Alligations-Rechner — Mischungsverhältnis & Mengen
Finde das Verhältnis zum Mischen einer günstigeren und einer teureren Zutat (oder einer niederen und einer hohen Konzentration), um einen Zielwert zu erreichen, plus die genaue Menge jeder. Kostenloser Alligations-alternata-Rechner mit einem ausgearbeiteten Kreuzdiagramm.
Alligations-Rechner
Gib den Wert der günstigeren Zutat, der teureren (teureren) Zutat und den Zielwert der Mischung ein. Das Tool gibt dir das Verhältnis zurück, in dem du sie mischen sollst — und die genauen Mengen, wenn du eine Gesamtmenge angibst.
Eingabewerte
Ergebnisse
Mischungsverhältnis
Mengen
Alligationskreuz
Alligationsformel
10.00 : 10.00 = (30.00 − 20.00) : (20.00 − 10.00)
Zusammensetzung der Mischung
Dokumentation
Was ist ein Alligationsrechner?
Ein Alligationsrechner ermittelt das erforderliche Verhältnis, um zwei Zutaten mit unterschiedlichem Wert zu einer Mischung zu vermengen, die einen vorgegebenen Zielwert erreicht. Die zugrunde liegende Methode heißt Alligationsrechnung. Sie gilt für jede Mischung aus zwei Bestandteilen, etwa beim Mischen eines günstigen Grundstoffs mit einem teuren oder beim Verdünnen einer konzentrierten Lösung mit einer schwachen, sofern beide Zutaten auf derselben Skala gemessen werden.
Die Alligationsformel
Bei der Alligationsrechnung werden drei Werte auf einer einheitlichen Skala verglichen: ein günstigerer Wert C, ein teurerer Wert D und der Zielwert der Mischung M, wobei C kleiner als M und M kleiner als D ist.
1cheaper parts : dearer parts = (D − M) : (M − C)
2Der Anteil jeder Zutat ergibt sich aus dem Abstand auf der anderen Seite des Zielwerts. In einer Beschreibung der Methode aus dem Jahr 2024 sind die Teile der höherwertigen Komponente der Zielwert minus der niedrigere Wert, und die Teile der niedrigerwertigen Komponente der höhere Wert minus der Zielwert. Je weiter der Zielwert vom Wert einer Zutat entfernt liegt, desto mehr von dieser Zutat braucht die Mischung, weil mehr davon nötig ist, um den Durchschnitt so weit zu verschieben.
Ist zusätzlich eine Gesamtmenge Q bekannt, beträgt die Menge jeder Zutat:
1cheaper amount = (D − M) / [(D − M) + (M − C)] × Q
2dearer amount = (M − C) / [(D − M) + (M − C)] × Q
3Das Alligationskreuz
Die Formel wird traditionell als Kreuz dargestellt. Die beiden Zutatenwerte stehen links, der Zielwert in der Mitte, und jede diagonale Differenz wird in die gegenüberliegende Ecke geschrieben.
1Dearer (D) ─────╮ ╭───── (M − C) = dearer parts
2 ╲ ╱
3 Target (M)
4 ╱ ╲
5Cheaper (C) ─────╯ ╰───── (D − M) = cheaper parts
6Durchgerechnetes Beispiel
Eine Zutat zu 10 $ wird mit einer Zutat zu 30 $ gemischt, um eine Mischung im Wert von 20 $ zu erhalten.
1cheaper : dearer = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1
2Die beiden Zutaten werden zu gleichen Teilen benötigt. Bei insgesamt 100 Einheiten sind das 50 Einheiten der Zutat zu 10 $ und 50 Einheiten der Zutat zu 30 $. Der Durchschnittswert dieser Mischung beträgt genau 20 $.
Wird der Zielwert auf 25 $ verschoben, ändert sich das Verhältnis: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, gekürzt 1 : 3. Der Zielwert liegt nun näher am teureren Wert, daher braucht die Mischung dreimal so viel von der teureren Zutat wie von der günstigeren.
Alligation alternate und Alligation medial
Das obige Verfahren heißt Alligation alternate: Die beiden Zutatenwerte und der Zielwert sind bekannt, das Verhältnis ist unbekannt. Die Umkehraufgabe heißt Alligation medial, ein verwandtes Verfahren aus derselben Rechentradition: Die Mengen und Werte der Zutaten sind bekannt, der Wert der entstehenden Mischung ist unbekannt. Alligation medial ist ein gewichteter Durchschnitt:
1M = (q1 × v1 + q2 × v2) / (q1 + q2)
2Die beiden Methoden dienen gegenseitig zur Kontrolle. Werden die Mengen aus einer Berechnung mit Alligation alternate in die Formel für den gewichteten Durchschnitt eingesetzt, sollte wieder der ursprüngliche Zielwert herauskommen.
Anwendungsbereiche der Alligationsrechnung
- Pharmazeutische Zubereitung. Eine starke und eine schwache Zubereitung werden gemischt, um eine verordnete Stärke zu erreichen. Das Verfahren wird in der Pharmazieausbildung häufig gelehrt. Die Werte sind Prozentangaben oder Konzentrationen statt Preise, die Rechnung ist aber dieselbe.
- Einzelhandel und Rohstoffpreise. Mischen eines günstigen und eines hochwertigen Grundstoffs, um einen vorgegebenen Verkaufspreis oder Stückpreis zu erreichen.
- Lebensmittel, Getränke und Chemie. Verdünnen oder Aufkonzentrieren einer Lösung auf eine bestimmte Konzentration, einen bestimmten Alkoholgehalt oder Zuckergehalt.
Da die Regel nur Werte auf einer einheitlichen Skala braucht, decken dieselben drei Zahlen alle diese Fälle ab.
So verwenden Sie den Alligationsrechner
Geben Sie den günstigeren Wert, den teureren Wert und den Zielwert der Mischung ein, jeweils in derselben Einheit. Fügen Sie eine Gesamtmenge hinzu, um die genaue Menge jeder benötigten Zutat zu sehen. Der Zielwert muss strikt zwischen den beiden Zutatenwerten liegen. Ist er gleich einem der Werte oder liegt er außerhalb, kann keine Mischung der beiden Zutaten ihn erreichen, und der Rechner zeigt statt eines Verhältnisses eine Fehlermeldung an. Negative Werte werden ebenfalls abgelehnt.
Häufig gestellte Fragen
Was passiert, wenn der Zielwert nicht zwischen den beiden Zutatenwerten liegt? Keine Mischung der beiden Zutaten kann ihn erreichen. Eine Mischung aus einem Artikel zu 10 $ und einem Artikel zu 30 $ hat immer einen Durchschnittswert zwischen 10 $ und 30 $, daher lehnt der Rechner Zielwerte außerhalb dieses Bereichs ab.
Spielt die Maßeinheit eine Rolle? Nein. Das Verhältnis hängt nur von den Differenzen zwischen den drei Werten ab. Daher funktionieren Preise, Prozentsätze und Konzentrationen wie mg/mL, sofern alle drei Eingaben dieselbe Einheit verwenden.
Kann die Alligationsrechnung drei oder mehr Zutaten verarbeiten? Dieser Rechner löst den Fall mit zwei Zutaten. Aufgaben mit drei oder mehr Zutaten haben mehr als eine gültige Lösung und werden gewöhnlich gelöst, indem die Zutaten jeweils paarweise kombiniert oder lineare Gleichungen aufgestellt werden.
Ist die Alligationsrechnung dasselbe wie ein gewichteter Durchschnitt? Es handelt sich um Umkehroperationen. Ein gewichteter Durchschnitt, auch Alligation medial genannt, wandelt bekannte Mengen in einen Mischungswert um. Alligation alternate wandelt einen Zielwert in die benötigten Mengen um, mit denen dieser erreicht wird.
Referenzen
- McPherson, P. A. C. und Jack, I. G. (Ulster University). Alligation Alternate: Borrowing a Useful Concept from the Pharmacy Curriculum, Journal of Chemical Education, 2024 (Open Access). PDF mit offenem Zugang — Teileregel für Alligation alternate, Alligation medial als verwandtes Verfahren, Einsatz in der Pharmazieausbildung.