Koonuse diameetri kalkulaator - arvutamine kõrguse ja raadiuse järgi

Mis on koonuse läbimõõt?

Koonuse läbimõõt on selle ringikujulise põhja laius, mõõdetuna keskpunkti läbiva sirgjoonena. See võrdub põhja raadiuse kahekordse pikkusega. Koonust saab kirjeldada ka selle kõrguse (põhjast tipuni mõõdetud sirge vahemaa) ja kaldkõrguse (tipust mööda koonuse välispinda põhja servani ulatuv vahemaa) abil. Kui neist kolmest väärtusest on teada ükskõik millised kaks, saab leida kolmanda.

Koonuse läbimõõdu valem

Läbimõõdu leidmiseks on kaks levinud viisi, olenevalt sellest, millised mõõtmed on teada.

Kõrguse ja kaldkõrguse põhjal:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Siin on d läbimõõt, s kaldkõrgus ja h kõrgus. See tuleneb Pythagorase teoreemist: kaldkõrgus on kõrguse ja raadiuse moodustatud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, seega $s^2 = h^2 + r^2$. Raadiuse leidmisel ja selle kahekordistamisel saadakse läbimõõt. Kalkulaator arvutab sama väärtuse välja samaväärsel kujul $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Mõlemad kujud annavad sama vastuse, kuid teine säilitab rohkem õigeid numbreid, kui kaldkõrgus on kõrgusest vaid veidi suurem.

Raadiuse põhjal:

$d = 2r$

See on lihtsalt läbimõõdu definitsioon. Kui raadius on juba teada, pole muid mõõtmisi vaja.

Kaldkõrgus peab alati olema kõrgusest pikem, sest see on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus ja hüpotenuus on alati pikim külg. Kui kaldkõrgus on kõrgusega võrdne või sellest lühem, ei ole kirjeldatud kujund korrektne koonus.

Koonuse läbimõõdu arvutamine

Meetod 1: kõrgus ja kaldkõrgus

1. Mõõda kõrgus (h), põhjast tipuni ulatuv sirge vertikaalne vahemaa.
2. Mõõda kaldkõrgus (s), tipust mööda koonuse pinda põhja servani ulatuv vahemaa.
3. Astenda mõlemad väärtused ruutu, lahuta kaldkõrguse ruudust kõrguse ruut ja võta ruutjuur: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Läbimõõdu saamiseks korruta tulemus 2-ga.

Meetod 2: raadius

1. Mõõda raadius (r), põhja keskpunktist selle servani ulatuv vahemaa.
2. Korruta 2-ga.

Neist kahest meetodist tuleks korraga kasutada ainult üht. Kõrguse, kaldkõrguse ja raadiuse koos esitamine on mitmetähenduslik, sest need kolm väärtust ei pruugi kirjeldada üht ja sama koonust.

Näidisarvutus

Näide 1: kõrgus ja kaldkõrgus

Koonuse kõrgus on 3 ühikut ja kaldkõrgus 5 ühikut.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Läbimõõt on 8 ühikut.

Näide 2: raadius

Koonuse raadius on 4 ühikut.

$d = 2 \times 4 = 8$

Läbimõõt on 8 ühikut. See vastab näitele 1, sest koonuse, mille kõrgus on 3 ja kaldkõrgus 5, põhja raadius on 4.

Näide 3: lame koonus

Koonuse kõrgus on 0,1 ühikut ja kaldkõrgus 10 ühikut.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Läbimõõt on ligikaudu 20,00 ühikut. Kui kõrgus on kaldkõrgusega võrreldes väga väike, läheneb läbimõõt kaldkõrguse kahekordsele väärtusele.

Näide 4: nõelakujuline koonus

Koonuse kõrgus on 9,99 ühikut ja kaldkõrgus 10 ühikut.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Läbimõõt on ligikaudu 0,89 ühikut. Kui kaldkõrgus on kõrgusest vaid veidi pikem, on koonus kõrge ja kitsas ning selle põhja läbimõõt väike.

Kus kasutatakse koonuse läbimõõdu arvutusi

Koonuse läbimõõtu kasutatakse kõikjal, kus koonusekujulisi vorme mõõdetakse või valmistatakse. Insenerid kasutavad seda lehtrite, düüside ja kooniliste mahutite projekteerimisel. Tootjad kasutavad seda vormide ja kooniliste detailide mõõtmete määramisel. Geoloogid kasutavad samalaadseid mõõtmisi vulkaaniliste koonuste kirjeldamiseks. Kõrguse, kaldkõrguse ja raadiuse sama seos kehtib iga sirge ringkoonuse puhul alates paberist peomütsist kuni raketi koonusekujulise ninani.

Ajalugu

Koonuste matemaatiline uurimine ulatub tagasi Vana-Kreekasse. Perga Apollonios, kes tegutses umbes 200 eKr, kirjutas olulise traktaadi pealkirjaga Conics, milles uuriti, kuidas tasandid lõikavad koonuseid ning moodustavad ringe, ellipseid, paraboolseid ja hüperboole. Pythagorase teoreemil põhinev põhiseos koonuse kõrguse, raadiuse ja kaldkõrguse vahel on olnud teada antiikajast saadik ning seda kasutatakse ka tänapäeval.

Korduma kippuvad küsimused

Mis on koonuse läbimõõt?

See on koonuse ringikujulise põhja laius, mõõdetuna otse läbi keskpunkti. See on põhja raadiuse kahekordne pikkus.

Kuidas leida koonuse läbimõõt ilma raadiuseta?

Kasuta kõrgust ja kaldkõrgust koos valemiga $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Selle abil leitakse Pythagorase teoreemi järgi raadius ja kahekordistatakse see.

Milline on koonuse läbimõõdu, kõrguse ja kaldkõrguse vaheline seos?

Kõrgus, raadius ja kaldkõrgus moodustavad täisnurkse kolmnurga. Kaldkõrgus on hüpotenuus, kõrgus üks kaatet ja raadius teine kaatet: $s^2 = h^2 + r^2$. Läbimõõt on raadiuse kahekordne pikkus.

Miks kalkulaator mõne väärtuse tagasi lükkab?

Kõrgus peab olema suurem kui null. Kaldkõrgus peab olema kõrgusest suurem, sest hüpotenuus ei saa olla kaatetist lühem ega sellega võrdne. Raadius peab olema suurem kui null. Kõrgus ja kaldkõrgus või raadius tuleb sisestada eraldi; kõigi kolme korraga sisestamine on mitmetähenduslik ja lükatakse tagasi. Kui koos kõrgusega sisestatakse raadius, kasutatakse ainult raadiust, sest raadius määrab läbimõõdu juba kindlaks.

Kas koonusel võib olla kaks erinevat läbimõõtu?

Tavalisel koonusel on üks läbimõõt, põhja juures, ning tipp lõpeb ühes punktis. Kärbitud koonusel, mille terav ülaosa on ära lõigatud, on kaks läbimõõtu, üks kummaski lamedas otsas.

Milliseid ühikuid tuleks kasutada?

Sobib iga omavahel ühtiv ühik, näiteks sentimeeter, meeter või toll. Tulemus saadakse sisendite ühikutes.

Viited

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. ja Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/