Z-Test-Rechner - Kostenloses statistisches Signifikanz-Tool

Was ist ein z-Test?

Ein z-Test ist ein statistischer Test, der prüft, ob sich ein Stichprobenmittelwert signifikant von einem bekannten Mittelwert der Grundgesamtheit unterscheidet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bereits bekannt ist. Er liefert eine einzige Zahl, den z-Wert, der zeigt, um wie viele Standardabweichungen der Stichprobenmittelwert vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt liegt. Forschende, Qualitätsprüfer und Analysten nutzen ihn, um zu beurteilen, ob ein beobachteter Unterschied wahrscheinlich real oder nur ein Zufallsergebnis ist.

Formel für den z-Test

Der z-Test berechnet einen z-Wert mit dieser Formel, der Teststatistik für den Fall, dass die Standardabweichung bekannt ist, wie sie im NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods angegeben ist:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ ist der Stichprobenmittelwert
• $\mu$ ist der Mittelwert der Grundgesamtheit
• $\sigma$ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit
• $n$ ist der Stichprobenumfang

Der untere Teil der Formel, $\sigma / \sqrt{n}$, heißt Standardfehler. Er gibt an, wie stark Stichprobenmittelwerte allein durch zufällige Stichprobenziehung voraussichtlich schwanken.

So berechnen Sie einen z-Test Schritt für Schritt

1. Bestimmen Sie den Stichprobenmittelwert ($\bar{x}$) aus den erhobenen Daten.
2. Ermitteln Sie den bekannten Mittelwert der Grundgesamtheit ($\mu$).
3. Ermitteln Sie die bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit ($\sigma$).
4. Zählen Sie den Stichprobenumfang ($n$) ab.
5. Ziehen Sie $\mu$ von $\bar{x}$ ab.
6. Teilen Sie $\sigma$ durch die Quadratwurzel aus $n$, um den Standardfehler zu erhalten.
7. Teilen Sie das Ergebnis von Schritt 5 durch das Ergebnis von Schritt 6. Die Antwort ist der z-Wert.

Rechenbeispiel

Eine Fabrik gibt an, dass ihre Schrauben im Durchschnitt 10 cm lang sind, bei einer Standardabweichung der Grundgesamtheit von 0,2 cm. Ein Prüfer misst 100 Schrauben und ermittelt einen Stichprobenmittelwert von 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Standardfehler: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

z-Wert: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Der z-Wert beträgt 2,5. Der Stichprobenmittelwert liegt 2,5 Standardfehler über dem Mittelwert der Grundgesamtheit.

So deuten Sie einen z-Wert

Ein z-Wert nahe 0 bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert nahe am Mittelwert der Grundgesamtheit liegt. Ein großer positiver oder negativer z-Wert bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert weit vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt ist, was auf einen echten Unterschied statt auf Zufall hindeutet.

Gängige kritische Werte der Normalverteilung für einen zweiseitigen Test:

• α = 0,10 (90 % Konfidenz): z = ±1,645
• α = 0,05 (95 % Konfidenz): z = ±1,96
• α = 0,01 (99 % Konfidenz): z = ±2,576

Liegt der berechnete z-Wert jenseits des kritischen Werts für das gewählte Signifikanzniveau, gilt das Ergebnis als statistisch signifikant, und die Nullhypothese (dass es keinen Unterschied gibt) wird verworfen.

Im Rechenbeispiel liegt z = 2,5 jenseits von ±1,96, sodass der Unterschied auf dem Niveau 0,05 statistisch signifikant ist. Der zweiseitige p-Wert für z = 2,5 beträgt etwa 1,24 %. Das heißt, die Chance, einen so großen Unterschied zu beobachten, liegt bei ungefähr 1 zu 80, wenn die wahre durchschnittliche Schraubenlänge tatsächlich 10 cm betrüge.

Wann ein z-Test verwendet wird

Ein z-Test ist geeignet, wenn:

• Die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist.
• Der Stichprobenumfang einigermaßen groß ist, in der Regel mehr als 30.
• Die Daten aus einer Zufallsstichprobe stammen.
• Die Grundgesamtheit normalverteilt ist oder die Stichprobe groß genug ist, damit der zentrale Grenzwertsatz greift.

Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt oder die Stichprobe klein, wird stattdessen ein t-Test verwendet. Der t-Test schätzt die Streuung aus der Stichprobe selbst und berücksichtigt die dadurch entstehende zusätzliche Unsicherheit.

z-Test und t-Test im Vergleich

Beide Tests messen, wie weit ein Stichprobenmittelwert von einem erwarteten Wert entfernt ist, in Einheiten des Standardfehlers. Der z-Test setzt voraus, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. Der t-Test schätzt diesen Wert aus der Stichprobe und verwendet eine breitere, vom Stichprobenumfang abhängige Verteilung, um die zusätzliche Unsicherheit zu berücksichtigen. In der Praxis wird der t-Test häufiger verwendet. Das NIST beschreibt den Fall, dass die Standardabweichung aus den Daten geschätzt werden muss, als den typischeren.

Praktische Anwendungen des z-Tests

• Qualitätskontrolle: Prüfung, ob eine Charge gefertigter Teile der Zielspezifikation entspricht.
• Medizinische Forschung: Vergleich des durchschnittlichen Ergebnisses einer Behandlungsgruppe mit einem bekannten Wert der Grundgesamtheit.
• Bildung: Vergleich der Testergebnisse einer Klasse mit einem landesweiten Durchschnitt.
• Finanzwesen: Prüfung, ob sich die Erträge eines Fonds von einem Vergleichsdurchschnitt unterscheiden.

Historie

Die Normalverteilung, auf der der z-Test beruht, wurde von Abraham de Moivre beschrieben, der sie 1733 als Näherung der Binomialverteilung verwendete. Carl Friedrich Gauß und Pierre-Simon Laplace entwickelten die Theorie Anfang der 1800er Jahre weiter. Formale Methoden des Hypothesentests, darunter die Verwendung von z-Werten und kritischen Werten zur Beurteilung der statistischen Signifikanz, wurden Anfang des 20. Jahrhunderts von Statistikern wie Ronald Fisher, Jerzy Neyman und Egon Pearson entwickelt.

Häufig gestellte Fragen

Worin unterscheiden sich ein z-Test und ein t-Test?

Ein z-Test setzt eine bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit voraus und funktioniert am besten mit großen Stichproben. Ein t-Test wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt werden muss; er funktioniert sowohl bei kleinen als auch bei großen Stichproben.

Welchen Stichprobenumfang braucht ein z-Test?

Ein Stichprobenumfang über 30 ist die übliche Faustregel. Darunter werden die Ergebnisse eines z-Tests unzuverlässig, und ein t-Test ist meist die bessere Wahl.

Was bedeutet ein z-Wert von 2,5?

Ein z-Wert von 2,5 bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert 2,5 Standardfehler über dem Mittelwert der Grundgesamtheit liegt. Das liegt jenseits des zweiseitigen kritischen Werts von ±1,96 für eine Konfidenz von 95 %, sodass der Unterschied auf diesem Niveau statistisch signifikant ist. Der zweiseitige p-Wert für z = 2,5 beträgt etwa 1,24 %.

Was ist ein p-Wert beim z-Test?

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, ein mindestens so extremes Ergebnis wie das beobachtete zu erhalten, wenn es tatsächlich keinen Unterschied zum Mittelwert der Grundgesamtheit gäbe. Ein kleinerer p-Wert ist ein stärkerer Beleg gegen die Nullhypothese. Ein p-Wert unter 0,05 wird üblicherweise als statistisch signifikant behandelt.

Was ist die Nullhypothese beim z-Test?

Die Nullhypothese besagt, dass es keinen Unterschied zwischen dem Stichprobenmittelwert und dem Mittelwert der Grundgesamtheit gibt. Der z-Test misst, wie viele Belege die Stichprobe gegen diese Aussage liefert.

Kann ein z-Test bei kleinen Stichproben verwendet werden?

Das wird nicht empfohlen. Bei einer kleinen Stichprobe oder einer unbekannten Standardabweichung der Grundgesamtheit liefert ein t-Test genauere Ergebnisse, weil er die zusätzliche Unsicherheit berücksichtigt, die mit der Schätzung der Streuung aus begrenzten Daten verbunden ist.

Referenzen

1. Nationales Institut für Standards und Technologie (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Abschnitt 7.2.2 "Are the data consistent with the assumed process mean?". NIST-e-Handbook 7.2.2 — z = (Ȳ − μ₀)/(σ/√N), wenn die Standardabweichung bekannt ist; die Schätzung aus den Daten ist der typischere Fall.
2. Nationales Institut für Standards und Technologie (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Abschnitt 1.3.6.7.1 "Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution". NIST-e-Handbook 1.3.6.7.1 — kritische Werte 1,282, 1,645, 1,960, 2,326 und 2,576; die Fläche von 0 bis 2,5 beträgt 0,49379.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. MacTutor: Abraham de Moivre — de Moivre leitete die Normalverteilungskurve 1733 als Näherung der Binomialverteilung her.