Z-Wert-Rechner - Standard-Score & Wahrscheinlichkeits-Tool

Was ist ein z-Wert?

Ein z-Wert, auch Standardwert genannt, gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert eines Datensatzes entfernt ist. Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht. Ein positiver z-Wert bedeutet, dass der Wert über dem Mittelwert liegt, ein negativer z-Wert, dass er darunter liegt.

Formel für den z-Wert

Der z-Wert eines Datenpunkts wird mit folgender Formel berechnet:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Dabei gilt:

• $z$ ist der z-Wert
• $x$ ist der Datenpunkt
• $\mu$ ist der Mittelwert des Datensatzes
• $\sigma$ ist die Standardabweichung des Datensatzes

Die Standardabweichung darf nicht null sein, da eine Division durch null kein definiertes Ergebnis hat. Sie darf auch nicht negativ sein, weil eine Standardabweichung per Definition immer null oder positiv ist.

So berechnet man einen z-Wert

1. Den Mittelwert des Datensatzes ermitteln, indem alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte, $n$, geteilt werden.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Die Standardabweichung ermitteln. Zuerst wird die Varianz berechnet, also der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Anschließend wird daraus die Quadratwurzel gezogen.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Dies ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit, bei der durch $n$ geteilt wird. Wenn die Zahlen eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe bilden, wird stattdessen durch $n - 1$ geteilt.

3. Den Mittelwert vom Datenpunkt subtrahieren und durch die Standardabweichung teilen.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Rechenbeispiel

Ein Schüler erreicht bei einem Test 85 Punkte. Der Klassenmittelwert beträgt 75, und die Standardabweichung der Klassenwerte beträgt 10.

• Datenpunkt: $x = 85$
• Mittelwert: $\mu = 75$
• Standardabweichung: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Der z-Wert des Schülers beträgt 1,0. Seine Punktzahl liegt eine Standardabweichung über dem Klassenmittelwert.

z-Wert und kumulative Wahrscheinlichkeit

Ein z-Wert kann in eine kumulative Wahrscheinlichkeit umgewandelt werden. Diese gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass ein zufällig ausgewählter Wert aus einer Normalverteilung an diesem Punkt oder darunter liegt. Sie entspricht der Fläche unter der Standardnormalverteilung links von $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Für den z-Wert des Schülers von 1,0 beträgt die kumulative Wahrscheinlichkeit etwa 0,8413 oder 84,13 %. Das bedeutet, dass der Schüler besser als ungefähr 84 % der Klasse abgeschnitten hat, sofern die Punktzahlen einer Normalverteilung folgen. Der Rechner zeigt den z-Wert mit vier Nachkommastellen und die kumulative Wahrscheinlichkeit als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Einige Vergleichswerte:

Einen z-Wert interpretieren

Die meisten Werte einer Normalverteilung liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen um den Mittelwert. z-Werte jenseits von +3 oder -3 sind selten und werden häufig als Ausreißer bezeichnet. Dabei handelt es sich um Werte, die sich deutlich vom Rest der Daten unterscheiden.

Mit z-Werten lassen sich außerdem Werte vergleichen, die auf unterschiedlichen Skalen gemessen wurden. Eine Testpunktzahl und eine Körpergröße können nicht direkt miteinander verglichen werden. Ihre z-Werte können jedoch verglichen werden, da beide die Entfernung von einem Mittelwert in denselben Einheiten der Standardabweichung beschreiben.

z-Wert und t-Wert im Vergleich

Ein z-Wert setzt voraus, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist, und eignet sich am besten für große Stichproben. Ein t-Wert wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt und die Stichprobe klein ist, typischerweise mit weniger als 30 Beobachtungen. Beide Werte beschreiben die Entfernung von einem Mittelwert. Ein t-Wert stammt jedoch aus der t-Verteilung, die aufgrund der zusätzlichen Unsicherheit bei einer kleinen Stichprobe breitere Randbereiche aufweist.

Häufige Anwendungen von z-Werten

• Standardisierte Tests. Die Rohpunktzahl eines Schülers mit der gesamten Verteilung der Punktzahlen vergleichen.
• Erkennung von Ausreißern. Datenpunkte markieren, die in einem Datensatz weit vom Mittelwert entfernt sind.
• Qualitätskontrolle. Prüfen, ob ein hergestelltes Produkt innerhalb eines zulässigen Bereichs liegt.
• Hypothesentests. z-Tests verwenden z-Werte, um zu beurteilen, ob sich ein Stichprobenmittelwert in relevantem Umfang von einem bekannten Mittelwert der Grundgesamtheit unterscheidet.

Geschichte

Der z-Wert baut auf der Normalverteilung auf, die Abraham de Moivre 1733 beschrieb und die im frühen 19. Jahrhundert von Carl Friedrich Gauß und Pierre-Simon Laplace weiterentwickelt wurde. Die Standardisierung von Werten in Einheiten der Standardabweichung wurde im 20. Jahrhundert bei psychologischen Tests und in der Qualitätskontrolle üblich.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein z-Wert in der Statistik?
Ein z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert seines Datensatzes entfernt ist. Er wird mit der Formel z = (x − μ) / σ berechnet.

Wie interpretiere ich das Ergebnis eines z-Werts?
Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht. Ein positiver Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter. Werte jenseits von +3 oder -3 sind ungewöhnlich.

Kann ein z-Wert negativ sein?
Ja. Ein negativer z-Wert bedeutet einfach, dass der Datenpunkt unter dem Mittelwert liegt. Ein z-Wert von -2 bedeutet, dass der Wert 2 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.

Was ist der Unterschied zwischen einem z-Wert und einem t-Wert?
Ein z-Wert wird bei großen Stichproben verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. Ein t-Wert wird bei kleinen Stichproben, im Allgemeinen mit weniger als 30 Beobachtungen, verwendet, wenn sie unbekannt ist.

Was bedeutet die kumulative Wahrscheinlichkeit bei einem z-Wert?
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig ausgewählter Wert aus einer Normalverteilung kleiner oder gleich dem angegebenen z-Wert ist. Sie entspricht der Fläche unter der Normalverteilung links von diesem Punkt.

Was geschieht, wenn die Standardabweichung null ist?
Der z-Wert ist nicht definiert, da die Formel eine Division durch null erfordern würde. Eine Standardabweichung von null bedeutet, dass alle Werte im Datensatz identisch sind.

Quellen

1. Standardwert, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normalverteilung und z-Werte, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review