Koonuse kaldkõrgus

Koonuse kaldkõrgus on vahemaa tipust ehk teravast ülaosast kuni ringikujulise põhja servani, mõõdetuna mööda koonuse välispinda. See erineb kõrgusest, mis kulgeb otse läbi koonuse keskosa. See kalkulaator leiab täisringkoonuse kaldkõrguse, raadiuse või kõrguse kahe ülejäänud väärtuse põhjal.

Mis on kaldkõrgus?

Täisringkoonusel on tasane ringikujuline põhi ja selle keskpunkti kohal otse paiknev terav tipp. Selle kuju kirjeldavad kolm mõõtu:

• Raadius (r) — vahemaa põhja keskpunktist selle servani.
• Kõrgus (h) — sirge, põhjaga risti olev vahemaa põhjast tipuni.
• Kaldkõrgus (l) — vahemaa tipust põhja servani, mõõdetuna mööda kaldpinda.

Need kolm pikkust moodustavad täisnurkse kolmnurga. Kõrgus on üks kaatet, raadius teine kaatet ja kaldkõrgus on hüpotenuus ehk pikim külg, mis paikneb täisnurga vastas.

Kaldkõrguse valem

Kuna raadius, kõrgus ja kaldkõrgus moodustavad täisnurkse kolmnurga, kehtib Pythagorase teoreem:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Siin on $l$ kaldkõrgus, $r$ raadius ja $h$ kõrgus.

Valemit saab ümber korraldada, et leida kumbki ülejäänud pikkus, kui kaldkõrgus ja veel üks väärtus on teada.

Raadiuse leidmine:

$$r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

Kõrguse leidmine:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$

Kuidas arvutada koonuse kaldkõrgust

1. Mõõda koonuse raadius ja kõrgus või märgi need üles, kasutades mõlema puhul sama mõõtühikut (näiteks mõlema puhul sentimeetreid).
2. Tõsta kumbki väärtus ruutu ja liida saadud tulemused.
3. Võta saadud summast ruutjuur. Tulemus on sama mõõtühikuga kaldkõrgus.

Kalkulaator ümardab vastuse nelja kümnendkohani.

Läbitöötatud näide

Koonuse raadius on 3 ühikut ja kõrgus 4 ühikut. Kaldkõrguse leidmiseks:

$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ ühikut}$$

Kaldkõrgus on 5 ühikut.

Sama põhimõte töötab ka vastupidi. Koonuse kaldkõrgus on 13 ühikut ja kõrgus 12 ühikut. Raadiuse leidmiseks:

$$r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ ühikut}$$

Raadius on 5 ühikut.

Kehtivad väärtused

Raadius, kõrgus ja kaldkõrgus peavad kõik olema positiivsed arvud. Nullraadiuse või nullkõrgusega koonusel ei ole ruumala ning see ei ole tegelik kolmemõõtmeline kujund.

Kaldkõrgus peab alati olema nii raadiusest kui ka kõrgusest pikem. See tuleneb otseselt Pythagorase teoreemist: täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on alati kummastki kaatetist pikem. Kui pakutud kaldkõrgus on sisestatud raadiusest või kõrgusest lühem või sellega võrdne, ei ole selliste mõõtmetega kehtivat koonust olemas ning kalkulaator teatab vigasest sisendist, selle asemel et näidata ebaõiget arvu. Samamoodi lükatakse tagasi kirjed, mis ei ole tavalised arvud, näiteks tekst või kalkulaatori jaoks liiga suur arv.

Miks kaldkõrgus on oluline

Kaldkõrgust kasutatakse koonuse külgpindala ehk põhja välja jätva kumera pinna leidmiseks valemi $\pi r l$ abil. See on vajalik näiteks järgmiste ülesannete puhul:

• Pleki või paberi lõikamine õige sektorikujuliseks tükiks, millest moodustada koonus, näiteks lehtri, pabertopsi või lambikupli jaoks.
• Koonusekujuliste katuste, tornikiivrite või silode materjalivajaduse hindamine.
• Geomeetriaülesannete lahendamine, mis hõlmavad Pythagorase teoreemi kolmes mõõtmes.

Korduma kippuvad küsimused

Mis on koonuse kaldkõrgus? See on vahemaa koonuse tipust selle põhja servani, mõõdetuna mööda kaldpinda, mitte otse läbi keskme.

Kuidas arvutada koonuse kaldkõrgust? Kasuta valemit $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, kus $r$ on raadius ja $h$ on kõrgus. Tõsta kumbki väärtus ruutu, liida need ja võta summast ruutjuur.

Mis vahe on kaldkõrgusel ja kõrgusel? Kõrgus on sirge, põhjaga risti olev lõik põhjast tipuni. Kaldkõrgus kulgeb mööda koonuse välispinda tipust põhja servani, seega on see alati neist kahest pikem.

Kas kaldkõrgus võib olla raadiusest või kõrgusest lühem? Ei. Kuna kaldkõrgus on raadiuse ja kõrgusega moodustuva täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, on see alati kummastki pikem.

Kas see valem kehtib iga koonuse puhul? See kehtib täisringkoonuse puhul, millel on ringikujuline põhi ja otse selle keskpunkti kohal paiknev tipp. Viltuse koonuse puhul, mille tipp paikneb ühele küljele nihutatuna, on vaja teistsugust arvutust.

Milliseid mõõtühikuid tuleks kasutada? Sobib iga mõõtühik, kui raadius ja kõrgus sisestatakse mõlemad samas mõõtühikus. Tulemus saadakse samas mõõtühikus.

Viited

1. Koonus – Wikipedia
2. Pythagorase teoreem – Khan Academy