Taper-Rechner - Winkel & Verhältnis sofort berechnen

Ein Kegelrechner berechnet anhand von drei Messungen den Winkel und das Verhältnis eines kegelförmigen oder keilförmigen Teils: den Durchmesser an jedem Ende und die Länge dazwischen. Zerspanungsmechaniker, Ingenieure und Holzhandwerker verwenden ihn, um zu prüfen, ob eine konische Welle, ein Bohrerschaft oder eine Rohrverschraubung den geforderten Spezifikationen entspricht.

So berechnet man den Kegelwinkel

Der Kegelwinkel ist der volle Winkel zwischen den beiden Seiten einer Verjüngung, gemessen so, als würden die Seiten verlängert, bis sie sich treffen. Er wird aus den beiden Enddurchmessern und der Länge dazwischen bestimmt:

$\theta = 2 \arctan\left(\frac{D_L - D_S}{2L}\right)$

• $\theta$ ist der Kegelwinkel
• $D_L$ ist der Durchmesser am großen Ende
• $D_S$ ist der Durchmesser am kleinen Ende
• $L$ ist die Länge zwischen den beiden Messpunkten

Alle drei Werte müssen dieselbe Einheit verwenden. Der arctan-Schritt ergibt den Winkel im Bogenmaß, der anschließend durch Multiplikation mit 180/π in Grad umgerechnet wird.

Die Formel arbeitet in zwei Stufen. Die Division durch 2 ermittelt zunächst den halben Winkel, also den Winkel zwischen der Oberfläche der Verjüngung und ihrer Mittellinie. Die anschließende Multiplikation mit 2 ergibt den vollen Winkel, der normalerweise in einer Zeichnung angegeben wird.

So berechnet man das Kegelverhältnis

Das Kegelverhältnis setzt die Länge zur Durchmesseränderung ins Verhältnis und wird als 1:X angegeben:

$R = \frac{L}{D_L - D_S}$

wobei R das Kegelverhältnis ist.

Ein Verhältnis von 1:20 bedeutet, dass sich der Durchmesser pro 20 Längeneinheiten um 1 Einheit verringert. Viele Werkzeugmaschinenkegel liegen nahe bei 1:20, weil dieses Verhältnis flach genug ist, um allein durch Reibung zu halten, aber steil genug, um sich durch einen leichten Schlag zu lösen.

Rechenbeispiel

Eine Welle hat am großen Ende einen Durchmesser von 10 mm und am kleinen Ende von 5 mm, bei einer Länge von 100 mm.

Kegelwinkel: θ = 2 × arctan((10 − 5) / (2 × 100)) = 2 × arctan(0,025) ≈ 2,86°

Kegelverhältnis: 100 / (10 − 5) = 20, angegeben als 1:20

So misst man eine Verjüngung

Drei Messungen definieren eine Verjüngung: der Durchmesser am großen Ende, der Durchmesser am kleinen Ende und die Länge zwischen den beiden Punkten, an denen diese Durchmesser gemessen wurden. Die Länge muss parallel zur Mittellinie verlaufen. Wird stattdessen entlang der schrägen Oberfläche gemessen, fällt die Länge zu groß und der berechnete Winkel zu klein aus.

Messschieber oder Mikrometer messen die Durchmesser. Da eine Verjüngung keinen einzigen festen Durchmesser besitzt, müssen beide Messwerte von bekannten, genau festgelegten Punkten entlang des Teils stammen und nicht einfach von beliebigen geeigneten Stellen.

Sind beide Durchmesser gleich, handelt es sich um einen geraden Zylinder und nicht um eine Verjüngung. Der Winkel beträgt 0°, und das Verhältnis ist unendlich, weil sich der Durchmesser unabhängig von der Messposition entlang des Teils nie ändert.

Standard-Kegelverhältnisse

Mehrere Industriezweige verwenden eine kleine Auswahl standardisierter Kegel, damit Werkzeuge verschiedener Hersteller zusammenpassen.

Morsekegel, Brown-&-Sharpe-Kegel und Jarno-Kegel sind selbsthaltend. Allein die Reibung hält das Werkzeug nach dem Einschlagen in Position, sodass zum Entfernen ein kräftiger Schlag erforderlich ist. CAT-, BT- und R8-Kegel sind steiler und selbstlösend. Sie werden beim Schneiden durch eine Zugstange festgezogen und geben das Werkzeug leicht frei, sobald die Zugstange gelöst wird. Die Trennlinie zwischen den beiden Verhaltensweisen liegt ungefähr bei einem Verhältnis von 1:8 bis 1:10 — flachere Verhältnisse sind durch Reibung tendenziell selbsthemmend, steilere benötigen zum Halten eine mechanische Zugkraft.

Die einzelnen Größen des Morse-Kegels unterscheiden sich geringfügig: So liegt MT1 beispielsweise nahe bei 1:20,05, MT2 nahe bei 1:20,02 und MT3 nahe bei 1:19,92. Die Unterschiede sind klein genug, dass „etwa 1:20“ die gesamte Baureihe beschreibt, sie sind jedoch für das Anfertigen eines Ersatzteils oder einer passenden Aufnahme relevant.

Andere Darstellungen einer Verjüngung

Konizität pro Fuß (TPF) gibt die Durchmesseränderung über genau 12 Zoll Länge an. Eine Durchmesseränderung von 0,6 Zoll pro Fuß entspricht einem Verhältnis von 1:20, da 12 ÷ 0,6 = 20.

Konizität, wie sie häufig in ISO-Zeichnungen verwendet wird, ist die Durchmesseränderung geteilt durch die Länge, ohne sie in ein Verhältnis umzurechnen: $C = (D_L - D_S) / L$. Eine Konizität von 0,05 beschreibt dieselbe Verjüngung wie 1:20.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kegelwinkel und Kegelverhältnis?

Beide beschreiben dieselbe Geometrie in zwei Formaten. Der Winkel in Grad ist der volle Winkel zwischen den beiden konischen Flächen. Das als 1:X angegebene Verhältnis legt fest, welcher Länge eine Einheit der Durchmesseränderung entspricht. Zeichnungen und CNC-Programme verwenden häufig den Winkel; zur Bestimmung, welchem Kegelstandard ein Teil folgt, wird meist das Verhältnis herangezogen.

Welche Einheiten sollten verwendet werden?

Jede einheitliche Maßeinheit ist geeignet, solange alle drei Messungen dieselbe verwenden. Millimeter und Zoll funktionieren gleichermaßen; eine Mischung beider Einheiten in einer Berechnung führt zu einem falschen Ergebnis.

Was bedeutet ein Kegelverhältnis von 1:20 in der Praxis?

Der Durchmesser ändert sich entlang der Achse pro 20 Längeneinheiten um 1 Einheit. Ein 200 mm langes Teil mit einer Verjüngung von 1:20 weist zwischen seinen Enddurchmessern einen Unterschied von 10 mm auf.

Warum haben verschiedene Morsekegelgrößen geringfügig unterschiedliche Verhältnisse?

Stephen A. Morse führte das Morse-Kegelsystem in den 1860er-Jahren als eine Baureihe von Größen mit den Nummern 0 bis 7 ein. Jede Größe liegt nahe bei 1:20, entspricht diesem Verhältnis jedoch nicht genau, sodass die Verhältnisse innerhalb der Baureihe von etwa 1:19,0 bis 1:20,05 reichen.

Kann ein Verjüngungsrechner feststellen, welcher Norm ein Teil entspricht?

Er berechnet aus den am Teil vorgenommenen Messungen das Verhältnis und den Winkel. Um dieses Ergebnis einem benannten Standard wie Morse #2 oder NPT zuzuordnen, ist dennoch ein Vergleich mit einer Referenztabelle erforderlich, da mehrere Standards ähnliche Verhältnisse verwenden.

Ist der berechnete Winkel der halbe oder der volle Winkel?

Es handelt sich um den vollen eingeschlossenen Winkel, also den Winkel zwischen den beiden konischen Seiten, wie er normalerweise in einer technischen Zeichnung dargestellt wird. Durch Division durch zwei erhält man den halben Winkel, gemessen von der Mittellinie bis zu einer Seite.