Γραφικός Παραστάτης Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων - Απεικόνιση Ημιτόνου, Συνημιτόνου, Εφαπτομένης

Τι είναι ένα εργαλείο σχεδίασης γραφημάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων;

Ο γραφιστής τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι ένα εργαλείο που σχεδιάζει την καμπύλη μιας συνάρτησης ημιτόνου, συνημιτόνου ή εφαπτομένης και επιτρέπει στον χρήστη να αλλάξει το σχήμα της προσαρμόζοντας μερικούς αριθμούς, που ονομάζονται παράμετροι. Μετακινώντας ένα ρυθμιστικό, το γράφημα επανασχεδιάζεται αμέσως, διευκολύνοντας την παρατήρηση του τρόπου με τον οποίο αλλάζουν το πλάτος, η συχνότητα και η μετατόπιση φάσης του κύματος.

Οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη προκύπτουν από τους λόγους των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Σε έναν κύκλο με ακτίνα 1 και κέντρο την αρχή των αξόνων (τον μοναδιαίο κύκλο), το sin(x) είναι το ύψος ενός σημείου υπό γωνία x και το cos(x) είναι η οριζόντια θέση αυτού του σημείου. Η εφαπτομένη είναι ο λόγος sin(x) / cos(x).

Το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση: sin(−x) = −sin(x). Το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση: cos(−x) = cos(x). Το συνημίτονο είναι απλώς το ημίτονο μετατοπισμένο προς τα αριστερά κατά π/2 ακτίνια (90 μοίρες).

Η εφαπτομένη έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες: ευθείες τις οποίες η καμπύλη πλησιάζει όλο και περισσότερο, χωρίς όμως να τις αγγίζει ποτέ. Βρίσκονται στα x = π/2 + nπ, όπου το n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος. Εφόσον tan(x) = sin(x) / cos(x) και το cos(x) ισούται με 0 σε αυτά τα σημεία, ο λόγος δεν ορίζεται εκεί.

Τύπος τριγωνομετρικής συνάρτησης

Ο γραφιστής σχεδιάζει συναρτήσεις της μορφής:

f(x) = A sin(Bx + C)

Η ίδια μορφή χρησιμοποιείται για το συνημίτονο και την εφαπτομένη, με το sin να αντικαθίσταται από cos ή tan. Κάθε γράμμα είναι μια παράμετρος που μπορεί να ρυθμιστεί:

• A (πλάτος) καθορίζει το ύψος του κύματος, μετρούμενο από την κεντρική γραμμή του έως μια κορυφή. Ο γραφιστής επιτρέπει τιμές από 0,1 έως 5 για το ημίτονο και το συνημίτονο, και από 0,1 έως 2 για την εφαπτομένη.
• B (συχνότητα) καθορίζει πόσοι πλήρεις κύκλοι χωρούν σε ένα τμήμα του άξονα x. Μεγαλύτερη τιμή του B συμπιέζει το κύμα. Ο γραφιστής επιτρέπει τιμές από 0,1 έως 5.
• C (μετατόπιση φάσης) μετακινεί ολόκληρη την καμπύλη προς τα αριστερά ή τα δεξιά χωρίς να αλλάζει το σχήμα της. Ο γραφιστής επιτρέπει τιμές από −π έως π, περίπου από −3,14 έως 3,14.

Μια θετική μετατόπιση φάσης μετακινεί το γράφημα προς τα αριστερά· μια αρνητική το μετακινεί προς τα δεξιά.

Πώς χρησιμοποιείται ο γραφιστής τριγωνομετρικών συναρτήσεων

1. Επιλέξτε μια συνάρτηση — ημίτονο, συνημίτονο ή εφαπτομένη — από το μενού επιλογής.
2. Μετακινήστε το ρυθμιστικό του πλάτους για να αλλάξετε το ύψος του κύματος.
3. Μετακινήστε το ρυθμιστικό της συχνότητας για να συμπιέσετε ή να τεντώσετε το κύμα.
4. Μετακινήστε το ρυθμιστικό της μετατόπισης φάσης για να μετακινήσετε την καμπύλη οριζόντια.
5. Διαβάστε τον τύπο που εμφανίζεται κάτω από τα ρυθμιστικά και πατήστε «Αντιγραφή» για να τον αντιγράψετε ως κείμενο.

Το γράφημα ενημερώνεται μόλις μετακινηθεί ένα ρυθμιστικό. Για την εφαπτομένη, εμφανίζονται μικρά κενά στη γραμμή σε κάθε ασύμπτωτη. Αυτό είναι αναμενόμενο και δεν αποτελεί σφάλμα.

Έλεγχος των ορίων των ρυθμιστικών

Για να δείτε πόσο ψηλό μπορεί να γίνει ένα κύμα, θέστε το πλάτος στη μέγιστη τιμή που επιτρέπει το εργαλείο: 5 για το ημίτονο ή το συνημίτονο, 2 για την εφαπτομένη. Για να δείτε ένα κύμα σχεδόν επίπεδο, θέστε τη συχνότητα στη χαμηλότερη τιμή της, 0,1. Η αλλαγή ενός ρυθμιστικού κάθε φορά διευκολύνει τον εντοπισμό της παραμέτρου που προκάλεσε κάθε αλλαγή.

Πώς υπολογίζεται μια τιμή με το χέρι

Έστω συνάρτηση ημιτόνου με πλάτος A = 2, συχνότητα B = 3 και μετατόπιση φάσης C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Για να βρείτε το f(π/6), υπολογίστε πρώτα τη γωνία μέσα στο ημίτονο:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Στη συνέχεια υπολογίστε το ημίτονο και πολλαπλασιάστε με το πλάτος:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Πού εμφανίζονται τα τριγωνομετρικά κύματα

Πολλά φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με ομαλό μοτίβο μπρος-πίσω ακολουθούν καμπύλη κοντά σε ημιτονοειδές κύμα: ο ήχος, το εναλλασσόμενο ηλεκτρικό ρεύμα, οι παλίρροιες, η αιώρηση ενός εκκρεμούς και η διάρκεια της ημέρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν το ημίτονο και το συνημίτονο για να περιγράψουν και να προβλέψουν τέτοια μοτίβα. Οι δημιουργοί κινούμενων γραφικών χρησιμοποιούν τις ίδιες καμπύλες για να κάνουν την κίνηση να φαίνεται ομαλή, όπως σε έναν κύκλο βάδισης με αναπήδηση ή σε μια ομαλή κίνηση κάμερας.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης;

Το ημίτονο και το συνημίτονο κυμαίνονται και τα δύο μεταξύ −1 και 1 με περίοδο 2π, αλλά το συνημίτονο φτάνει σε κάθε σημείο του κύκλου του κατά ένα τέταρτο της περιστροφής (π/2) νωρίτερα από το ημίτονο. Η εφαπτομένη ισούται με το ημίτονο διαιρεμένο με το συνημίτονο. Έχει περίοδο π, δεν είναι φραγμένη και έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες όπου το συνημίτονο ισούται με 0.

Τι ελέγχει το πλάτος;

Το πλάτος (A) καθορίζει πόσο εκτείνεται το κύμα πάνω και κάτω από τη μεσογραμμή του. Σε αυτόν τον γραφιστή κυμαίνεται από 0,1 έως 5 για το ημίτονο και το συνημίτονο, και από 0,1 έως 2 για την εφαπτομένη.

Τι ελέγχει η συχνότητα;

Η συχνότητα (B) καθορίζει πόσοι κύκλοι του κύματος εμφανίζονται σε ένα σταθερό τμήμα του άξονα x. Η υψηλότερη συχνότητα χωρά περισσότερους κύκλους στον ίδιο χώρο. Ο γραφιστής επιτρέπει τιμές από 0,1 έως 5.

Γιατί μια θετική μετατόπιση φάσης μετακινεί το γράφημα προς τα αριστερά και όχι προς τα δεξιά;

Επειδή η μετατόπιση φάσης C προστίθεται πριν από τη μέτρηση της γωνίας, μέσα στη συνάρτηση: f(x) = sin(Bx + C). Μια θετική τιμή του C σημαίνει ότι η γωνία φτάνει σε μια δεδομένη τιμή για μικρότερο x, οπότε το ίδιο σημείο της καμπύλης εμφανίζεται νωρίτερα — μετατοπισμένο προς τα αριστερά και όχι προς τα δεξιά.

Γιατί υπάρχουν κενά στο γράφημα της εφαπτομένης;

Η εφαπτομένη δεν ορίζεται όπου το συνημίτονο ισούται με 0, κάτι που συμβαίνει στο x = π/2 + nπ. Ο γραφιστής διακόπτει τη γραμμή σε αυτά τα σημεία αντί να σχεδιάσει μια ψευδή ευθεία σύνδεση μέσα από το κενό.

Ο γραφιστής χρησιμοποιεί μοίρες ή ακτίνια;

Ακτίνια. Μια πλήρης στροφή ισούται με 2π ακτίνια, δηλαδή με 360 μοίρες. Για να μετατρέψετε μοίρες σε ακτίνια, πολλαπλασιάστε επί π/180.