Kooniliste lõigete kalkulaator - Ring, Ellips, Parabool

Mis on koonuslõigete kalkulaator?

Koonuslõigete kalkulaator leiab mõne mõõtmise põhjal ringjoone, ellipsi, parabooli või hüperbooli ekstsentrilisuse ja standardvõrrandi. Need neli kõverat tekivad siis, kui tasand lõikab koonust eri nurkade all.

Neli koonuslõiget

Koonuse teljega risti lõikamisel tekib ringjoon. Tasandi kallutamisel tekib ellips. Koonuse külgpinnaga paralleelselt lõikamisel tekib parabool. Kahekordse koonuse mõlemat poolt läbiva lõike korral tekib hüperbool.

Igal kõveral on ekstsentrilisus, arv, mis näitab, kui palju erineb see täiuslikust ringjoonest.

• Ringjoon: $e = 0$
• Ellips: $0 < e < 1$
• Parabool: $e = 1$
• Hüperbool: $e > 1$

Kalkulaatori kasutamine

1. Valige koonuslõike tüüp: ringjoon, ellips, parabool või hüperbool.
2. Sisestage vajalikud mõõtmed.
   • Ringjoon: raadius ($r$)
   • Ellips: pikem pooltelg ($a$) ja lühem pooltelg ($b$)
   • Parabool: fokaalkaugus ($f$)
   • Hüperbool: põiktelje pooltelg ($a$) ja kaastelje pooltelg ($b$)
3. Ekstsentrilisus ja standardvõrrand kuvatakse automaatselt kohe, kui valitud koonuslõike tüübi jaoks on sisestatud kehtivad positiivsed väärtused; klõpsatavat arvutusnuppu ei ole.
4. Kõvera graafik joonistatakse tulemuste alla.

Kalkulaator esitab võrrandi nii, et sisestatud arvud on juba asendatud. Seega kuvatakse ellipsi, mille puhul $a = 5$ ja $b = 3$, võrrandina $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. See on sama võrrand mis $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ekstsentrilisus kuvatakse nelja kümnendkoha täpsusega.

Kõik sisendid peavad olema positiivsed arvud. Ellipsi puhul peab pikem pooltelg olema vähemalt sama pikk kui lühem pooltelg, sest pikem pooltelg on määratluse järgi pikem. Hüperbooli puhul sellist reeglit ei ole: põiktelje ja kaastelje pooltelg võivad olla mis tahes positiivse pikkusega, sealhulgas võrdse pikkusega.

Ringjoone valem

Alguspunkti keskmega ringjoone puhul, mille raadius on $r$:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ekstsentrilisus: $e = 0$.

Ringjoon on ellipsi erijuht, mille mõlemad teljed on võrdse pikkusega ja mõlemad fookused asuvad keskpunktis.

Ellipsi valem

Alguspunktis paikneva keskmega ellipsi puhul, mille pikem pooltelg on $a$ ja lühem pooltelg $b$, kus $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Näide: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Võrrand: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kui $a = b$, muutub ellips ringjooneks ja $e = 0$.

Parabooli valem

Parempoolselt avaneva parabooli puhul, mille fokaalkaugus on $f$ (kaugus tipust fookuseni):

$$y^2 = 4fx$$

Ekstsentrilisus: $e = 1$, alati.

Näide: $f = 2$. Võrrand: $y^2 = 8x$.

Hüperbooli valem

Hüperbooli puhul, mille keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, mille põiktelje pooltelg on $a$ ja kaastelje pooltelg $b$, kus $a$ ja $b$ on mis tahes positiivsed arvud:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Põiktelje pooltelg $a$ on poole väiksem kui kahe tipu vaheline kaugus; tipud on punktid, kus kõver pöördub. Kaastelje pooltelg $b$ on poole väiksem kaastelje pikkusest. Kaastelg on keskpunkti läbiv lõik, mis on põikteljega täisnurga all. See määrab, kui kiiresti harud avanevad.

Erinevalt ellipsist ei pea hüperbooli puhul $a$ olema suurem kui $b$. Need kaks pikkust on sõltumatud, seega võib $b$ olla $a$-st väiksem, sellega võrdne või sellest suurem. Kui $a = b$, nimetatakse kõverat ristkülikhüperbooliks ja selle ekstsentrilisus on $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Näide: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Võrrand: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Koonuslõigete kasutamine tegelikus maailmas

Planeedid ja komeedid liiguvad koonuslõike kujulistel orbiitidel. Kepleri esimene seadus ütleb, et planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses asub Päike. Mõned komeedid liiguvad mööda paraboolseid või hüperboolseid trajektoore ega pöördu kunagi tagasi.

Paraboolid koondavad paralleelsed kiired ühte punkti, mistõttu kasutavad insenerid paraboolseid vorme satelliidiantennides, teleskoopide peeglites ja auto esitulede reflektorites. Hüperboolseid kõveraid leidub jahutustornide seintes, kus selline kuju tagab tugevuse väiksema materjalikuluga. Ellipse kasutatakse kaartes, sosinagaleriide lagedes ja hammasrataste kujundamisel.

Koonuslõigete lühike ajalugu

Kreeka matemaatik Menächmos uuris koonuslõikeid umbes 350 eKr, püüdes lahendada kuubi kahekordistamise probleemi. Perga Apollonios kirjutas umbes 200 eKr üksikasjaliku traktaadi pealkirjaga Koonuslõiked. Ta andis ellipsile, paraboolile ja hüperboolile nende nimed ning kirjeldas nende omadusi. Sajandeid hiljem kasutas Johannes Kepler ellipsi planeetide liikumise kirjeldamiseks ja Isaac Newton koonuslõike gravitatsiooni selgitamiseks.

Korduma kippuvad küsimused

Millised on neli koonuslõike tüüpi?

Ringjoon, ellips, parabool ja hüperbool. Igaüks neist tekib siis, kui tasand lõikab koonust eri nurga all, ning igal neist on erinev ekstsentrilisuse vahemik.

Kuidas arvutada ekstsentrilisust?

Ringjoone puhul on ekstsentrilisus kindel ($e = 0$) ja parabooli puhul ($e = 1$). Ellipsi korral on $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, kus kasutatakse pikemat pooltelge $a$ ja lühemat pooltelge $b$. Hüperbooli korral on $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, kus kasutatakse põiktelje pooltelge $a$ ja kaastelje pooltelge $b$.

Kas hüperbooli põiktelje pooltelg peab olema pikem kui kaastelje pooltelg?

Ei. Erinevalt ellipsi pikemast ja lühemast poolteljest on hüperbooli põiktelje pooltelg ($a$) ja kaastelje pooltelg ($b$) sõltumatud mõõdud. Mõlemad peavad olema positiivsed, kuid kumbki neist võib olla suurem.

Kas ellips võib muutuda ringjooneks?

Jah. Kui pikem pooltelg võrdub lühema poolteljega, on ellips ringjoon ja selle ekstsentrilisus on 0.

Miks kasutatakse satelliiditaldrikutes paraboolset kuju?

Parabool peegeldab oma teljega paralleelselt liikuvaid kiiri ühte fookuspunkti. Satelliiditaldrikud ja teleskoobipeeglid kasutavad seda omadust signaalide või valguse koondamiseks ühte punkti.

Mis on ristkülikhüperbool?

Ristkülikhüperbool on hüperbool, mille põiktelje pooltelg võrdub kaastelje poolteljega ($a = b$). Selle asümptoodid on risti ja ekstsentrilisus on $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Viited

1. Koonuslõige - Wikipedia
2. Koonuslõigete ekstsentrilisus - Khan Academy
3. Koonuslõiked - OpenStax