Z-Wert-Rechner - Standard-Score & Wahrscheinlichkeits-Tool

Was ist ein z-Wert?

Ein z-Wert, auch Standardwert genannt, gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert eines Datensatzes entfernt ist. Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht. Ein positiver z-Wert bedeutet, dass der Wert über dem Mittelwert liegt, und ein negativer z-Wert, dass er darunter liegt.

Formel für den z-Wert

Der z-Wert eines Datenpunkts wird mit dieser Formel berechnet:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Dabei gilt:

• $z$ ist der z-Wert
• $x$ ist der Datenpunkt
• $\mu$ ist der Mittelwert des Datensatzes
• $\sigma$ ist die Standardabweichung des Datensatzes

Die Standardabweichung darf nicht null sein, weil die Division durch null kein definiertes Ergebnis hat. Sie darf auch nicht negativ sein, da eine Standardabweichung per Definition immer null oder positiv ist.

So berechnen Sie einen z-Wert

1. Bestimmen Sie den Mittelwert des Datensatzes, indem Sie alle Werte addieren und durch die Anzahl der Werte $n$ teilen.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Bestimmen Sie die Standardabweichung. Berechnen Sie zuerst die Varianz, also den Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, und ziehen Sie dann deren Quadratwurzel.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. Ziehen Sie den Mittelwert vom Datenpunkt ab und teilen Sie das Ergebnis durch die Standardabweichung.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Rechenbeispiel

Ein Schüler erreicht in einem Test 85 Punkte. Der Klassenmittelwert beträgt 75, und die Standardabweichung der Klassenergebnisse beträgt 10.

• Datenpunkt: $x = 85$
• Mittelwert: $\mu = 75$
• Standardabweichung: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Der z-Wert des Schülers beträgt 1,0. Sein Ergebnis liegt eine Standardabweichung über dem Klassendurchschnitt.

z-Wert und kumulative Wahrscheinlichkeit

Ein z-Wert lässt sich in eine kumulative Wahrscheinlichkeit umrechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Wert aus einer Normalverteilung höchstens so groß ist wie dieser Punkt. Das ist die Fläche unter der Standardnormalverteilungskurve links von $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Beim z-Wert des Schülers von 1,0 beträgt die kumulative Wahrscheinlichkeit etwa 0,8413 oder 84,1 %. Der Rechner zeigt den z-Wert mit vier Dezimalstellen und die Wahrscheinlichkeit als Prozentwert mit zwei Dezimalstellen an, sodass dieses Beispiel 1,0000 und 84,13 % ausgibt. Das heißt, der Schüler war besser als etwa 84 % der Klasse, sofern die Ergebnisse einer Normalverteilung folgen.

Einige Referenzwerte:

Einen z-Wert deuten

In einer Normalverteilung liegen etwa 95 % der Werte innerhalb von 2 Standardabweichungen um den Mittelwert und etwa 99,7 % innerhalb von 3. Das nennt man die empirische Regel oder die 68-95-99,7-Regel. z-Werte jenseits von +3 oder -3 sind daher selten und werden oft als mögliche Ausreißer geprüft, also als Werte, die stark vom Rest der Daten abweichen.

Mit z-Werten lassen sich außerdem Werte vergleichen, die auf verschiedenen Skalen gemessen wurden. Ein Testergebnis und eine Körpergröße lassen sich nicht direkt vergleichen, ihre z-Werte aber schon, denn beide beschreiben den Abstand zu einem Mittelwert in denselben Einheiten der Standardabweichung.

z-Wert und t-Wert im Vergleich

Ein z-Wert verwendet die Standardabweichung der Grundgesamtheit und setzt daher voraus, dass dieser Wert bekannt ist. Ein t-Wert wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe eingesetzt wird. Nach einer älteren Faustregel wurde die t-Verteilung nur bei Stichproben von 30 oder weniger verwendet, doch heute verwendet man sie immer dann, wenn die Standardabweichung der Stichprobe den Wert der Grundgesamtheit schätzt. Die t-Verteilung hat dickere Ränder als die Normalverteilung, was die zusätzliche Unsicherheit berücksichtigt.

Häufige Anwendungen von z-Werten

• Standardisierte Tests. Vergleich des Rohwerts eines Schülers mit der Gesamtverteilung der Ergebnisse.
• Ausreißererkennung. Kennzeichnung von Datenpunkten, die in einem Datensatz weit vom Mittelwert entfernt liegen.
• Qualitätskontrolle. Prüfung, ob ein gefertigtes Teil innerhalb eines zulässigen Bereichs liegt.
• Hypothesentests. z-Tests nutzen z-Werte, um zu beurteilen, ob sich ein Stichprobenmittelwert bedeutsam von einem bekannten Mittelwert der Grundgesamtheit unterscheidet.

Historie

Der z-Wert baut auf der Normalverteilung auf. Abraham de Moivre leitete die Normalverteilungskurve 1733 her, und zwar als Näherung der Binomialverteilung. Carl Friedrich Gauß und Pierre-Simon Laplace entwickelten sie weiter.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein z-Wert in der Statistik? Ein z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert seines Datensatzes entfernt ist. Er wird mit der Formel z = (x − μ) / σ berechnet.

Wie deute ich das Ergebnis eines z-Werts? Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht. Ein positiver Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter. Werte jenseits von +3 oder -3 sind ungewöhnlich.

Kann ein z-Wert negativ sein? Ja. Ein negativer z-Wert bedeutet einfach, dass der Datenpunkt unter dem Mittelwert liegt. Ein z-Wert von -2 bedeutet, dass der Wert 2 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.

Worin unterscheiden sich ein z-Wert und ein t-Wert? Ein z-Wert wird verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. Ein t-Wert wird verwendet, wenn sie nicht bekannt ist und stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe eingesetzt wird, unabhängig vom Stichprobenumfang.

Was bedeutet kumulative Wahrscheinlichkeit bei einem z-Wert? Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Wert aus einer Normalverteilung kleiner oder gleich dem gegebenen z-Wert ist. Sie entspricht der Fläche unter der Normalverteilungskurve links von diesem Punkt.

Was geschieht, wenn die Standardabweichung null ist? Der z-Wert ist nicht definiert, weil die Formel eine Division durch null erfordern würde. Eine Standardabweichung von null bedeutet, dass alle Werte im Datensatz gleich sind.

Referenzen

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. Die Standardnormalverteilung — die z-Wert-Formel z = (x − μ)/σ und die empirische 68-95-99,7-Regel.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Standardnormalverteilungstabelle — Fläche unter der Normalverteilungskurve von 0 bis z (0,34134 bei z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. Studentsche t-Verteilung — wann t statt z zu verwenden ist, und ihre dickeren Ränder.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. Biografie von Abraham de Moivre — de Moivres Herleitung der Normalverteilungskurve im Jahr 1733.