Radioaktiver Zerfall Rechner - Berechnen Sie Halbwertszeit & verbleibende Menge

Was ist ein Rechner für radioaktiven Zerfall?

Ein Rechner für radioaktiven Zerfall ermittelt anhand der Halbwertszeit, wie viel einer radioaktiven Substanz nach einer bestimmten Zeit übrig bleibt. Geben Sie eine Ausgangsmenge, eine Halbwertszeit und eine verstrichene Zeit ein. Der Rechner gibt die verbleibende Menge zusammen mit einem Diagramm der Zerfallskurve aus.

Radioaktiver Zerfall ist ein natürlicher Vorgang, bei dem instabile Atomkerne Energie in Form von Strahlung freisetzen und sich in einen anderen, stabileren Kern umwandeln. Jedes radioaktive Isotop zerfällt mit einer eigenen festen Rate, die durch seine Halbwertszeit beschrieben wird: die Zeit, in der die Hälfte der Atome einer Probe zerfällt. Diese Rate ändert sich weder durch Temperatur und Druck noch durch die chemische Form der Substanz. Deshalb sind Zerfallsberechnungen für Anwendungen von der Krebsbehandlung bis zur Altersbestimmung antiker Artefakte hinreichend zuverlässig.

Formel für den radioaktiven Zerfall

Der Rechner verwendet die standardmäßige Gleichung für den exponentiellen Zerfall:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — verbleibende Menge nach der Zeit $t$
• $N_0$ — Ausgangsmenge
• $t$ — verstrichene Zeit
• $t_{1/2}$ — Halbwertszeit des Isotops

Der Exponent $t / t_{1/2}$ gibt an, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig. Nach zwei Halbwertszeiten bleibt ein Viertel übrig. Nach drei bleibt ein Achtel übrig und so weiter.

Dasselbe Gesetz wird häufig mit einer Zerfallskonstante $\lambda$ anstelle der Halbwertszeit geschrieben:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

Beide Formen liefern identische Ergebnisse. Die Form mit der Halbwertszeit lässt sich von Hand leichter nachvollziehen, da $(1/2)^n$ für eine ganze Anzahl von Halbwertszeiten eine unmittelbar verständliche Bedeutung hat.

Die Halbwertszeit verstehen

Die Halbwertszeiten unterscheiden sich zwischen den Isotopen erheblich. Polonium-214 hat eine Halbwertszeit von etwa 164 Mikrosekunden. Tellur-128 hat eine Halbwertszeit von ungefähr 2,2 Septillion (2,2 × 10²⁴) Jahren. Nach etwa 10 Halbwertszeiten sind weniger als 0,1 % einer Probe übrig. Deshalb werden 10 Halbwertszeiten häufig als grobe Faustregel dafür verwendet, wann eine radioaktive Quelle „praktisch verschwunden“ ist.

So wird radioaktiver Zerfall berechnet

1. Geben Sie die Ausgangsmenge ein. Sie kann in jeder beliebigen Einheit angegeben werden — Gramm, Atome, Becquerel oder Curie — und das Ergebnis wird in derselben Einheit ausgegeben.
2. Geben Sie die Halbwertszeit des Isotops und die zugehörige Zeiteinheit ein (Sekunden, Minuten, Stunden, Tage oder Jahre).
3. Geben Sie die verstrichene Zeit und ihre Einheit ein. Die Einheit muss nicht mit der Einheit der Halbwertszeit übereinstimmen. Der Rechner rechnet beide vor der Berechnung in dieselbe Einheit um.
4. Lesen Sie die verbleibende Menge und das Diagramm der Zerfallskurve ab, das die Menge über den gesamten eingegebenen Zeitraum zeigt.

Beispielrechnung

Iod-131, das zur Behandlung und Bildgebung der Schilddrüse eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von 8,02 Tagen. Wie viel bleibt von einer Ausgangsmenge von 1.000 Millicurie nach 24,06 Tagen übrig?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ Millicurie}$

Drei Halbwertszeiten sind vergangen, die Probe wurde also dreimal halbiert: 1.000 → 500 → 250 → 125 Millicurie.

Häufige Isotope und ihre Halbwertszeiten

Anwendungen von Zerfallsberechnungen in der Praxis

Medizin. Strahlentherapiequellen wie Kobalt-60 verlieren durch ihren Zerfall an Stärke. Daher müssen die Bestrahlungszeiten während der Nutzungsdauer der Quelle verlängert werden, um dieselbe Dosis abzugeben. Für nuklearmedizinische Untersuchungen werden kurzlebige Isotope wie Technetium-99m verwendet. Die Untersuchung wird so terminiert, dass die Aktivität für die Bildgebung noch hoch genug ist, die Strahlendosis für den Patienten aber begrenzt bleibt. Da seine Halbwertszeit 6 Stunden beträgt, sind nach 24 Stunden (vier Halbwertszeiten) noch etwa 6 % der ursprünglichen Aktivität vorhanden; nach zwei Tagen (acht Halbwertszeiten) bleiben weniger als 1 % übrig.

Altersbestimmung. Archäologen schätzen das Alter organischer Überreste, indem sie messen, wie viel Kohlenstoff-14 noch vorhanden ist, und dabei dessen Halbwertszeit von 5.730 Jahren verwenden. Diese Methode funktioniert bis ungefähr 50.000–60.000 Jahre, danach ist zu wenig Kohlenstoff-14 für eine Messung vorhanden. Geologen bestimmen das Alter von Gesteinen über wesentlich längere Zeiträume mithilfe des Zerfalls von Uran zu Blei und von Kalium zu Argon. Auf diese Weise wurde das Alter der Erde auf etwa 4,54 Milliarden Jahre geschätzt.

Sicherheit und Industrie. Nach einem nuklearen Unfall stellen kurzlebige Isotope wie Iod-131 eine unmittelbare, aber vorübergehende Gefahr dar, während langlebige Isotope wie Cäsium-137 (etwa 30 Jahre) jahrzehntelang problematisch bleiben. Quellen für industrielle Radiografie werden ausgemustert, sobald der Zerfall die Bestrahlungszeiten unpraktisch lang macht. Abgebrannter Kernbrennstoff wird jahrelang in Abklingbecken gelagert, weil er beim Zerfall weiterhin Wärme erzeugt.

Einschränkungen dieses Rechners

Dieser Rechner behandelt den einfachen Zerfall eines einzelnen Isotops in ein stabiles Zerfallsprodukt. Er modelliert nicht:

• Zerfallsreihen. Viele schwere Isotope zerfallen über eine Reihe radioaktiver Tochternuklide, bevor ein stabiles Nuklid entsteht. Uran-238 durchläuft beispielsweise etwa 14 Schritte, bevor stabiles Blei-206 entsteht. Um die Menge jedes Zwischenisotops zu berechnen, müssen die Bateman-Gleichungen gelöst werden, ein System gekoppelter Differentialgleichungen.
• Kleine Proben. Die Formel beschreibt das durchschnittliche Verhalten großer Atomzahlen. Bei nur einigen Dutzend Atomen schwankt die tatsächliche Zahl der Zerfälle in jedem Zeitintervall um die vorhergesagte Kurve.
• Kalibrierung. Bei Anwendungen zur Altersbestimmung entsprechen die direkt berechneten Alter nicht den Kalenderjahren. Die Radiokarbonmethode benötigt beispielsweise Kalibrierungskurven, die frühere Veränderungen des atmosphärischen Kohlenstoffs-14 korrigieren.

Häufig gestellte Fragen

Wie wird die Halbwertszeit definiert? Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der die Hälfte der radioaktiven Atome einer Probe zerfällt. Sie ist für ein bestimmtes Isotop unabhängig von der Probengröße und den physikalischen Bedingungen konstant.

Kann radioaktiver Zerfall beschleunigt oder verlangsamt werden? Unter normalen Bedingungen nein. Zerfallsraten werden weder durch Temperatur und Druck noch durch chemische Bindungen beeinflusst. Diese Konstanz macht die radiometrische Altersbestimmung und die Planung von Strahlendosen zuverlässig. Einige exotische Zerfallsarten, etwa der Elektroneneinfang, zeigen nur unter extremen Bedingungen wie im Inneren eines Sterns geringfügige Änderungen der Rate, die für den Alltag keine Bedeutung haben.

Was geschieht nach dem Verstreichen vieler Halbwertszeiten? Die verbleibende Menge halbiert sich weiterhin, erreicht mathematisch aber nie den Wert null. Nach 10 Halbwertszeiten sind noch etwa 0,0977 % vorhanden. Nach 20 Halbwertszeiten bleibt weniger als ein Millionstel der ursprünglichen Menge übrig. Im Strahlenschutz gelten 10 Halbwertszeiten häufig als Schwellenwert dafür, eine Quelle als nicht mehr relevant einzustufen.

Wie rechne ich zwischen Zeiteinheiten um? 1 Jahr = 365,25 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden. Der Rechner rechnet automatisch um, sodass Halbwertszeit und verstrichene Zeit in unterschiedlichen Einheiten eingegeben werden können.

Kann dieser Rechner für die Radiokarbonmethode verwendet werden? Er kann mithilfe der Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 von 5.730 Jahren eine grundlegende Schätzung liefern. Bei der professionellen Altersbestimmung werden veröffentlichte Kalibrierungskurven verwendet, um das direkte Ergebnis in Kalenderjahre umzurechnen, da die Konzentration des atmosphärischen Kohlenstoffs-14 im Lauf der Zeit geschwankt hat.

Berücksichtigt dieser Rechner Zerfallsreihen? Nein. Er berechnet den Zerfall in einem einzelnen Schritt vom Mutternuklid zu einem stabilen Zerfallsprodukt. Isotope, die über eine Reihe radioaktiver Tochternuklide zerfallen, wie Uran-238, erfordern die Bateman-Gleichungen, die dieser Rechner nicht löst.