T-Test Rechner - Kostenloses Online-Tool für statistische Analyse

Was ist ein t-Test?

Ein t-Test ist ein statistisches Verfahren, das prüft, ob sich der Mittelwert einer Zahlenreihe bedeutsam von einem anderen Mittelwert oder von einem festen Wert unterscheidet. Er wird auch Student-t-Test genannt. Forschende setzen ihn ein, um zwei Gruppen zu vergleichen, etwa eine Behandlungsgruppe und eine Kontrollgruppe, oder um eine Gruppe mit einem bekannten Standard zu vergleichen.

Der Test liefert eine Zahl, die t-Statistik. Liegt die t-Statistik weit von null entfernt, spricht das dafür, dass sich die Mittelwerte tatsächlich unterscheiden. Liegt sie nahe bei null, könnte ein Unterschied auch bloßer Zufall sein.

Arten von t-Tests

Dieser Rechner unterstützt drei Arten von t-Tests.

• Einstichproben-t-Test: vergleicht den Mittelwert einer Stichprobe mit einem bekannten oder angenommenen Wert.
• Zweistichproben-t-Test: vergleicht die Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben, etwa zweier getrennter Personengruppen. Dieser Rechner verwendet den Welch-Test, der nicht voraussetzt, dass die beiden Gruppen gleich stark streuen.
• t-Test für gepaarte Stichproben: vergleicht zwei Messreihen, die an denselben Versuchspersonen erhoben wurden, etwa Werte vor und nach einer Behandlung.

So verwenden Sie diesen t-Test-Rechner

1. Wählen Sie eine Testart: Einstichproben-, Zweistichproben- oder gepaarter Test.
2. Geben Sie die Daten ein.
   • Einstichproben-Test: Geben Sie die Stichprobenwerte durch Kommas getrennt sowie den Mittelwert der Grundgesamtheit ein, gegen den getestet wird.
   • Zweistichproben-Test: Geben Sie beide Stichproben als getrennte, durch Kommas getrennte Listen ein.
   • Gepaarter Test: Geben Sie die Paare in der Form (x1,y1), (x2,y2) usw. ein.
3. Legen Sie ein Signifikanzniveau fest, üblicherweise 0,05.
4. Wählen Sie „Berechnen“, um die t-Statistik, die Freiheitsgrade und den p-Wert anzuzeigen.

Um die Signifikanz zu beurteilen, vergleichen Sie den p-Wert mit dem Signifikanzniveau. Ist der p-Wert kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau, gilt der Unterschied als statistisch signifikant.

Formel des t-Tests

Formel des Einstichproben-t-Tests

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ ist der Stichprobenmittelwert, $\mu_0$ der Wert, gegen den getestet wird, $s$ die Standardabweichung der Stichprobe und $n$ der Stichprobenumfang. Freiheitsgrade: $df = n - 1$.

Formel des Zweistichproben-t-Tests (Welch-Test)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Die Freiheitsgrade ergeben sich aus der Welch-Satterthwaite-Gleichung:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Diese Formel liefert meist einen Freiheitsgrad, der keine ganze Zahl ist.

Formel des t-Tests für gepaarte Stichproben

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ ist der Mittelwert der Differenzen innerhalb jedes Paares, $s_d$ die Standardabweichung dieser Differenzen und $n$ die Anzahl der Paare. Freiheitsgrade: $df = n - 1$.

So berechnen Sie einen t-Test: Beispiel

Ein Hersteller behauptet, dass eine Batterie durchschnittlich 50 Stunden hält. Ein Prüfer testet neun Batterien und erfasst diese Lebensdauern in Stunden:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Schritt 1: Hypothesen aufstellen. Nullhypothese: Der wahre Mittelwert beträgt 50 Stunden. Alternativhypothese: Der wahre Mittelwert beträgt nicht 50 Stunden.

Schritt 2: Stichprobenmittelwert bestimmen.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Schritt 3: Standardabweichung der Stichprobe bestimmen. Die Abweichungen vom Mittelwert sind 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Quadriert ergeben sie 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, die zusammen 30 ergeben.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Schritt 4: t-Statistik bestimmen.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Schritt 5: Freiheitsgrade bestimmen.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Schritt 6: p-Wert bestimmen. Bei $t = 0$ und $df = 8$ beträgt der zweiseitige p-Wert 1,00.

Schritt 7: Schlussfolgerung ziehen. Da 1,00 größer ist als 0,05, gibt es nicht genügend Belege dafür, dass sich die durchschnittliche Batterielebensdauer von 50 Stunden unterscheidet.

Voraussetzungen des t-Tests

Ein t-Test liefert nur dann verlässliche Ergebnisse, wenn einige Bedingungen annähernd erfüllt sind.

• Normalverteilung: Die Daten sollten ungefähr glockenförmig verteilt sein, besonders bei kleinen Stichproben.
• Unabhängigkeit: Jede Beobachtung sollte keine andere Beobachtung beeinflussen.
• Zufallsstichprobe: Die Daten sollten aus einer Zufallsstichprobe der untersuchten Grundgesamtheit stammen.

Beim t-Test für gepaarte Stichproben gelten diese Bedingungen für die Differenzen zwischen den Paaren, nicht für die Rohwerte. Bei größeren Stichproben, grob ab 30, bleibt ein t-Test meist auch dann genau, wenn die Daten nicht perfekt glockenförmig verteilt sind; Grund dafür ist eine statistische Eigenschaft, der zentrale Grenzwertsatz.

Alternativen zum t-Test

Treffen die oben genannten Voraussetzungen nicht zu, können stattdessen andere Tests verwendet werden.

• Mann-Whitney-U-Test: eine nichtparametrische Alternative zum Zweistichproben-t-Test.
• Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test: eine nichtparametrische Alternative zum t-Test für gepaarte Stichproben.
• ANOVA: vergleicht die Mittelwerte von drei oder mehr Gruppen gleichzeitig statt nur von zwei.

Geschichte des t-Tests

William Sealy Gosset entwickelte den t-Test im Jahr 1908, als er als Chemiker in der Guinness-Brauerei in Dublin arbeitete. Guinness erlaubte seinen Angestellten nicht, Forschungsergebnisse unter eigenem Namen zu veröffentlichen, deshalb benutzte Gosset das Pseudonym „Student“. Aus diesem Grund wird das Verfahren oft Student-t-Test genannt. Er entwickelte ihn, um zu beurteilen, ob kleine Chargen von Braurohstoffen die Qualitätsanforderungen erfüllten, wobei er jeweils nur eine Handvoll Proben zur Verfügung hatte.

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird ein t-Test verwendet?

Ein t-Test prüft, ob sich der Mittelwert einer Stichprobe signifikant von einem anderen Mittelwert oder von einem festen Wert unterscheidet. Er ist in Medizin, Psychologie, Bildungsforschung und Wirtschaftsforschung verbreitet.

Wann sollte ich einen Einstichproben-, Zweistichproben- oder gepaarten t-Test verwenden?

Verwenden Sie einen Einstichproben-t-Test, um einen Stichprobenmittelwert mit einem bekannten Wert zu vergleichen. Verwenden Sie einen Zweistichproben-t-Test, um zwei getrennte, voneinander unabhängige Gruppen zu vergleichen. Verwenden Sie einen t-Test für gepaarte Stichproben, wenn dieselben Versuchspersonen zweimal gemessen werden, etwa vor und nach einer Behandlung.

Was ist der Unterschied zwischen einem t-Test und einem z-Test?

Ein t-Test wird verwendet, wenn die Stichprobe klein oder die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist. Ein z-Test wird bei großen Stichproben verwendet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. In der Praxis wird der t-Test weit häufiger eingesetzt, weil die Standardabweichung der Grundgesamtheit selten im Voraus bekannt ist.

Wie interpretiere ich den p-Wert eines t-Tests?

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, einen so großen oder noch größeren Unterschied zu beobachten, wenn tatsächlich kein echter Unterschied bestünde. Ein kleiner p-Wert, üblicherweise höchstens 0,05, deutet darauf hin, dass der beobachtete Unterschied wahrscheinlich nicht allein auf Zufall beruht.

Was ist der Welch-Test?

Der Welch-Test ist eine Variante des Zweistichproben-t-Tests, die nicht voraussetzt, dass die beiden Gruppen gleiche Varianz haben. Dieser Rechner verwendet für Zweistichproben-Tests immer das Welch-Verfahren, da es genau bleibt, unabhängig davon, ob die beiden Gruppen gleich stark streuen.

Was sind Freiheitsgrade bei einem t-Test?

Die Freiheitsgrade sind eine vom Stichprobenumfang abhängige Zahl, die die genaue Form der t-Verteilung festlegt, aus der der p-Wert bestimmt wird. Bei einem Einstichproben-t-Test oder einem t-Test für gepaarte Stichproben entsprechen die Freiheitsgrade dem Stichprobenumfang minus 1. Der Zweistichproben-t-Test nach Welch verwendet eine Formel, die meist einen Wert ergibt, der keine ganze Zahl ist.

Referenzen

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.2 Confidence Limits for the Mean. NIST-e-Handbuch 1.3.5.2 — Teststatistik beim Einstichprobentest T = (Ȳ − μ₀)/(s/√N) mit N − 1 Freiheitsgraden.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.3 Two-Sample t-Test for Equal Means. NIST-e-Handbuch 1.3.5.3 — Teststatistik bei ungleichen Varianzen und Welch-Satterthwaite-Freiheitsgrade.
3. University of St Andrews, MacTutor History of Mathematics. Gosset, William Sealy [pseud. Student]. MacTutor: Gosset — Gosset arbeitete für Guinness, durfte nicht unter eigenem Namen veröffentlichen und veröffentlichte seine Arbeit über den wahrscheinlichen Fehler des Mittelwerts 1908 in Biometrika unter dem Namen Student.