Quadratische Gleichung lösen – Nullstellen von ax² + bx + c = 0

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$, wobei $a$, $b$ und $c$ Zahlen sind und $a$ nicht null ist. Der Rechner für quadratische Gleichungen auf dieser Seite ermittelt den oder die Werte von $x$, für die die Gleichung wahr wird, anhand der eingegebenen Koeffizienten $a$, $b$ und $c$.

Wäre $a$ gleich null, würde der Term $x^2$ wegfallen und die Gleichung wäre linear statt quadratisch. Deshalb verlangt der Rechner $a \neq 0$ und zeigt bei $a = 0$ eine Fehlermeldung an.

Die Mitternachtsformel

Jede quadratische Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Das Zeichen $\pm$ steht für zwei getrennte Berechnungen: eine mit dem Pluszeichen und eine mit dem Minuszeichen. Deshalb kann eine quadratische Gleichung zwei verschiedene Lösungen haben.

Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, $b^2 - 4ac$, wird Diskriminante genannt. Üblicherweise wird er als $\Delta$ geschrieben, dem griechischen Buchstaben Delta. Die Diskriminante allein zeigt bereits vor dem restlichen Rechenvorgang, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat.

So werden die Nullstellen berechnet

1. Die Gleichung in die Standardform $ax^2 + bx + c = 0$ bringen.
2. Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ bestimmen.
3. Die Diskriminante berechnen: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ist $\Delta$ positiv, beide Nullstellen mit $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ berechnen.
5. Ist $\Delta$ gleich null, die einzige Nullstelle mit $x = \dfrac{-b}{2a}$ berechnen.
6. Ist $\Delta$ negativ, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen, da eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel besitzt.

Der Rechner auf dieser Seite führt diese Schritte automatisch aus. Er akzeptiert Koeffizienten zwischen $-10^{10}$ und $10^{10}$ und rundet die Ergebnisse auf eine gewählte Anzahl von Nachkommastellen zwischen 0 und 10.

Bedeutung der Diskriminante

Dieser Rechner meldet „keine reellen Nullstellen“, wenn $\Delta$ negativ ist. Komplexe Nullstellen, also Zahlen mit $i = \sqrt{-1}$, werden nicht berechnet.

Beispielrechnung

Lösen Sie $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Hier gilt $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Zuerst wird die Diskriminante berechnet:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Da $\Delta$ positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Nullstellen:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Dies lässt sich durch Faktorisieren überprüfen: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$. Der Ausdruck ist null, wenn $x = -2$ oder $x = -3$ gilt.

Ein zweites Beispiel zeigt eine negative Diskriminante. Für $x^2 + x + 1 = 0$ gilt $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, also $\Delta = 1 - 4 = -3$. Da $\Delta$ negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen.

Parabel, Scheitelpunkt und Symmetrieachse

Der Graph von $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist eine Kurve, die Parabel genannt wird. Ist $a$ positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen tiefsten Punkt. Ist $a$ negativ, öffnet sie sich nach unten und besitzt einen höchsten Punkt. Dieser tiefste oder höchste Punkt ist der Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt liegt bei:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Eine vertikale Gerade durch den Scheitelpunkt, $x = -\dfrac{b}{2a}$, wird Symmetrieachse genannt, weil die beiden Hälften der Parabel an ihr spiegelbildlich angeordnet sind. Die reellen Nullstellen der Gleichung sind die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Sie liegen daher auf entgegengesetzten Seiten der Symmetrieachse und haben denselben Abstand von ihr.

Der Rechner zeichnet diese Parabel neben dem Ergebnis. Er markiert den Scheitelpunkt und alle reellen Nullstellen auf der Kurve. Falls erforderlich, vergrößert er den dargestellten Bereich, damit jede Nullstelle sichtbar bleibt.

Wo quadratische Gleichungen verwendet werden

Quadratische Gleichungen beschreiben viele Situationen aus der realen Welt. In der Physik folgt die Höhe eines geworfenen Gegenstands im Zeitverlauf der Gleichung $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$. Wird sie nach $t$ aufgelöst, ergibt sich der Zeitpunkt, an dem der Gegenstand aufkommt. In der Technik treten parabolische Formen bei Satellitenschüsseln und Brückenkabeln auf, weil sie Kräfte fokussieren oder verteilen können. In der Computergrafik lösen Raytracing-Programme quadratische Gleichungen, um zu bestimmen, wo eine Linie eine Kugel schneidet.

Ein kurzer Rückblick auf die Geschichte

Babylonische Mathematiker lösten bereits um 2000 v. Chr. bestimmte quadratische Probleme. Dabei verwendeten sie geometrische Methoden statt Algebra. Auch griechische Mathematiker wie Euklid behandelten quadratische Probleme geometrisch. Um 600 n. Chr. gab der indische Mathematiker Brahmagupta eine ausdrückliche Formel für die Nullstellen an, einschließlich negativer Lösungen. Um 800 n. Chr. beschrieb der persische Mathematiker al-Chwarizmi systematische Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen in einem Buch, dessen Titel zum Ursprung des Wortes „Algebra“ wurde. Die moderne symbolische Form der Mitternachtsformel setzte sich später durch, als sich während der Renaissance die algebraische Schreibweise entwickelte.

Häufig gestellte Fragen

Was passiert, wenn ich für den Koeffizienten a 0 eingebe?
Der Rechner zeigt eine Fehlermeldung an, da $a = 0$ die Gleichung in eine lineare Gleichung, $bx + c = 0$, umwandelt, die anders gelöst wird.

Warum hat eine Gleichung manchmal keine reellen Nullstellen?
Das geschieht, wenn die Diskriminante $b^2 - 4ac$ negativ ist. Eine negative Zahl besitzt keine reelle Quadratwurzel, sodass die Formel keinen reellen Wert für $x$ liefern kann. Die Gleichung hat weiterhin zwei komplexe Nullstellen, doch dieser Rechner berechnet sie nicht.

Was ist der Unterschied zwischen einer Nullstelle und einer Lösung?
Keiner. Beide Begriffe bezeichnen einen Wert von $x$, der die Gleichung gleich null macht. „Nullstelle“ bezieht sich auf den Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet; „Lösung“ bezieht sich auf die Algebra.

Wie viele Nachkommastellen kann ich auswählen?
Zwischen 0 und 10. Für alltägliche Aufgaben reichen normalerweise zwei oder drei Nachkommastellen aus.

Kann ich sehr große Koeffizienten eingeben?
Die Koeffizienten müssen zwischen $-10^{10}$ und $10^{10}$ liegen. Werte außerhalb dieses Bereichs können Rundungsfehler verursachen und werden abgelehnt.

Kann dieser Rechner komplexe Nullstellen bestimmen?
Nein. Wenn die Diskriminante negativ ist, meldet er „keine reellen Nullstellen“, statt komplexe Zahlen zu berechnen.

Quellen

1. Quadratische Gleichung – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Quadratische Gleichung