Kritischer Wert Rechner | Z-Test, t-Test, Chi-Quadrat-Test

Ein kritischer Wert ist der Grenzwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, der in einem Hypothesentest den Rand des „Ablehnungsbereichs“ markiert. Liegt eine Teststatistik jenseits des kritischen Werts, wird das Ergebnis als statistisch signifikant beurteilt und die Nullhypothese verworfen. Dieser Rechner ermittelt kritische Werte für die drei häufigsten Tests: den Z-Test, den t-Test und den Chi-Quadrat-Test.

Was ist ein kritischer Wert?

In der Statistik gehen Forschende häufig von einer Nullhypothese aus, also von der einfachen Annahme, dass nichts Ungewöhnliches geschieht (zum Beispiel, dass ein neues Medikament keine Wirkung hat). Aus Stichprobendaten wird eine Teststatistik berechnet und mit einem kritischen Wert verglichen, um zu entscheiden, ob die Daten genügend Belege gegen die Nullhypothese liefern.

Der kritische Wert hängt von drei Dingen ab: der Wahl des Tests, dem Signifikanzniveau (geschrieben als α, dem griechischen Buchstaben Alpha) und davon, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist. Das Signifikanzniveau ist die Wahrscheinlichkeit, eine tatsächlich zutreffende Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen; häufig wird es auf 0,05 (5 %) oder 0,01 (1 %) festgelegt.

Ein einseitiger Test prüft auf einen Effekt in nur eine Richtung, etwa „größer als“. Er hat einen kritischen Wert. Ein zweiseitiger Test prüft auf einen Effekt in beide Richtungen und hat zwei kritische Werte, jeweils einen auf jeder Seite der Verteilung.

Wie wird ein kritischer Wert berechnet?

1. Den Test auswählen: Z-Test (große Stichproben oder bekannte Populationsvarianz), t-Test (kleine Stichproben mit unbekannter Varianz) oder Chi-Quadrat-Test (kategoriale Daten oder Anpassungstest).
2. Die Art der Testung auswählen: einseitig oder zweiseitig.
3. Das Signifikanzniveau α auswählen, eine Zahl zwischen 0 und 1. Häufig verwendet werden 0,10, 0,05 und 0,01.
4. Für einen t-Test oder Chi-Quadrat-Test die Freiheitsgrade (df) eingeben. Bei einem t-Test entspricht df der Stichprobengröße minus 1. Bei einem Chi-Quadrat-Anpassungstest entspricht df der Anzahl der Kategorien minus 1.
5. Den Wert nachschlagen (oder berechnen), der den gewählten Randbereich unter der Verteilungskurve abgrenzt. Das ist der kritische Wert.

Formeln für kritische Werte

Jede Formel verwendet die Umkehrfunktion einer kumulativen Verteilungsfunktion: den Wert von x, für den die Fläche unter der Kurve bis x einer Zielwahrscheinlichkeit p entspricht.

Formel für den Z-Test

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(einseitig)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(zweiseitig)}$

Φ⁻¹ ist die Umkehrfunktion der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Formel für den t-Test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(einseitig)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(zweiseitig)}$

t⁻¹(p, df) ist die Umkehrfunktion der kumulativen Verteilungsfunktion der t-Verteilung mit df Freiheitsgraden.

Formel für den Chi-Quadrat-Test

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(einseitig)}$ $\chi^2_{\text{untere Grenze}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{obere Grenze}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(zweiseitig)}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung nimmt nur positive Werte an. Daher sind beide kritischen Werte positiv, und der untere ist kleiner als der obere.

Beispiel: Kritischer Wert beim Z-Test

Ein Team der Qualitätskontrolle benötigt bei α = 0,05 den kritischen Wert für einen einseitigen Z-Test.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Jede Teststatistik über 1,6449 liegt im Ablehnungsbereich.

Beispiel: Kritischer Wert beim t-Test

Ein Forschender führt ein Experiment mit 20 Teilnehmenden durch, daher gilt df = 19. Gesucht ist ein zweiseitiger kritischer Wert bei α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Die Ablehnungsbereiche sind t < -2,8609 und t > 2,8609.

Beispiel: Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung

Eine Analyse vergleicht beobachtete und erwartete Häufigkeiten über 5 Kategorien hinweg; daher gilt df = 4. Gesucht sind zweiseitige kritische Werte bei α = 0,05.

$\chi^2_{\text{untere Grenze}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{obere Grenze}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Eine Chi-Quadrat-Statistik unter 0,4844 oder über 11,1433 läge im Ablehnungsbereich.

Häufige kritische Werte

Mit zunehmenden Freiheitsgraden nähern sich die kritischen Werte der t-Verteilung den entsprechenden Werten des Z-Tests an, da sich die t-Verteilung der Normalverteilung annähert.

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird ein kritischer Wert verwendet? Er legt die Grenze dafür fest, ob eine Teststatistik extrem genug ist, um die Nullhypothese zu verwerfen. Überschreitet die Statistik den kritischen Wert, ist das Ergebnis beim gewählten α-Niveau statistisch signifikant.

Was ist der Unterschied zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen kritischen Wert? Ein einseitiger Test sucht nach einem Effekt in eine Richtung und hat einen einzelnen kritischen Wert. Ein zweiseitiger Test sucht nach einem Effekt in beide Richtungen und hat zwei kritische Werte, die beim Z-Test und beim t-Test symmetrisch um die Mitte angeordnet sind. Bei gleichem α ist ein zweiseitiger kritischer Wert betragsmäßig größer als ein einseitiger, weil dieselbe Gesamtwahrscheinlichkeit auf zwei statt auf einen Randbereich verteilt wird.

Wann sollte ein Z-Test statt eines t-Tests verwendet werden? Ein Z-Test wird verwendet, wenn die Populationsvarianz bekannt oder die Stichprobe groß ist, typischerweise mit 30 oder mehr Beobachtungen. Ein t-Test wird für kleinere Stichproben mit unbekannter Populationsvarianz verwendet. Mit zunehmender Stichprobengröße nähern sich die kritischen Werte des t-Tests den kritischen Werten des Z-Tests an.

Kann ein kritischer Wert negativ sein? Ja. Die Verteilungen des Z-Tests und des t-Tests sind symmetrisch um null, daher hat ein zweiseitiger Test einen negativen und einen positiven kritischen Wert. Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung sind immer positiv, da die Chi-Quadrat-Verteilung nur für Werte ab null definiert ist.

Wie beeinflussen Freiheitsgrade einen kritischen Wert? Freiheitsgrade geben an, wie viele unabhängige Informationen in den Daten enthalten sind; in der Regel entsprechen sie der Stichprobengröße minus der Anzahl bereits geschätzter Parameter. Weniger Freiheitsgrade führen zu breiteren Verteilungen mit schwereren Randbereichen und größeren kritischen Werten. Mit mehr Freiheitsgraden nähern sich die t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung der Normalverteilung an.

Welcher kritische Wert entspricht einem Konfidenzniveau von 95 %? Ein Konfidenzniveau von 95 % verwendet α = 0,05. Bei einem zweiseitigen Z-Test lauten die kritischen Werte ±1,9600. Bei einem einseitigen Z-Test beträgt der kritische Wert 1,6449.

Historie

Karl Pearson führte den Chi-Quadrat-Test im Jahr 1900 ein. William Sealy Gosset entwickelte unter dem Namen „Student“ im Jahr 1908 die t-Verteilung, um kleine Stichproben in der Guinness-Brauerei zu bearbeiten. Ronald Fisher formalisierte in den 1920er-Jahren in seinem Buch Statistical Methods for Research Workers die Signifikanzprüfung und kritische Werte. Vor dem Zeitalter der Computer schlugen Forschende kritische Werte in gedruckten Tabellen nach; Rechner und Software berechnen sie heute direkt anhand der Verteilungsformeln.

Referenzen

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.“ Philosophical Magazine, Reihe 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, „Critical Values“.