereiche der Gleichung

• Tropfen und Blasen: Der höhere Druck in kleinen Tropfen treibt die Ostwald-Reifung an. Dabei schrumpfen kleine Tropfen in einer Emulsion, während größere wachsen, weil ihr Inhalt vom hohen zum niedrigen Druck diffundiert.
• Kapillarwirkung: Die gekrümmte Oberfläche in einem engen Rohr zieht die Flüssigkeit nach oben. Deshalb steigt Wasser in Papiertüchern und engen Glasröhren auf.
• Atmung: Die winzigen Lungenbläschen, Alveolen genannt, verhalten sich wie kleine Blasen. Eine Schicht namens Surfactant senkt die Oberflächenspannung, damit kleine Alveolen nicht unter dem Druck kollabieren, den die Gleichung vorhersagt. Frühgeborene, denen genügend Surfactant fehlt, können ein Atemnotsyndrom entwickeln, weil die Lungen ohne ihn kollabieren.
• Tintenstrahldruck: Druckerdüsen erzeugen sehr kleine Tröpfchen, bei denen der krümmungsbedingte Druck groß genug ist, um zu beeinflussen, wie die Tinte die Düse verlässt.
• Materialwissenschaft: Geräte, die messen, wie Flüssigkeiten eine Oberfläche benetzen und wie sich dünne Beschichtungen verhalten, verwenden die Gleichung, um die Form eines Tropfens mit seiner Oberflächenenergie in Beziehung zu setzen.

Historie

Menschen beobachteten Flüssigkeiten, die in engen Röhren aufstiegen, lange bevor jemand erklärte, warum. Experimente von Francis Hauksbee und James Jurin an der Royal Society of London maßen, wie Flüssigkeit in engen Röhren und zwischen Platten aufsteigt. Das Jurinsche Gesetz, das den Anstieg mit der Weite der Röhre verknüpft, ist nach Jurin benannt.

Im Jahr 1805 veröffentlichte Thomas Young einen Aufsatz über die Kohäsion von Flüssigkeiten, und Laplace veröffentlichte einen Nachtrag zu seiner Abhandlung über die Himmelsmechanik. Youngs Darstellung war überwiegend beschreibend, während Laplace die mathematische Form ausarbeitete. Ihre gemeinsame Arbeit wurde zur Young-Laplace-Gleichung. Carl Friedrich Gauß verfeinerte die Theorie später, und Joseph Plateau erweiterte sie durch Experimente an Seifenfilmen.

Häufig gestellte Fragen

Was berechnet die Young-Laplace-Gleichung? Sie berechnet den Druckunterschied über einer gekrümmten Grenzfläche zwischen zwei Fluiden, ausgehend von der Oberflächenspannung der Flüssigkeit und der Krümmung der Grenzfläche.

Warum ist der Druck in einem kleineren Tropfen höher? Die Oberflächenspannung zieht die Oberfläche unabhängig von der Größe mit derselben Grundstärke nach innen, doch dieser Zug wirkt bei einem kleineren Tropfen auf eine kleinere Fläche und bündelt seine Wirkung zu einem höheren Druck. Der Druck ist umgekehrt proportional zum Radius: Halbiert sich der Radius, verdoppelt sich der Druckunterschied.

Wie wirkt sich die Temperatur auf die Gleichung aus? Die Temperatur verändert den Wert der Oberflächenspannung, und die Oberflächenspannung sinkt mit steigender Temperatur. Bei Wasser fällt die Oberflächenspannung von 0,0727 N/m bei 20 °C auf 0,0627 N/m bei 80 °C, also um etwa 0,17 mN/m je Grad Celsius. Wird für ein heißes System ein Wert der Oberflächenspannung bei Raumtemperatur verwendet, wird der tatsächliche Druckunterschied unterschätzt.

Gilt die Gleichung auch für andere Formen als Kugeln? Ja. Die allgemeine Form mit zwei getrennten Radien $R_1$ und $R_2$ deckt jede gekrümmte Oberfläche ab, darunter Ellipsoide und sattelförmige Grenzflächen. Nur die vereinfachte Version $2\gamma/R$ ist auf Kugeln beschränkt. Dieser Rechner nimmt nur positive Radien an und verarbeitet daher keine Sattelformen.

Wie unterscheidet sich die Young-Laplace-Gleichung von der Young-Gleichung? Die Young-Laplace-Gleichung liefert den Druckunterschied, der durch eine gekrümmte Grenzfläche entsteht. Die Young-Gleichung, ein eigener Zusammenhang, der ebenfalls auf Thomas Young zurückgeht, liefert den Kontaktwinkel, den ein Tropfen dort bildet, wo er auf eine feste Oberfläche trifft, ausgehend von den Oberflächenenergien der drei beteiligten Stoffe. Beide beschreiben Verschiedenes und werden manchmal gemeinsam verwendet, um einen auf einer Oberfläche ruhenden Tropfen zu analysieren.

Wie klein darf ein Tropfen sein, bevor die Gleichung nicht mehr gilt? Die Gleichung funktioniert gut für alltägliche Tropfen und Blasen. Im Bereich weniger Nanometer werden zusätzliche Kräfte, die die Gleichung vernachlässigt, darunter die Linienspannung und molekulare Kräfte zwischen Oberflächen, so groß, dass sie ins Gewicht fallen, und es sind detailliertere Modelle nötig.

Referenzen

1. Physics Today (American Institute of Physics). Two hundred years of capillarity research. Two hundred years of capillarity research — Youngs Aufsatz und Laplaces Nachtrag im Jahr 1805; Experimente von Hauksbee und Jurin; Young qualitativ, Laplace mathematisch.
2. International Association for the Properties of Water and Steam. Revised Release on Surface Tension of Ordinary Water Substance (2014). IAPWS surface tension release — Oberflächenspannung von Wasser 72,74 mN/m bei 20 °C, 71,98 bei 25 °C, 62,68 bei 80 °C.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Guide to the SI, Appendix B.8. NIST SP 811 Appendix B.8 — Normdruck = 1,013 25 × 10⁵ Pa.
4. National Heart, Lung, and Blood Institute. Respiratory Distress Syndrome. NHLBI respiratory distress syndrome — Das Atemnotsyndrom entsteht durch einen Mangel an Surfactant; ohne ihn kollabieren die Lungen.