Alligations-Rechner — Mischungsverhältnis & Mengen

Was ist ein Alligationsrechner?

Ein Alligationsrechner ermittelt das erforderliche Verhältnis, um zwei Zutaten mit unterschiedlichem Wert zu einer Mischung zu vermengen, die einen vorgegebenen Zielwert erreicht. Die zugrunde liegende Methode heißt Alligationsrechnung. Sie gilt für jede Mischung aus zwei Bestandteilen, etwa beim Mischen eines günstigen Grundstoffs mit einem teuren oder beim Verdünnen einer konzentrierten Lösung mit einer schwachen, sofern beide Zutaten auf derselben Skala gemessen werden.

Die Alligationsformel

Bei der Alligationsrechnung werden drei Werte auf einer einheitlichen Skala verglichen: ein günstigerer Wert C, ein teurerer Wert D und der Zielwert der Mischung M, wobei C kleiner als M und M kleiner als D ist.

$c : d = (D - M) : (M - C)$

wobei c die Anzahl der Teile der günstigeren Zutat und d die Anzahl der Teile der teureren Zutat ist.

Der Anteil jeder Zutat ergibt sich aus der Differenz auf der anderen Seite des Zielwerts. Je näher der Zielwert am Wert einer Zutat liegt, desto mehr von dieser Zutat wird für die Mischung benötigt, da der Durchschnitt nahe bei diesem Wert liegen muss.

Ist zusätzlich eine Gesamtmenge Q bekannt, beträgt die Menge jeder Zutat:

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

wobei $A_c$ die Menge der günstigeren Zutat, $A_d$ die Menge der teureren Zutat und Q die Gesamtmenge ist.

Das Alligationskreuz

Die Formel wird traditionell als Kreuz dargestellt. Die beiden Zutatenwerte stehen links, der Zielwert in der Mitte, und jede diagonale Differenz wird in die gegenüberliegende Ecke geschrieben.

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

Der höhere Wert steht oben links, der niedrigere Wert unten links und der Zielwert in der Mitte. Die Differenz oben rechts gibt die Anzahl der Teile der teureren Zutat an; die Differenz unten rechts gibt die Anzahl der Teile der günstigeren Zutat an.

Rechenbeispiel

Mischen Sie eine Zutat im Wert von 10 $ mit einer Zutat im Wert von 30 $, um eine Mischung im Wert von 20 $ herzustellen.

Die Teile ergeben sich als günstiger : teurer = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1.

Die beiden Zutaten werden zu gleichen Teilen benötigt. Bei einer Gesamtmenge von 100 Einheiten bedeutet das 50 Einheiten der Zutat im Wert von 10 $ und 50 Einheiten der Zutat im Wert von 30 $. Der Durchschnittswert dieser Mischung beträgt genau 20 $.

Wird der Zielwert auf 25 $ verschoben, ändert sich das Verhältnis: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, was sich zu 1 : 3 kürzen lässt. Der Zielwert liegt nun näher am teureren Wert, daher benötigt die Mischung dreimal so viel von der teureren Zutat wie von der günstigeren.

Alligation alternata und Alligation medial

Die oben beschriebene Methode heißt Alligation alternata: Die Werte der beiden Zutaten und der Zielwert sind bekannt, das Verhältnis ist unbekannt. Das umgekehrte Problem heißt Alligation medial: Die Mengen und Werte der Zutaten sind bekannt, der Wert der resultierenden Mischung ist unbekannt. Die Alligation medial ist ein gewichteter Durchschnitt:

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

wobei M der Mischungswert, q die Menge einer Zutat und v deren Wert ist; die Indizes kennzeichnen die erste und die zweite Zutat.

Die beiden Methoden dienen gegenseitig zur Kontrolle. Werden die Mengen aus einer Berechnung mit Alligation alternata in die Formel für den gewichteten Durchschnitt eingesetzt, sollte wieder der ursprüngliche Zielwert herauskommen.

Anwendungsbereiche der Alligationsrechnung

• Herstellung von Arzneimitteln. Mischen einer konzentrierten und einer schwachen Zubereitung, etwa einer Lösung mit 70 % und einer mit 20 %, um eine vorgeschriebene Konzentration zu erreichen. Die Werte sind Prozentsätze oder Konzentrationen statt Preise, die Berechnung ist jedoch dieselbe.
• Einzelhandel und Rohstoffpreise. Mischen eines günstigen und eines hochwertigen Grundstoffs, um einen vorgegebenen Verkaufspreis oder Stückpreis zu erreichen.
• Lebensmittel, Getränke und Chemie. Verdünnen oder Aufkonzentrieren einer Lösung auf eine bestimmte Konzentration, einen bestimmten Alkoholgehalt oder Zuckergehalt.

Die Regel benötigt nur eine einheitlich gemessene Eigenschaft, daher decken dieselben drei Zahlen all diese Fälle ab.

So verwenden Sie den Alligationsrechner

Geben Sie den günstigeren Wert, den teureren Wert und den Zielwert der Mischung ein und verwenden Sie für alle drei dieselbe Einheit. Die Felder akzeptieren keine Werte unter null. Geben Sie eine Gesamtmenge ein, um die genaue benötigte Menge jeder Zutat zu sehen. Der Zielwert muss strikt zwischen den beiden Zutatenwerten liegen. Ein Zielwert außerhalb dieses Bereichs kann durch keine Mischung der beiden Zutaten erreicht werden, und ein Zielwert, der einem der beiden Werte entspricht, erfordert überhaupt kein Mischen. In beiden Fällen zeigt der Rechner daher anstelle eines Verhältnisses eine Fehlermeldung an.

Häufig gestellte Fragen

Was geschieht, wenn der Zielwert nicht zwischen den beiden Werten der Zutaten liegt? Keine Mischung der beiden Zutaten kann diesen Wert erreichen. Eine Mischung aus einem Artikel im Wert von 10 $ und einem Artikel im Wert von 30 $ hat immer einen Durchschnittswert zwischen 10 $ und 30 $, daher weist der Rechner Zielwerte außerhalb dieses Bereichs zurück. Er weist auch einen Zielwert gleich 10 $ oder 30 $ zurück, weil dieser Zielwert bereits mit nur einer Zutat erreicht wird und kein Verhältnis zu berechnen ist.

Spielt die Maßeinheit eine Rolle? Nein. Das Verhältnis hängt nur von den Differenzen zwischen den drei Werten ab. Daher funktionieren Preise, Prozentsätze und Konzentrationen wie mg/mL, sofern alle drei Eingaben dieselbe Einheit verwenden.

Kann die Alligationsrechnung drei oder mehr Zutaten verarbeiten? Dieser Rechner löst den Fall mit zwei Zutaten. Aufgaben mit drei oder mehr Zutaten haben mehr als eine gültige Lösung und werden gewöhnlich gelöst, indem die Zutaten jeweils paarweise kombiniert oder lineare Gleichungen aufgestellt werden.

Ist die Alligationsrechnung dasselbe wie ein gewichtetes Mittel? Es handelt sich um Umkehroperationen. Ein gewichtetes Mittel, auch mediale Alligationsrechnung genannt, wandelt bekannte Mengen in einen Mischungswert um. Die alternative Alligationsrechnung wandelt einen Zielwert in die benötigten Mengen um, mit denen dieser erreicht wird.

Warum wird die Methode Alligationsrechnung genannt? Der Name stammt vom lateinischen Wort alligare, das „binden“ oder „zusammenbinden“ bedeutet und beschreibt, wie die Methode zwei Werte zu einem Zielverhältnis verbindet.

Quellen

• Alligation — Wikipedia
• Alligationsrechner — Omni Calculator