Rohwert-Rechner - Z-Wert in Originalwert umwandeln

Was ist ein Rohwert?

Ein Rohwert ist der ursprüngliche, nicht standardisierte Wert in einem Datensatz, zum Beispiel ein Testergebnis in Punkten oder eine gemessene Länge in Millimetern. Ein Rohwert-Rechner wandelt einen standardisierten z-Wert mithilfe von Mittelwert und Standardabweichung des Datensatzes zurück in diesen ursprünglichen Wert. Diese Seite erklärt die Formel, zeigt Rechenbeispiele und beantwortet häufige Fragen zu Rohwerten.

Formel für den Rohwert

Der Rohwert $x$ wird mit dieser Formel aus einem z-Wert berechnet:

$$x = \mu + z \times \sigma$$

Dabei gilt:

• $x$ = Rohwert (der ursprüngliche Wert)
• $\mu$ = Mittelwert des Datensatzes
• $\sigma$ = Standardabweichung des Datensatzes
• $z$ = z-Wert (um wie viele Standardabweichungen $x$ vom Mittelwert entfernt liegt)

Diese Formel ist die Umkehrung der Standardformel für den z-Wert, $z = (x - \mu) / \sigma$. Statt einen Rohwert in einen z-Wert umzuwandeln, wandelt sie einen z-Wert zurück in einen Rohwert.

So berechnen Sie einen Rohwert aus einem z-Wert

1. Bestimmen Sie den Mittelwert ($\mu$) des Datensatzes.
2. Bestimmen Sie die Standardabweichung ($\sigma$), die angibt, wie stark die Daten streuen.
3. Nehmen Sie den z-Wert ($z$), also die Anzahl der Standardabweichungen, die der Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Ein positiver z-Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter.
4. Multiplizieren Sie den z-Wert mit der Standardabweichung und addieren Sie dann den Mittelwert: $x = \mu + z \times \sigma$.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Testergebnis

Eine Klasse schreibt einen Test mit einem mittleren Ergebnis von 80 und einer Standardabweichung von 5. Ein Schüler erreichte einen z-Wert von 1,2. Wie hoch war der Rohwert des Schülers?

$$x = 80 + 1.2 \times 5 = 86$$

Der Rohwert des Schülers betrug 86.

Beispiel 2: Messung in der Fertigung

Eine Fabrik misst ein Teil mit einer mittleren Länge von 150 mm und einer Standardabweichung von 2 mm. Ein Teil hat einen z-Wert von −1,5. Wie lang ist es tatsächlich?

$$x = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$$

Das Teil misst 147 mm.

Zulässige Eingabebereiche

Der Rechner auf dieser Seite verlangt:

• Eine Standardabweichung größer als 0 (eine Standardabweichung von null oder weniger ist mathematisch nicht zulässig).
• Eine Standardabweichung von höchstens 1.000.000.
• Einen Mittelwert zwischen −1.000.000 und 1.000.000.
• Einen z-Wert zwischen −10 und 10.

Die meisten z-Werte in der Praxis liegen zwischen −3 und 3, denn dieser Bereich umfasst bei einer Normalverteilung etwa 99,7 % der Werte. Ein z-Wert außerhalb dieses Bereichs kennzeichnet einen seltenen Extremwert.

Wo Rohwerte verwendet werden

• Bildung. Standardisierte Tests geben z-Werte oder skalierte Werte an; die Rückrechnung in einen Rohwert zeigt die tatsächliche Zahl der Punkte oder richtig beantworteten Fragen.
• Psychologie. IQ-Tests und andere Testverfahren werden standardisiert und dann in Rohwerte umgerechnet, um die Ergebnisse einer Person über die Zeit zu verfolgen.
• Fertigung. Die Qualitätskontrolle misst Teile gegen einen Zielmittelwert und markiert solche mit auffälligem z-Wert, bevor sie den Rohmesswert zur Prüfung ausgibt.
• Finanzwesen. Standardisierte Risiko- oder Leistungskennzahlen werden für die Berichterstattung in echte Geldbeträge oder Renditeprozentsätze zurückgerechnet.

Verwandte statistische Werte

• Das Perzentil gibt den Rang eines Wertes in einem Datensatz auf einer Skala von 0–100 an.
• Der T-Wert ist mit einem Mittelwert von 50 und einer Standardabweichung von 10 standardisiert und in der Psychologie verbreitet.
• Die Stanine ist eine neunstufige Skala, die in der Bildung verwendet wird.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Rohwert und einem z-Wert?

Ein Rohwert ist der ursprüngliche Wert in seinen natürlichen Einheiten, etwa Punkten oder Millimetern. Ein z-Wert ist derselbe Wert, ausgedrückt als Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen. Die Formel $x = \mu + z \times \sigma$ rechnet einen z-Wert zurück in einen Rohwert um.

Wie finde ich einen Rohwert aus einem Perzentil?

Rechnen Sie das Perzentil zuerst mithilfe einer Standardnormalverteilungstabelle in einen z-Wert um. Wenden Sie dann die Formel für den Rohwert an. Zum Beispiel liegt das 84. Perzentil nahe bei einem z-Wert von 1,0.

Kann ein Rohwert negativ sein?

Ja. Enthalten die zugrunde liegenden Daten negative Werte, etwa Temperaturänderungen oder Gewinn und Verlust, kann auch der Rohwert negativ sein.

Welcher Rohwert entspricht einem z-Wert von 0?

Ein z-Wert von 0 ergibt immer einen Rohwert, der dem Mittelwert entspricht, denn $x = \mu + 0 \times \sigma = \mu$.

Funktioniert die Formel für den Rohwert auch bei nicht normalverteilten Daten?

Die Formel selbst funktioniert für jeden Datensatz mit einem definierten Mittelwert und einer definierten Standardabweichung. Die übliche Deutung eines z-Werts, etwa „rund 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert“, setzt jedoch voraus, dass die Daten normalverteilt sind. Bei stark schiefen Daten gilt diese Deutung nicht, auch wenn die Rechnung weiterhin stimmt.

Wie genau ist das Ergebnis?

Die Berechnung besteht nur aus einer einfachen Multiplikation und Addition, daher ist das Ergebnis für die eingegebenen Zahlen exakt. Die Genauigkeit wird nur dadurch begrenzt, wie genau Mittelwert, Standardabweichung und z-Wert bekannt sind.

Referenzen

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. Die Standardnormalverteilung – die Formel für den z-Wert $z = (x - \mu)/\sigma$, ihre Umkehrung $x = \mu + z\sigma$ und die empirische Regel (etwa 68 %, 95 % und 99,7 % der Werte innerhalb von einer, zwei und drei Standardabweichungen).