SAG-Rechner: Kabel- & Stromleitungs-Durchhang-Rechner

Was ist Kabeldurchhang?

Der Durchhang ist der vertikale Abstand zwischen einer geraden Linie, die zwei Auflager verbindet, und dem tiefsten Punkt eines zwischen ihnen gespannten Kabels. Er entsteht, weil das Eigengewicht des Kabels es nach unten zieht, während die Auflager seine Enden halten. Ein Durchhangrechner ermittelt diesen Abstand aus drei Eingaben: der Spannweite zwischen den Auflagern, dem Kabelgewicht pro Längeneinheit und der horizontalen Zugkraft. Ingenieure verwenden ihn für Stromleitungen, Hängebrücken, Seilbahnen und Telekommunikationskabel.

Durchhangformel

Für ein Kabel, das in einer flachen Kurve hängt, kann der Durchhang mit der parabolischen Durchhangformel abgeschätzt werden:

$S = \frac{w \times g \times L^2}{8T}$

Dabei gilt:

• $w$ = Masse pro Längeneinheit des Kabels, in Kilogramm pro Meter (kg/m)
• $g$ = Normfallbeschleunigung, 9,80665 m/s², die diese Masse in eine nach unten gerichtete Kraft umrechnet
• $L$ = Spannweite zwischen den Auflagern, in Metern (m)
• $T$ = horizontale Zugkraft im Kabel, in Newton (N)
• $S$ = Durchhang, die maximale vertikale Auslenkung, in Metern (m)

Der Term $w \times g$ wandelt die Masse des Kabels pro Längeneinheit in das Gewicht pro Längeneinheit um (eine in Newton pro Meter gemessene Kraft). Dieser Schritt ist wichtig, weil die Zugkraft eine Kraft ist. Wird ein massebezogenes Gewicht ohne den Term für die Fallbeschleunigung mit einer kraftbezogenen Zugkraft kombiniert, ist das Ergebnis um etwa den Faktor 9,8 zu klein.

Diese Formel entsteht, indem die tatsächliche Form des Kabels, eine Kettenlinie genannte Kurve, als Parabel angenähert wird. Die Näherung ist gut, wenn der Durchhang im Vergleich zur Spannweite klein ist, ungefähr unter 10 % der Spannweite. Bei längeren Kabeln mit größerem Durchhang muss stattdessen die vollständige Kettenliniengleichung verwendet werden.

So wird der Kabeldurchhang berechnet

1. Spannweite messen: die gerade horizontale Entfernung zwischen den beiden Auflagern, in Metern.
2. Das Gewicht des Kabels pro Längeneinheit in Kilogramm pro Meter bestimmen. Bei einer Stromleitung umfasst dies den Leiter und alle daran befestigten Bauteile.
3. Die horizontale Zugkraft im Kabel in Newton bestimmen.
4. Das Gewicht pro Längeneinheit mit 9,80665 und anschließend mit dem Quadrat der Spannweite multiplizieren.
5. Dieses Ergebnis durch 8 mal die Zugkraft teilen.

Beispielrechnung: Freileitung

Eine Mittelspannungsleitung hat folgende Werte:

• Spannweite: 300 m
• Leitergewicht: 1,2 kg/m
• Horizontale Zugkraft: 15.000 N

$S = \frac{1.2 \times 9.80665 \times 300^2}{8 \times 15{,}000} = \frac{1{,}059{,}118.2}{120{,}000} \approx 8.83 \text{ m}$

Der Leiter hängt an seinem tiefsten Punkt etwa 8,83 m unter der geraden Linie, die die beiden Masten verbindet.

Beispielrechnung: Seilbahnkabel

Ein Seilbahnkabel, das das Gewicht seiner Sessel trägt, hat folgende Werte:

• Spannweite: 200 m
• Kabelgewicht: 8 kg/m
• Horizontale Zugkraft: 100.000 N

$S = \frac{8 \times 9.80665 \times 200^2}{8 \times 100{,}000} = \frac{3{,}138{,}128}{800{,}000} \approx 3.92 \text{ m}$

Warum der Durchhang in der Ingenieurplanung wichtig ist

Der Durchhang beeinflusst mehrere Bereiche der Projektplanung:

• Freiraum. Vorschriften legen Mindestabstände zwischen Stromleitungen und dem Boden, Gebäuden oder Fahrzeugen fest. Durchhangberechnungen bestätigen, dass eine Leitung diese Grenzwerte unter den erwarteten Bedingungen einhält.
• Höhe der Stützen. Türme, Masten und Pylone müssen hoch genug sein, damit der tiefste Punkt des Kabels Hindernisse nicht berührt.
• Planung der Zugkraft. Eine höhere Zugkraft verringert den Durchhang, erhöht aber auch die Beanspruchung des Kabels und seiner Auflager. Ingenieure müssen daher beides abwägen.
• Änderungen von Temperatur und Belastung. Wärme lässt ein Kabel länger werden und vergrößert den Durchhang; Eis oder Wind erhöhen das Gewicht und damit den Durchhang zusätzlich. Ein Kabel wird normalerweise bei mehreren Temperatur- und Belastungsbedingungen geprüft, nicht nur bei einer.

Grenzen der parabolischen Formel

Die parabolische Formel ist eine Näherung und keine exakte Lösung. Sie funktioniert am besten, wenn der Durchhang im Verhältnis zur Spannweite klein ist. Einige Faktoren, die sie nicht berücksichtigt:

• Elastische Dehnung. Reale Kabel werden unter Zugkraft geringfügig länger, was die Grundformel nicht berücksichtigt.
• Temperaturänderung. Die Formel berücksichtigt nicht, wie Wärme oder Kälte die Kabellänge verändert.
• Wind und Eis. Zusätzliche witterungsbedingte Lasten sind nicht enthalten, sofern sie nicht zum Gewichtswert addiert werden.
• Große Verhältnisse von Durchhang zu Spannweite. Wenn der Durchhang ungefähr mehr als 10 % der Spannweite beträgt, liefert die vollständige Kettenliniengleichung auf Grundlage der hyperbolischen Kosinusfunktion ein genaueres Ergebnis.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Durchhang einer Stromleitung? Der Durchhang ist der vertikale Abstand zwischen der geraden Linie zwischen zwei Tragmasten und dem tiefsten Punkt des Leiters. Er entsteht durch das Eigengewicht des Leiters.

Wie lautet die Durchhangformel? Der Durchhang entspricht dem Gewicht des Kabels pro Längeneinheit, multipliziert mit der Normfallbeschleunigung und dem Quadrat der Spannweite, geteilt durch das Produkt aus 8 und der horizontalen Zugkraft: Durchhang = (w × g × L²) / (8T).

Warum enthält die Formel die Fallbeschleunigung, wenn ich bereits ein Gewicht eingebe? Die Eingabe ist eine Masse pro Längeneinheit in Kilogramm pro Meter, keine Kraft. Die Multiplikation mit der Fallbeschleunigung (9,80665 m/s²) wandelt diese Masse in eine Kraft pro Längeneinheit in Newton pro Meter um, sodass sie den Einheiten der Zugkraft entspricht.

Wie beeinflusst die Spannweite den Durchhang? Der Durchhang wächst mit dem Quadrat der Spannweite. Wird die Spannweite bei unveränderten übrigen Bedingungen verdoppelt, vervierfacht sich der Durchhang ungefähr.

Kann eine Verringerung der Zugkraft den Durchhang auf null reduzieren? Nein. Um den Durchhang auf null zu reduzieren, wäre eine unendliche Zugkraft erforderlich, der kein reales Kabel standhalten kann. Kabel werden stattdessen so ausgelegt, dass sie mit einem kleinen, kontrollierten Durchhang hängen.

Wann sollte ich statt dieser Formel die vollständige Kettenliniengleichung verwenden? Wenn der Durchhang im Verhältnis zur Spannweite groß ist, also ungefähr mehr als 10 %, oder wenn für die Auslegung oder Sicherheitsprüfungen genaue Ergebnisse erforderlich sind. Die Kettenliniengleichung lautet y = (T/w)[cosh(wx/T) − 1], wobei w das Gewicht pro Längeneinheit als Kraft bezeichnet.