Halbwertszeit-Rechner | Berechnung des radioaktiven Zerfalls & Medikamentenstoffwechsels

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, die vergeht, bis eine Größe auf die Hälfte ihres Anfangswerts gesunken ist. Ein Halbwertszeit-Rechner bestimmt diese Zeit aus einer Zerfallskonstante oder ermittelt die Zerfallskonstante aus einer bekannten Halbwertszeit. Das Prinzip gilt für radioaktive Isotope, für Arzneimittel, die den Körper verlassen, und für jeden anderen Vorgang, der exponentiell abklingt.

Die Halbwertszeit hängt nicht davon ab, wie viel Material vorhanden ist. Uran-238 hat eine Halbwertszeit von etwa 4,5 Milliarden Jahren, unabhängig davon, ob die Probe ein Kilogramm wiegt oder nur ein Atom aus einer großen Gesamtheit umfasst. Allein die Zerfallskonstante des Stoffes legt die Halbwertszeit fest.

Formel der Halbwertszeit

Die Standardformel lautet:

t½ = ln(2) / λ

• t½ ist die Halbwertszeit in der Zeiteinheit, in der λ angegeben ist.
• ln(2) ist der natürliche Logarithmus von 2, ungefähr 0,6931.
• λ (Lambda) ist die Zerfallskonstante, also der Anteil des Stoffes, der pro Zeiteinheit zerfällt.

Diese Formel ergibt sich aus der Gleichung für den exponentiellen Zerfall:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Hier ist N₀ die Ausgangsmenge, N(t) die nach der Zeit t verbleibende Menge und e die Eulersche Zahl, ungefähr 2,718. Setzt man N(t) gleich N₀/2 und löst nach t auf, erhält man t½ = ln(2)/λ. Eine höhere Zerfallsrate bedeutet eine kürzere Halbwertszeit, eine niedrigere Zerfallsrate eine längere.

Einheiten der Zerfallsrate

Die Zerfallsrate λ wird als Kehrwert einer Zeit angegeben, etwa pro Sekunde, pro Tag oder pro Jahr. Sie muss zur für das Ergebnis gewünschten Zeiteinheit passen. Wird eine Rate von „pro Tag“ als „pro Stunde“ interpretiert, ist das Ergebnis um den Faktor 24 falsch. Eine vorherige Einheitenprüfung verhindert daher, dass sich Fehler in der gesamten Berechnung fortsetzen.

Halbwertszeit berechnen

1. Bestimmen Sie die Zerfallskonstante. Schlagen Sie λ für die Substanz nach oder leiten Sie es aus Messdaten ab, und achten Sie dabei genau auf seine Zeiteinheit.
2. ln(2) durch λ teilen. Das Ergebnis t½ = ln(2)/λ ist die Halbwertszeit in derselben Zeiteinheit wie λ.
3. Größenordnung des Ergebnisses prüfen. Ein medizinisches Isotop sollte keine Halbwertszeit von einer Million Jahren ergeben, ein geologisches dagegen keine in Tagen gemessene Halbwertszeit. Ein Ergebnis weit außerhalb des erwarteten Bereichs weist meist auf nicht übereinstimmende Einheiten hin.

Bei sehr langlebigen Isotopen wird λ häufig in wissenschaftlicher Notation geschrieben, etwa 1,55 × 10⁻¹⁰ pro Jahr für Uran-238. Die meisten Rechner, auch dieser, akzeptieren dies entweder in Exponentenform oder als „1.55e-10“. Der Rechner zeigt die Halbwertszeit mit vier Nachkommastellen an und stellt die Zerfallskurve über fünf Halbwertszeiten dar.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kohlenstoff-14-Datierung

Kohlenstoff-14 hat eine Zerfallskonstante von etwa 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr, was seiner gemessenen Halbwertszeit von 5.730 Jahren entspricht.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5.728 Jahre

Die kleine Abweichung von 5.730 ergibt sich daraus, dass λ auf drei signifikante Stellen gerundet wurde.

Lebende Organismen tauschen ständig Kohlenstoff mit der Atmosphäre aus und halten so ihren Kohlenstoff-14-Gehalt konstant. Nach dem Tod endet dieser Austausch, und das bereits vorhandene Kohlenstoff-14 beginnt nach diesem Zeitplan zu zerfallen. Aus dem Vergleich des verbleibenden Kohlenstoff-14 mit dem stabilen Kohlenstoff-12 können Wissenschaftler abschätzen, wie lange ein Organismus schon tot ist. Die Methode ist bis zu etwa 30.000 Jahren genau und liefert bis zu etwa 50.000 Jahren brauchbare Datierungen. Darüber hinaus bleibt zu wenig Kohlenstoff-14 übrig, um es zu messen.

Beispiel 2: Iod-131 in der Medizin

Iod-131, das in der Schilddrüsenbehandlung und -bildgebung eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Seine Zerfallskonstante beträgt etwa 0,0862 pro Tag.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 Tage

Nach etwa 8 Tagen ist die Hälfte einer verabreichten Dosis Iod-131 zerfallen. Zehn Halbwertszeiten, also etwa 80 Tage, senken die Radioaktivität auf etwa ein Tausendstel des ursprünglichen Niveaus (1/2¹⁰ = 1/1,024).

Beispiel 3: Eliminationsrate eines Arzneimittels

Ein Arzneimittel wird mit einer Rate von 0,2 pro Stunde aus dem Körper ausgeschieden.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 Stunden

Die Hälfte des Arzneimittels verlässt den Blutkreislauf in etwa 3,5 Stunden. Ärzte nutzen diesen Wert, um die Abstände zwischen den Dosen festzulegen. Ein zu kurzer Abstand kann dazu führen, dass sich das Arzneimittel bis zu toxischen Konzentrationen anreichert. Ein zu langer Abstand lässt den Spiegel unter den wirksamen Bereich fallen.

Verwandte Größen

Einige weitere Begriffe beschreiben denselben Zerfallsprozess aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

• Zerfallskonstante (λ) ist die Eingangsgröße der Halbwertszeitformel. Sie entspricht ln(2)/t½ und gibt die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit an, dass ein bestimmtes Atom zerfällt.
• Mittlere Lebensdauer (τ) ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teilchen vor seinem Zerfall existiert. Sie entspricht 1/λ oder t½/ln(2). Sie ist ungefähr 1,44-mal so lang wie die Halbwertszeit.
• Aktivität, gemessen in Becquerel oder Curie, ist die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde in einer tatsächlichen Probe. Anders als λ hängt die Aktivität von der vorhandenen Stoffmenge ab: Ein Gramm eines kurzlebigen Isotops hat eine deutlich höhere Aktivität als ein Gramm eines langlebigen Isotops.
• Effektive Halbwertszeit gilt in lebenden Organismen, in denen ein Stoff sowohl durch physikalischen Zerfall als auch durch biologische Prozesse wie Ausscheidung entfernt wird. Sie ergibt sich aus 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological und ist immer kürzer als die rein physikalische Halbwertszeit.

Anwendungen der Halbwertszeit

Radiometrische Datierung. Kohlenstoff-14 datiert organisches Material bis zu einem Alter von etwa 50.000 Jahren. Langlebigere Isotope datieren älteres Material: Der Zerfall von Uran-238 zu Blei-206 mit einer Halbwertszeit von etwa 4,5 Milliarden Jahren dient dazu, Gestein zu datieren, das seit der Entstehung der Erde gebildet wurde.

Entsorgung radioaktiver Abfälle. Abgebrannter Brennstoff enthält ein Gemisch aus Isotopen mit sehr unterschiedlichen Halbwertszeiten. Iod-131 zerfällt innerhalb von Monaten. Plutonium-239 hat eine Halbwertszeit von etwa 24.110 Jahren, sodass zehn Halbwertszeiten etwa 241.000 Jahre dauern.

Pharmakologie. Die Halbwertszeit eines Arzneimittels bestimmt sein Dosierschema. Bei regelmäßiger Einnahme baut sich der Blutspiegel über mehrere Halbwertszeiten auf und pendelt sich dann ein. Nach einer Einzeldosis bleiben nach fünf Halbwertszeiten etwa 3 % davon übrig (1/2⁵ = 1/32).

Nuklearmedizin. Technetium-99m mit einer Halbwertszeit von etwa 6 Stunden ist in der diagnostischen Bildgebung weit verbreitet, weil es lange genug aktiv bleibt, um ein Bild zu erzeugen, aber schnell genug zerfällt, um die Strahlenbelastung der Patienten zu begrenzen.

Umweltverfolgung. Caesium-137 (etwa 30 Jahre) und Strontium-90 (etwa 29 Jahre) werden eingesetzt, um die Kontamination durch Nuklearunfälle nachzuverfolgen, da ihre Halbwertszeiten lang genug sind, um Jahrzehnte fortzubestehen, aber kurz genug, um schließlich zu zerfallen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Halbwertszeit in einfachen Worten?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, die benötigt wird, damit die Hälfte einer Menge verschwindet oder sich in etwas anderes umwandelt. Beginnt man mit 100 Gramm eines radioaktiven Isotops, bleiben nach einer Halbwertszeit 50 Gramm und nach einer weiteren Halbwertszeit 25 Gramm übrig. Diese Zeit ist unabhängig davon, wie viel Material anfangs vorhanden ist.

Wie wird die Halbwertszeit aus einer Zerfallsrate berechnet?

Man teilt ln(2), ungefähr 0,693, durch die Zerfallsrate λ: t½ = ln(2)/λ. Das Ergebnis wird in der Zeiteinheit von λ angegeben. Eine Rate pro Jahr ergibt also eine Halbwertszeit in Jahren.

Verändern Temperatur oder Druck die Halbwertszeit?

Nein. Radioaktive Halbwertszeiten werden durch Prozesse im Atomkern bestimmt und nicht durch Temperatur, Druck oder den chemischen Zustand beeinflusst. Dies unterscheidet sie von biologischen oder effektiven Halbwertszeiten, die sich durch Faktoren wie den Stoffwechsel verändern können.

Wie viele Halbwertszeiten dauert es, bis ein Stoff praktisch verschwunden ist?

Der exponentielle Zerfall erreicht nie genau null. Nach 10 Halbwertszeiten verbleiben jedoch nur etwa 0,1 % der ursprünglichen Menge, ein Wert, der in der Praxis üblicherweise als vernachlässigbar gilt.

Gilt die Halbwertszeit auch für nicht radioaktive Dinge?

Ja. Jede exponentiell zerfallende Menge hat eine Halbwertszeit, darunter Koffein, das den Blutkreislauf verlässt, Arzneimittel, die aus dem Körper ausgeschieden werden, und einige Schadstoffe, die sich in Boden oder Wasser abbauen. In jedem dieser Fälle gilt dieselbe Formel: t½ = ln(2)/λ.

Wie genau ist die Kohlenstoff-14-Datierung?

Die Kohlenstoff-14-Datierung ist für Proben bis zu einem Alter von etwa 30.000 Jahren genau und liefert bis zu etwa 50.000 Jahren einigermaßen genaue Datierungen. Ältere Proben enthalten zu wenig Kohlenstoff-14, um zuverlässig gemessen zu werden.

Referenzen

1. OpenStax. Chemistry 2e, 21,3 Radioaktiver Zerfall. Radioaktiver Zerfall — t½ = ln 2/λ, N = N₀e^(−λt), Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 5.730 Jahre und λ = 1,21 × 10⁻⁴ pro Jahr, Datierungsbereich der Kohlenstoff-14-Methode.
2. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Uranium. Radionuklid-Grundlagen: Uran — Halbwertszeit von Uran-238: 4,47 Milliarden Jahre.
3. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Iodine. Radionuklid-Grundlagen: Iod — Halbwertszeit von Iod-131: 8 Tage.
4. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Plutonium. Radionuklid-Grundlagen: Plutonium — Halbwertszeit von Plutonium-239: 24.110 Jahre.
5. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Technetium-99. Radionuklid-Grundlagen: Technetium-99 — Halbwertszeit von Technetium-99m: 6 Stunden.
6. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Cesium-137. Radionuklid-Grundlagen: Caesium-137 — Halbwertszeit von Caesium-137: 30,17 Jahre.
7. U.S. Environmental Protection Agency. Radionuclide Basics: Strontium-90. Radionuklid-Grundlagen: Strontium-90 — Halbwertszeit von Strontium-90: 29 Jahre.