Halbwertszeit-Rechner | Berechnung des radioaktiven Zerfalls & Medikamentenstoffwechsels

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, die eine Größe benötigt, um auf die Hälfte ihres Ausgangswerts zu sinken. Dieser Halbwertszeitrechner arbeitet nur in eine Richtung: Man gibt eine Zerfallsrate ein und erhält die Halbwertszeit. Das Konzept gilt für radioaktive Isotope, aus dem Körper ausgeschiedene Arzneimittel und jeden anderen Prozess mit exponentiellem Zerfall.

Die Halbwertszeit hängt nicht davon ab, wie viel Material vorhanden ist. Uran-238 hat eine Halbwertszeit von etwa 4,5 Milliarden Jahren, unabhängig davon, ob die Probe ein Kilogramm oder die Menge eines einzelnen Atoms aus einer großen Population umfasst. Nur die Zerfallsrate des Stoffes bestimmt die Halbwertszeit.

Formel der Halbwertszeit

Die Standardformel lautet:

t½ = ln(2) / λ

• t½ ist die Halbwertszeit in der Zeiteinheit, in der λ angegeben ist.
• ln(2) ist der natürliche Logarithmus von 2, ungefähr 0,6931.
• λ (Lambda) ist die Zerfallskonstante, also der Anteil des Stoffes, der pro Zeiteinheit zerfällt.

Diese Formel ergibt sich aus der Gleichung für den exponentiellen Zerfall:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Hier ist N₀ die Ausgangsmenge, N(t) die nach der Zeit t verbleibende Menge und e die Eulersche Zahl, ungefähr 2,718. Setzt man N(t) gleich N₀/2 und löst nach t auf, erhält man t½ = ln(2)/λ. Eine höhere Zerfallsrate bedeutet eine kürzere Halbwertszeit, eine niedrigere Zerfallsrate eine längere.

Einheiten der Zerfallsrate

Die Zerfallsrate λ wird als Kehrwert einer Zeit angegeben, etwa pro Sekunde, pro Tag oder pro Jahr. Sie muss zur für das Ergebnis gewünschten Zeiteinheit passen. Wird eine Rate von „pro Tag“ als „pro Stunde“ interpretiert, ist das Ergebnis um den Faktor 24 falsch. Eine vorherige Einheitenprüfung verhindert daher, dass sich Fehler in der gesamten Berechnung fortsetzen.

Halbwertszeit berechnen

1. Zerfallskonstante bestimmen. Die λ der Substanz nachschlagen oder aus Messdaten ableiten und dabei ihre Zeiteinheit genau berücksichtigen.
2. ln(2) durch λ teilen. Das Ergebnis t½ = ln(2)/λ ist die Halbwertszeit in derselben Zeiteinheit wie λ.
3. Größenordnung des Ergebnisses prüfen. Ein medizinisches Isotop sollte keine Halbwertszeit von einer Million Jahren ergeben, ein geologisches dagegen keine in Tagen gemessene Halbwertszeit. Ein Ergebnis weit außerhalb des erwarteten Bereichs weist meist auf nicht übereinstimmende Einheiten hin.

Bei sehr langlebigen Isotopen wird λ häufig in wissenschaftlicher Notation angegeben, etwa als 1,54 × 10⁻¹⁰ pro Jahr für Uran-238. Das Feld für die Zerfallsrate akzeptiert diese Angabe in E-Notation, eingegeben als 1.54e-10.

Was dieser Rechner anzeigt

Der Rechner benötigt zwei Eingaben. Die Ausgangsmenge ist die zum Zeitpunkt null vorhandene Menge in einer beliebigen vom Nutzer gewählten Einheit und muss mindestens 0,1 betragen. Die Zerfallsrate ist λ, angegeben pro Zeiteinheit.

Das Ergebnis ist die auf vier Dezimalstellen gerundete Halbwertszeit in derselben Zeiteinheit wie λ. Darunter gibt ein Satz das Ergebnis nochmals als die Zeit an, die die Ausgangsmenge benötigt, um auf die Hälfte zu sinken. Eine Zerfallsrate von null oder weniger wird abgelehnt, da ln(2)/0 keinen definierten Wert hat.

Das Diagramm stellt N(t) = N₀ × e^(−λt) von Zeitpunkt null bis zu fünf Halbwertszeiten anhand von 101 gleichmäßig verteilten Punkten dar. Nach fünf Halbwertszeiten verbleiben 1/32 der Ausgangsmenge, also etwa 3,1 %. Die Kurve kann in den vom Nutzer gewählten Schritten als Tabelle heruntergeladen werden.

Durchgerechnetes Beispiel

Beispiel 1: Kohlenstoff-14-Datierung

Kohlenstoff-14 hat eine Zerfallsrate von ungefähr 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5.730 Jahre

Lebende Organismen tauschen kontinuierlich Kohlenstoff mit der Atmosphäre aus, wodurch ihr Kohlenstoff-14-Gehalt konstant bleibt. Nach dem Tod endet dieser Austausch, und der bereits vorhandene Kohlenstoff-14 beginnt nach diesem Zeitplan zu zerfallen. Durch den Vergleich des verbleibenden Kohlenstoffs-14 mit stabilem Kohlenstoff-12 können Wissenschaftler abschätzen, wie lange der Tod eines Organismus zurückliegt. Nach etwa 60.000 Jahren wird die Methode unzuverlässig, da dann zu wenig Kohlenstoff-14 für eine genaue Messung vorhanden ist.

Beispiel 2: Jod-131 in der Medizin

Jod-131, das zur Behandlung der Schilddrüse und für bildgebende Verfahren verwendet wird, hat eine Zerfallsrate von ungefähr 0,0862 pro Tag.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 Tage

Nach etwa 8 Tagen ist die Hälfte einer verabreichten Dosis Jod-131 zerfallen. Zehn Halbwertszeiten, also ungefähr 80 Tage, senken die Radioaktivität auf etwa ein Tausendstel des ursprünglichen Werts. Dies berücksichtigen Krankenhäuser bei der Planung von Sicherheitsmaßnahmen für Patienten und bei der Nutzung von Räumen.

Beispiel 3: Eliminationsrate eines Arzneimittels

Ein Arzneimittel wird mit einer Rate von 0,2 pro Stunde aus dem Körper ausgeschieden.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 Stunden

Die Hälfte des Arzneimittels verlässt den Blutkreislauf in etwa 3,5 Stunden. Ärzte verwenden diesen Wert, um die Abstände zwischen den Dosen festzulegen, damit die Konzentration im therapeutischen Bereich bleibt: Ein zu kurzer Abstand birgt das Risiko einer Anreicherung bis zu toxischen Konzentrationen, ein zu langer lässt die Konzentration unter die Wirksamkeitsschwelle sinken.

Verwandte Größen

Einige weitere Begriffe beschreiben denselben Zerfallsprozess aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

• Zerfallskonstante (λ) ist die Eingangsgröße der Halbwertszeitformel. Sie entspricht ln(2)/t½ und gibt die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit an, dass ein bestimmtes Atom zerfällt.
• Mittlere Lebensdauer (τ) ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teilchen vor seinem Zerfall existiert. Sie entspricht 1/λ oder t½/ln(2). Sie ist ungefähr 1,44-mal so lang wie die Halbwertszeit.
• Aktivität, gemessen in Becquerel oder Curie, ist die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde in einer tatsächlichen Probe. Anders als λ hängt die Aktivität von der vorhandenen Stoffmenge ab: Ein Gramm eines kurzlebigen Isotops hat eine deutlich höhere Aktivität als ein Gramm eines langlebigen Isotops.
• Effektive Halbwertszeit gilt in lebenden Organismen, in denen ein Stoff sowohl durch physikalischen Zerfall als auch durch biologische Prozesse wie Ausscheidung entfernt wird. Sie ergibt sich aus 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological und ist immer kürzer als die rein physikalische Halbwertszeit.

Anwendungen der Halbwertszeit

Radiometrische Datierung. Mit Kohlenstoff-14 lässt sich organisches Material bis zu einem Alter von etwa 60.000 Jahren datieren. Langlebigere Isotope datieren älteres Material: Uran-238, das zu Blei-206 zerfällt und eine Halbwertszeit von ungefähr 4,5 Milliarden Jahren hat, wird zur Datierung von Gestein verwendet, das seit der Entstehung der Erde gebildet wurde.

Management radioaktiver Abfälle. Abgebrannter Brennstoff enthält eine Mischung von Isotopen mit sehr unterschiedlichen Halbwertszeiten. Jod-131 wird innerhalb von Monaten sicher, während Plutonium-239 mit einer Halbwertszeit von ungefähr 24.000 Jahren eine Lagerung über Hunderttausende von Jahren erfordert.

Pharmakologie. Die Halbwertszeit eines Arzneimittels bestimmt sein Dosierungsschema. Bei regelmäßiger Dosierung wird nach etwa fünf Halbwertszeiten eine stabile Blutkonzentration erreicht; auch die Ausscheidung eines Arzneimittels aus dem Körper bis auf ein vernachlässigbares Niveau dauert etwa fünf Halbwertszeiten.

Nuklearmedizin. Technetium-99m mit einer Halbwertszeit von etwa 6 Stunden wird häufig für diagnostische Aufnahmen verwendet, weil es lange genug aktiv bleibt, um ein Bild zu erzeugen, aber schnell genug zerfällt, um die Strahlenbelastung des Patienten zu begrenzen.

Umweltspurenanalyse. Cäsium-137 (etwa 30 Jahre) und Strontium-90 (etwa 29 Jahre) werden verwendet, um die Kontamination durch nukleare Unfälle zu verfolgen, da ihre Halbwertszeiten lang genug sind, um über Jahrzehnte fortzubestehen, aber kurz genug, um schließlich vollständig zu zerfallen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Halbwertszeit in einfachen Worten?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, die benötigt wird, damit die Hälfte einer Menge verschwindet oder sich in etwas anderes umwandelt. Beginnt man mit 100 Gramm eines radioaktiven Isotops, bleiben nach einer Halbwertszeit 50 Gramm und nach einer weiteren Halbwertszeit 25 Gramm übrig. Diese Zeit ist unabhängig davon, wie viel Material anfangs vorhanden ist.

Wie wird die Halbwertszeit aus einer Zerfallsrate berechnet?

Man teilt ln(2), ungefähr 0,693, durch die Zerfallsrate λ: t½ = ln(2)/λ. Das Ergebnis wird in der Zeiteinheit von λ angegeben. Eine Rate pro Jahr ergibt also eine Halbwertszeit in Jahren.

Verändern Temperatur oder Druck die Halbwertszeit?

Nein. Radioaktive Halbwertszeiten werden durch Prozesse im Atomkern bestimmt und nicht durch Temperatur, Druck oder den chemischen Zustand beeinflusst. Dies unterscheidet sie von biologischen oder effektiven Halbwertszeiten, die sich durch Faktoren wie den Stoffwechsel verändern können.

Wie viele Halbwertszeiten dauert es, bis ein Stoff praktisch verschwunden ist?

Der exponentielle Zerfall erreicht nie genau null. Nach 10 Halbwertszeiten verbleiben jedoch nur etwa 0,1 % der ursprünglichen Menge, ein Wert, der in der Praxis üblicherweise als vernachlässigbar gilt.

Gilt die Halbwertszeit auch für nicht radioaktive Dinge?

Ja. Jede exponentiell zerfallende Menge hat eine Halbwertszeit, darunter Koffein, das den Blutkreislauf verlässt, Arzneimittel, die aus dem Körper ausgeschieden werden, und einige Schadstoffe, die sich in Boden oder Wasser abbauen. In jedem dieser Fälle gilt dieselbe Formel: t½ = ln(2)/λ.

Wie genau ist die Kohlenstoff-14-Datierung?

Bei Proben, die jünger als etwa 30.000 Jahre sind, liegen die Ergebnisse nach der Kalibrierung anhand von Jahrringaufzeichnungen zur Berücksichtigung früherer Veränderungen des atmosphärischen Kohlenstoff-14-Gehalts meist innerhalb weniger Hundert Jahre. Ab etwa 60.000 Jahren ist zu wenig Kohlenstoff-14 für eine zuverlässige Messung vorhanden.

Referenzen

1. L'Annunziata, Michael F. (2016). Radioactivity: Introduction and History, From the Quantum to Quarks. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Krane, Kenneth S. (1988). Introductory Nuclear Physics. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. National Institute of Standards and Technology. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. Internationale Atomenergie-Organisation. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html