Õige ringjoonelise koonuse kalkulaator - Ruumala, Pindala & Valemid

Mis on sirge ringkoon?

Sirge ringkoon on ruumiline kujund, millel on tasane ringikujuline põhi ja üks kõver külgpind, mis aheneb üheks punktiks ehk tipuks. Seda nimetatakse „sirgeks”, sest tipp asub otse põhja keskpunkti kohal. Tipust otse alla põhjani tõmmatud sirge moodustab põhjaga täisnurga. See kalkulaator leiab koonuse ruumala, põhja pindala, külgpindala ja kogu pindala raadiuse ning kõrguse põhjal.

Selle kujuga levinud näited on liikluskoonused, jäätisetuutud, lehtrid ja mõne torni katused.

Koonuse mõõtmed

Sirget ringkoonust kirjeldavad kaks mõõtu:

• Raadius (r): kaugus ringikujulise põhja keskpunktist selle servani.
• Kõrgus (h): sirge vertikaalne kaugus põhjast tipuni.

Kolmas pikkus, kaldkõrgus (l), on kaugus koonuse välispinda mööda tipust põhja servani. Seda ei mõõdeta otse. Selle asemel arvutatakse see raadiuse ja kõrguse põhjal, sest need kolm pikkust moodustavad täisnurkse kolmnurga. Kalkulaator kasutab kaldkõrgust koonuse külgpindala arvutamiseks, kuid ei esita seda eraldi tulemusena.

Kalkulaator ei määra mõõtühikut. Sisestage raadius ja kõrgus samas ühikus. Kõik pindalad saadakse siis selle ühiku ruudus ja ruumala selle ühiku kuubis. Kumbki väärtus ei tohi olla negatiivne, sest pikkus ei saa olla negatiivne; kalkulaator kuvab tulemuse asemel teate. Tulemused esitatakse nelja kümnendkoha täpsusega.

Koonuse valemid

Kaldkõrguse arvutamise valem

Raadius, kõrgus ja kaldkõrgus moodustavad täisnurkse kolmnurga, seega saab kaldkõrguse leida Pythagorase teoreemi abil:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Põhja pindala valem

Põhi on ring, seega kasutatakse selle pindala leidmiseks ringi pindala standardvalemit:

$$A_b = \pi r^2$$

Külgpindala valem

Külgpindala hõlmab ainult kõverat külgpinda, mitte põhja. Kui kõver külgpind tasapinnale lahti laotada, moodustaks see pindalaga ringsektori:

$$A_l = \pi r l$$

Kogu pindala valem

Kogu pindala saamiseks liidetakse põhjapindala külgpindalaga:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Põhjast avatud koonuse, näiteks paberlehtri korral on materjalikulu arvutamiseks vaja ainult külgpindala.

Koonuse ruumala valem

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Koonuse ruumala on täpselt üks kolmandik sama põhja ja kõrgusega silindri ruumalast. Archimedes tõestas selle seose, kasutades meetodit, mis eelnes diferentsiaal- ja integraalarvutusele. Hiljem kinnitati seda integraalarvutuse abil, kus koonust käsitletakse lõpmatu hulga kahanevate ringikujuliste ketastena, mis ulatuvad põhjast tipuni.

Koonuse ruumala arvutamine: näide arvutuskäiguga

Võtame koonuse, mille raadius on r = 5 ühikut ja kõrgus h = 12 ühikut.

1. Leia kaldkõrgus.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ ühikut}$$

2. Leidke põhja pindala.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ ühikut}^2$$

3. Leidke külgpindala.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ ühikut}^2$$

4. Leidke kogu pindala.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ ühikut}^2$$

5. Leidke ruumala.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ ühikut}^3$$

Joonis

Katkendlik vertikaaljoon tähistab kõrgust põhjast tipuni. Katkendlik horisontaaljoon tähistab raadiust põhja keskpunktist selle servani.

Koonused igapäevaelus

Koonuse ruumala ja pindala arvutusi kasutatakse mitmes praktilises valdkonnas:

• Lehtmetalli valmistamine: külgpindala näitab tasase materjali kogust, mida on vaja koonusekujulise punkri, lehtri või kanali üleminekuosa valtsimiseks, enne õmbluste ja jäätmete jaoks varu lisamist.
• Mahutavus: ruumala valem annab koonusekujuliste mahutite ja silohoidlate koonusekujuliste põhjade mahutavuse.
• Ehitus: tornikiivrid, tornide tipud ja muud koonusekujulised katuseelemendid kasutavad külgpindala katusematerjali koguse hindamiseks.
• Igapäevased esemed: pabertopsid, jäätisetuutud ja liikluskoonused on kõik ligikaudu sirged ringkoonused.

See kalkulaator eeldab täiuslikku koonust, mille põhi on ring ja mille tipp asub põhja kohal keskel. Ülaosast ära lõigatud koonus ehk tüvikoonus vajab teistsuguseid valemeid, sest sellel on ühe raadiuse asemel kaks.

Ajalugu

Vana-Kreeka matemaatikud uurisid koonuseid juba umbes 300 eKr. Eukleidese Elemendid määratles koonuse kehana, mis tekib täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber ühe kaateti. Hiljem uuris Perga Apollonios kõverjooni, mis tekivad koonuse lõikamisel eri nurkade all ja mida nüüd nimetatakse koonuslõigeteks: ring, ellips, parabool ja hüperbool. Ruumala valemi V = (1/3)πr²h tõestas Archimedes ammendamismeetodi abil, mis ennetas integraalarvutust umbes 2 000 aasta võrra.

Korduma kippuvad küsimused

Mis teeb koonusest „sirge ringkoonuse”?

„Sirge” tähendab, et tipp paikneb otse põhja keskpunkti kohal, mistõttu telg on põhjaga risti. Kaldkoonuse korral paikneb tipp ühel pool põhja keskpunkti. „Ringikujuline” tähendab, et põhi on ring, mitte ellips ega mõni muu kujund.

Mis on koonuse ruumala valem?

V = (1/3)πr²h, kus r on põhja raadius ja h on ristkõrgus. Ruumala leidmiseks pole moodustajat vaja.

Mis on koonuse pindala valem?

Kogu pindala on A = πr² + πrl, kus r on raadius ja l on kaldkõrgus. Esimene liige on põhja pindala ja teine külgpindala. Kui koonusel pole põhja, näiteks avatud lehtril, jätke esimene liige välja.

Mis on kaldkõrgus ja mille poolest erineb see kõrgusest?

Kõrgus on sirge vertikaalne kaugus põhjast tipuni, mõõdetuna koonuse seest. Kaldkõrgus on kaugus koonuse välispinda mööda tipust põhja servani. Neid seob valem l = √(r² + h²); kui raadius on suurem kui null, on kaldkõrgus alati neist kahest pikem.

Kuidas leida koonuse ruumala läbimõõdu põhjal?

Jagage läbimõõt 2-ga, et saada raadius, ja kasutage seejärel valemit V = (1/3)πr²h. Näiteks 10 cm läbimõõdu ja 15 cm kõrgusega koonuse raadius on 5 cm, seega V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Kas see kalkulaator töötab ka tüvikoonuste korral?

Ei. Tüvikoonus on koonus, mille ülaosa on ära lõigatud, mistõttu on sellel ühe raadiuse asemel kaks ning ruumala ja pindala jaoks on vaja eraldi valemeid.