Quadratische Gleichungsberechner - Berechnen Sie die Wurzeln von ax² + bx + c = 0

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$, wobei $a$, $b$ und $c$ Zahlen sind und $a$ nicht null ist. Der Löser für quadratische Gleichungen auf dieser Seite findet den Wert oder die Werte von $x$, die die Gleichung erfüllen, anhand der Koeffizienten $a$, $b$ und $c$, die ein Nutzer eingibt.

Wäre $a$ gleich null, würde der Term $x^2$ wegfallen, und die Gleichung wäre linear statt quadratisch. Deshalb verlangt der Rechner $a \neq 0$ und zeigt einen Fehler an, wenn $a = 0$ ist.

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Jede quadratische Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ lässt sich mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Das Zeichen $\pm$ steht für zwei getrennte Rechnungen, eine mit Pluszeichen und eine mit Minuszeichen. Deshalb kann eine quadratische Gleichung zwei verschiedene Lösungen haben.

Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, $b^2 - 4ac$, heißt Diskriminante. Sie wird meist als $\Delta$ (der griechische Buchstabe Delta) geschrieben. Allein die Diskriminante zeigt, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat, noch bevor die übrige Rechnung beginnt.

So berechnen Sie die Nullstellen

1. Schreiben Sie die Gleichung in der Normalform $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$.
3. Berechnen Sie die Diskriminante: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ist $\Delta$ positiv, berechnen Sie beide Nullstellen mit $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ist $\Delta$ gleich null, berechnen Sie die einzige Nullstelle mit $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ist $\Delta$ negativ, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen, weil eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel hat.

Der Rechner auf dieser Seite führt diese Schritte automatisch aus. Er akzeptiert Koeffizienten zwischen $-10^{10}$ und $10^{10}$ und rundet die Ergebnisse auf eine gewählte Anzahl von Dezimalstellen, von 0 bis 10.

Was die Diskriminante bedeutet

Das Vorzeichen der Diskriminante teilt die Gleichungen in drei Fälle ein.

Dieser Rechner meldet „keine reellen Nullstellen“, wenn $\Delta$ negativ ist. Komplexe Nullstellen (Zahlen, die $i = \sqrt{-1}$ enthalten) berechnet er nicht.

Rechenbeispiel

Lösen Sie $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Hier gilt $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Zuerst wird die Diskriminante bestimmt:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Da $\Delta$ positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Nullstellen:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Das lässt sich durch Faktorisieren prüfen: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ ist null, wenn $x = -2$ oder $x = -3$ gilt.

Ein zweites Beispiel zeigt eine negative Diskriminante. Für $x^2 + x + 1 = 0$ gilt $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, also $\Delta = 1 - 4 = -3$. Weil $\Delta$ negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen.

Die Parabel, der Scheitelpunkt und die Symmetrieachse

Der Graph von $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist eine Kurve, die Parabel heißt. Ist $a$ positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und hat einen tiefsten Punkt. Ist $a$ negativ, öffnet sie sich nach unten und hat einen höchsten Punkt. Dieser tiefste oder höchste Punkt ist der Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Eine senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt, $x = -\dfrac{b}{2a}$, heißt Symmetrieachse, weil die beiden Hälften der Parabel einander an ihr spiegeln. Die reellen Nullstellen der Gleichung sind die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Sie liegen daher beiderseits der Symmetrieachse im gleichen Abstand.

Wo quadratische Gleichungen verwendet werden

Quadratische Gleichungen beschreiben viele reale Situationen. In der Physik folgt die Höhe eines geworfenen Gegenstands über der Zeit der Gleichung $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, und ihre Lösung nach $t$ liefert den Zeitpunkt, zu dem der Gegenstand landet. In der Technik treten Parabelformen bei Satellitenschüsseln und Brückenseilen auf, weil sie Kräfte bündeln oder verteilen. In der Computergrafik lösen Raytracing-Programme quadratische Gleichungen, um zu finden, wo eine Gerade eine Kugel schneidet.

Kurze Geschichte

Babylonische Mathematiker lösten um etwa 1800 v. Chr. Aufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen. Sie benutzten schrittweise Rezepte statt Gleichungen. Um 300 v. Chr. behandelte Euklid solche Aufgaben geometrisch, als Suche nach einer Länge. Der indische Mathematiker Brahmagupta (598–665 n. Chr.) gab ein fast modernes Verfahren an, das negative Größen zuließ. Um 800 n. Chr. ordnete al-Chwarizmi die quadratischen Gleichungen in Typen. Er gab für jeden Typ eine Lösungsregel und einen geometrischen Beweis durch quadratische Ergänzung an.

Häufig gestellte Fragen

Was geschieht, wenn ich für den Koeffizienten a 0 eingebe? Der Rechner zeigt einen Fehler an, weil $a = 0$ die Gleichung in eine lineare Gleichung $bx + c = 0$ verwandelt, die anders gelöst wird.

Warum hat eine Gleichung manchmal keine reellen Nullstellen? Das passiert, wenn die Diskriminante $b^2 - 4ac$ negativ ist. Eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel, daher kann die Formel keinen reellen Wert für $x$ liefern. Die Gleichung hat weiterhin zwei komplexe Nullstellen, die dieser Rechner jedoch nicht berechnet.

Was ist der Unterschied zwischen einer Nullstelle und einer Lösung? Es gibt keinen. Beide Wörter bezeichnen einen Wert von $x$, für den die Gleichung null ergibt. „Nullstelle“ bezieht sich auf die Stelle, an der der Graph die x-Achse trifft, „Lösung“ auf die Algebra.

Wie viele Dezimalstellen kann ich wählen? Zwischen 0 und 10. Zwei oder drei Dezimalstellen reichen für alltägliche Aufgaben meist aus.

Kann ich sehr große Koeffizienten eingeben? Die Koeffizienten müssen zwischen $-10^{10}$ und $10^{10}$ liegen. Werte außerhalb dieses Bereichs können Rundungsfehler verursachen und werden abgelehnt.

Kann dieser Rechner komplexe Nullstellen finden? Nein. Ist die Diskriminante negativ, meldet er „keine reellen Nullstellen“, statt komplexe Zahlen zu berechnen.

Referenzen

1. NIST. Digital Library of Mathematical Functions, §1.11 Zeros of Polynomials. DLMF §1,11 — die Nullstellen von az² + bz + c = 0 sind (−b ± √D)/(2a) mit der Diskriminante D = b² − 4ac (1,6 ha).
2. OpenStax. College Algebra 2e, 2.5 Quadratic Equations. Quadratic equations — was die Diskriminante b² − 4ac über Anzahl und Art der Lösungen aussagt.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Quadratic, cubic and quartic equations. History of quadratic equations — babylonische Verfahren (um 1800 v. Chr.), Euklid (um 300 v. Chr.), Brahmagupta und al-Chwarizmi (um 800).