Koonuse külgpinna kalkulaator - Tasuta veebiriist

Koonuse külgpindala

Koonuse külgpindala on selle kumera külgpinna pindala, mille hulka ei arvestata lamedat ringikujulist põhja. Seda nimetatakse ka külgpinna pindalaks. Täisnurkse ringkoonuse korral saab selle leida vaid kahe mõõtmise põhjal: põhja raadiuse ja koonuse kõrguse abil.

Mis on külgpindala?

Koonusel on kaks pinda: lame ringikujuline põhi ja kumer pind, mis kaldub põhjast tipu (terava otsa) poole. Külgpindala hõlmab ainult kumera osa. Kui lõigata koonus mööda üht kaldu serva lahti ja tasapinnale laotada, avaneb külgpind ringi sektorina. Selle sektori pindala võrdub koonuse külgpindalaga.

See erineb kogupindalast, mille hulka arvestatakse ka põhi.

Koonuse külgpindala valem

Täisnurkse ringkoonuse külgpindala L on:

$L = \pi r s$

• r on ringikujulise põhja raadius
• s on moodustaja ehk sirglõigu pikkus põhja servast tipuni
• L on külgpindala ruutühikutes

Moodustaja leidmine

Enamik inimesi teab koonuse raadiust ja ristkõrgust (h), mis on sirge vahemaa põhjast tipuni, mitte moodustajat. Raadius, kõrgus ja moodustaja moodustavad täisnurkse kolmnurga, seega saab moodustaja leida Pythagorase teoreemi abil:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

Kombineeritud valem

Selle avaldise asendamisel külgpindala valemisse saame täieliku valemi, milles kasutatakse ainult raadiust ja kõrgust:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Koonuse külgpindala arvutamine

1. Mõõda või märgi üles põhja raadius (r).
2. Mõõda või märgi üles ristkõrgus (h) põhjast tipuni.
3. Leia moodustaja: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. Korruta: $L = \pi \times r \times s$.
5. Loe tulemus. See kalkulaator arvutab täpselt ja kuvab vastuse nelja kümnendkohani ümardatuna.

Selle lehe kalkulaator teeb need sammud automaatselt. Sisesta raadius ja kõrgus ning see kuvab koos koonuse joonisega külgpindala.

Sisestusreeglid

Raadius ja kõrgus ei tohi olla negatiivsed. Negatiivse väärtuse sisestamisel kuvatakse tulemuse asemel veateade. Nullväärtus on lubatud. Nullkõrgus lamestab koonuse selle enda põhjale, mistõttu moodustaja võrdub raadiusega ja valem annab selle ringikujulise põhja pindalaks $\pi r^2$. Nullraadius taandab koonuse sirglõiguks ja külgpindala on 0.

Näidisarvutus

Vaatleme koonust raadiusega 3 m ja kõrgusega 4 m.

1. Moodustaja: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. Külgpindala: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

Teine näide: raadius on 2 m ja kõrgus 10 m.

1. Moodustaja: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. Külgpindala: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

Sama raadiuse korral on kõrgemal koonusel pikem moodustaja, mistõttu on ka selle külgpindala suurem, kuigi põhi on sama suur.

Külgpindala ja kogupindala

Külgpindala ei hõlma põhja. Kogupindala hõlmab ka põhja:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

Kasuta ainult külgpindala, kui tähtis on üksnes kumer pind, näiteks koonuse külje mähkimiseks või katmiseks vajaliku materjali koguse arvutamisel. Kasuta kogupindala, kui ka põhi on nähtaval ning see tuleb katta, värvida või arvesse võtta.

Kus seda arvutust kasutatakse

• Tootmine: koonusekujuliste osade, lehtrite või lambivarjude jaoks vajaliku lehtmetalli, kanga või kattekihi koguse hindamine.
• Ehitus: koonusekujuliste katuste või tornikiivrite jaoks vajaliku materjali koguse arvutamine.
• Pakendamine ja disain: koonusekujuliste anumate jaoks vajaliku paberi või papi suuruse määramine.
• Tehnika: lennunduses ja tööstusdisainis kasutatavad ninakoonused, punkrid ja muud koonusekujulised komponendid.

Ajalugu

Vana-Kreeka matemaatikud uurisid koonuseid ja nende lõikamisel tekkivaid kõveraid, mida tuntakse koonuselõigetena. Perga Apollonios kirjutas sellel teemal ulatusliku traktaadi, mis mõjutas seda, kuidas geomeetrid järgnevatel sajanditel koonuseid kirjeldasid. Koonuse pindala valemid tulenevad otseselt samadest geomeetrilistest seostest, mille töötasid välja tema ja varasemad matemaatikud, näiteks Eukleides.

Korduma kippuvad küsimused

Mis vahe on koonuse külgpindalal ja kogupindalal? Külgpindala hõlmab ainult kumera külje. Kogupindala on kumera külje ja ringikujulise põhja pindala: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

Kuidas leida koonuse külgpindala ilma moodustajat mõõtmata? Kasuta valemit $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$. See leiab moodustaja raadiuse ja kõrguse põhjal automaatselt, kasutades Pythagorase teoreemi.

Millistes ühikutes tulemus esitatakse? Sisestatud suurustega samades ruutühikutes. Kui raadius ja kõrgus on meetrites, on külgpindala ruutmeetrites; kui need on tollides, on tulemus ruuttollides.

Kas raadius ja kõrgus võivad olla eri ühikutes? Ei. Enne nende sisestamist peavad mõlemad olema väljendatud samas pikkusühikus, vastasel juhul on tulemus vale.

Mis juhtub negatiivse arvu sisestamisel? Kalkulaator lükkab selle tagasi ja kuvab veateate, sest koonuse raadius ega kõrgus ei saa olla negatiivsed.

Milline on tüvikoonuse (äralõigatud tipuga koonuse) külgpindala valem? Tüvikoonuse korral, mille ülemise põhja raadius on $r_1$ ja alumise põhja raadius $r_2$: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. See valem erineb täiskoonuse valemist.

Viited

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — Wolframi veebiressurss. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." CK-12 Foundation. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga