Box-Plot-Rechner - Kostenloser Box-and-Whisker-Plot-Generator

Was ist ein Boxplot?

Ein Boxplot, auch Box-and-Whisker-Plot genannt, ist ein Diagramm, das eine Zahlenmenge anhand von fünf Werten zusammenfasst: Minimum, erstes Quartil, Median, drittes Quartil und Maximum. Es zeigt, wo die meisten Daten liegen, und kennzeichnet ungewöhnliche Werte, sogenannte Ausreißer, ohne jeden einzelnen Datenpunkt aufzulisten.

Boxplots sind in der Statistik, den Naturwissenschaften und Geschäftsberichten verbreitet, weil sich damit mehrere Zahlengruppen auf einen Blick vergleichen lassen.

Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Ein Boxplot wird aus fünf Zahlen erstellt, die nach dem Sortieren der Daten vom kleinsten zum größten Wert berechnet werden.

• Minimum: der kleinste Wert, der kein Ausreißer ist.
• Erstes Quartil (Q1): der Wert, unter dem etwa ein Viertel der Daten liegt.
• Median (Q2): der mittlere Wert der Datenmenge.
• Drittes Quartil (Q3): der Wert, unter dem etwa drei Viertel der Daten liegen.
• Maximum: der größte Wert, der kein Ausreißer ist.

Die Box im Diagramm reicht von Q1 bis Q3. Eine Linie innerhalb der Box markiert den Median. Dünne Linien, die Whisker genannt werden, reichen von der Box in Richtung Minimum und Maximum. Ausreißer werden als separate Punkte außerhalb der Whisker dargestellt.

Formel für den Boxplot

Für eine aufsteigend sortierte Datenmenge mit n Werten gilt:

Median

$$\text{Median} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ ist ungerade} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ ist gerade} \end{cases}$$

Quartile. Teilen Sie die sortierten Daten in eine untere und eine obere Hälfte. Wenn n ungerade ist, wird der Median selbst aus beiden Hälften ausgeschlossen. Dann gilt:

$$Q_1 = \text{Median der unteren Hälfte}, \qquad Q_3 = \text{Median der oberen Hälfte}$$

Dies wird häufig als exklusive Methode bezeichnet. Es gibt auch andere Methoden, die bei kleinen Datenmengen leicht unterschiedliche Werte für Q1 und Q3 ergeben können. Dieser Rechner verwendet jedoch die exklusive Methode.

Interquartilsabstand (IQR)

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Zäune und Whisker. Die Zäune markieren die Grenze für Ausreißer. Sie liegen das 1,5-Fache des Interquartilsabstands jenseits der Quartile:

$$\text{Unterer Zaun} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{Oberer Zaun} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

Ein Whisker endet nicht genau an einem Zaun. Er endet beim extremsten Datenpunkt, der noch innerhalb der Zäune liegt:

$$\text{Unterer Whisker} = \min\{x_i : x_i \geq \text{Unterer Zaun}\}, \qquad \text{Oberer Whisker} = \max\{x_i : x_i \leq \text{Oberer Zaun}\}$$

Ausreißer. Jeder Wert unterhalb des unteren oder oberhalb des oberen Zauns ist ein Ausreißer und wird als einzelner Punkt dargestellt, statt in den Whisker einbezogen zu werden.

Einen Boxplot Schritt für Schritt berechnen

1. Sortieren Sie die Daten vom kleinsten zum größten Wert.
2. Bestimmen Sie den Median. Bei einer ungeraden Anzahl ist er der mittlere Wert. Bei einer geraden Anzahl ist er der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
3. Bestimmen Sie Q1: den Median der unteren Hälfte der Daten (bei einer ungeraden Anzahl wird der Median selbst ausgeschlossen).
4. Bestimmen Sie Q3: den Median der oberen Hälfte der Daten nach derselben Regel.
5. Berechnen Sie den IQR als Q3 minus Q1.
6. Berechnen Sie die unteren und oberen Ausreißergrenzen mit 1,5 mal dem IQR.
7. Kennzeichnen Sie jeden Wert außerhalb der Grenzen als Ausreißer.
8. Setzen Sie die Whisker auf den kleinsten und größten Wert, die innerhalb der Grenzen liegen.

Beispiel

Betrachten Sie diese Datenmenge mit 11 Werten: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Sie ist bereits sortiert.

Bei 11 Werten (ungerade) ist der Median der 6. Wert: 40.

Die untere Hälfte lautet 6, 7, 15, 36, 39 (fünf Werte, der Median ist ausgeschlossen). Ihr Median ist der mittlere Wert: Q1 = 15.

Die obere Hälfte lautet 41, 42, 43, 47, 49. Ihr Median ist der mittlere Wert: Q3 = 43.

Interquartilsabstand = 43 − 15 = 28.

Unterer Zaun = 15 − 1,5 × 28 = −27. Oberer Zaun = 43 + 1,5 × 28 = 85. Jeder Wert der Datenmenge liegt zwischen −27 und 85. Daher gibt es keine Ausreißer, und die Whisker reichen bis zum tatsächlichen Minimum und Maximum: min = 6, max = 49.

Vergleichen wir nun eine Datenmenge mit einem Ausreißer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Hier gilt Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 und IQR = 6. Daraus ergibt sich ein oberer Zaun von 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Der Wert 50 liegt über diesem Zaun und wird daher als Ausreißer dargestellt. Der obere Whisker endet bei 11, dem größten noch innerhalb des Zauns liegenden Wert, und nicht bei 50.

Einen Boxplot lesen

Die Box umfasst die mittleren 50 % der Daten. Eine breite Box bedeutet daher, dass die mittleren Datenwerte weit gestreut sind, während eine schmale Box auf eine enge Häufung hindeutet. Liegt die Medianlinie näher an einer Seite der Box, sind die Daten zur längeren Seite hin geneigt oder schief verteilt. Ein Whisker, der deutlich länger als der andere ist, deutet darauf hin, dass die Daten auf dieser Seite stärker auslaufen. Punkte außerhalb der Whisker sind Ausreißer und verdienen oft eine genauere Untersuchung, da es sich um echte Extremwerte oder um Fehler in den Daten handeln kann.

Häufige Anwendungen

Boxplots werden verwendet, um Gruppen nebeneinander zu vergleichen, etwa Prüfungsergebnisse mehrerer Klassen, Lieferzeiten zweier Anbieter oder Messungen aus einem Experiment im Vergleich zu einer Kontrollgruppe. Da ein Boxplot eine ganze Verteilung auf fünf Zahlen verdichtet, können mehrere Boxplots in einem Diagramm angeordnet werden. Dadurch lassen sich Streuung und typische Werte zwischen Gruppen leichter vergleichen als mit einer Tabelle von Rohdaten.

Boxplots im Vergleich zu anderen Diagrammen

Ein Histogramm zeigt die vollständige Form einer Verteilung detaillierter, ist aber schwieriger zu verwenden, wenn viele Gruppen gleichzeitig verglichen werden sollen. Ein Violinplot ergänzt die Box um eine Dichtekurve und zeigt genauer, wo sich Werte häufen. Ein Streudiagramm zeigt die Beziehung zwischen zwei Variablen, was ein Boxplot nicht leisten kann. Die passende Wahl hängt davon ab, ob Gruppen verglichen werden sollen (Boxplot), die Form einer einzelnen Verteilung im Detail betrachtet werden soll (Histogramm oder Violinplot) oder eine Beziehung untersucht werden soll (Streudiagramm).

Historie

Der Statistiker John Tukey führte den Boxplot 1970 ein, und zwar in einer vorläufigen Ausgabe seines Buches Exploratory Data Analysis. Weithin bekannt wurde er, nachdem das Buch 1977 offiziell erschienen war. Tukey nannte seine Version ein schematisches Diagramm. Es verwendete bereits Zäune im 1,5-Fachen der Streuung der mittleren Hälfte der Daten und zeichnete Punkte jenseits davon einzeln als Ausreißer ein. Im Jahr 1978 beschrieben die Statistiker McGill, Tukey und Larsen eine gekerbte Variante, die ein Konfidenzintervall um den Median zeigt.

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird ein Boxplot verwendet? Er zeigt, wie eine Zahlenmenge gestreut ist, und kennzeichnet wahrscheinliche Ausreißer anhand von Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum. Besonders nützlich ist er zum Vergleich mehrerer Gruppen in einem Diagramm.

Wie liest man einen Boxplot? Die Box reicht von Q1 bis Q3 und umfasst die mittlere Hälfte der Daten. Die Linie innerhalb der Box ist der Median. Die Whisker reichen bis zu den extremsten Werten, die keine Ausreißer sind. Werte außerhalb der Whisker werden als separate Punkte dargestellt.

Wie erkennt man Ausreißer in einem Boxplot? Ein Wert ist ein Ausreißer, wenn er unter Q1 − 1,5 × IQR oder über Q3 + 1,5 × IQR liegt.

Was ist der Unterschied zwischen einem Boxplot und einem Histogramm? Ein Boxplot verdichtet eine Verteilung auf fünf Zahlen und Ausreißer. Dadurch ist er kompakt und gut zum Vergleich von Gruppen geeignet. Ein Histogramm zeigt die Häufigkeit von Werten über Wertebereiche hinweg und liefert mehr Details zur Form einer einzelnen Verteilung.

Kann dieser Rechner kleine Datenmengen verarbeiten? Dieser Rechner benötigt mindestens fünf Zahlen, um eine Fünfzahlensumme zu erstellen. Boxplots sind bei größeren Datenmengen aussagekräftiger, da eine Handvoll Werte nur wenig Aufschluss über Streuung oder Ausreißer gibt.

Was bedeutet es, wenn ein Boxplot schief aussieht? Liegt der Median näher bei Q1, haben die Daten am oberen Ende einen längeren Schwanz. Liegt er näher bei Q3, haben die Daten am unteren Ende einen längeren Schwanz.

Referenzen

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot. NIST e-Handbook: Boxplot — die Box umfasst die mittleren 50 % der Daten; bei Zäunen enden die Whisker an den extremsten Punkten innerhalb der inneren Zäune.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?. NIST e-Handbook: Ausreißer — innere Zäune bei Q1 − 1,5 × Interquartilsabstand und Q3 + 1,5 × Interquartilsabstand; Punkte jenseits davon sind Ausreißer.
3. Wickham, H. and Stryjewski, L. 40 years of boxplots (2011). 40 Jahre Boxplots (PDF) — Tukey führte den Boxplot 1970 ein und veröffentlichte ihn 1977 offiziell; sein schematisches Diagramm verwendete Zäune im 1,5-Fachen; der gekerbte Boxplot von McGill, Tukey und Larsen aus dem Jahr 1978 zeigt Konfidenzintervalle um den Median.