Vertikaalse kõvera kalkulaator - Maantee- ja teeehituse tööriist

Mis on vertikaalkõvera kalkulaator?

Vertikaalkõvera kalkulaator leiab vertikaalkõvera kõrgusarvud, K-väärtuse ja põhipunktid. Vertikaalkõver on paraboolne kõver, mida insenerid kasutavad kahe teetrassi kalde sujuvaks ühendamiseks. Selle asemel et tee kalde muutumiskohas terava nurga all jätkuks, ühendab vertikaalkõver kaks kallet üheks pidevaks kõveraks. See muudab sõidu sujuvamaks, tagab juhile piisava nähtavuse ohutuks peatumiseks ja aitab veel korralikult ära voolata.

Insenerid kasutavad vertikaalkõveraid maanteede, tänavate, raudteede, lennuradade ja kaldega alade, näiteks parklate, projekteerimisel. Kui tee või rada peab oma kallet muutma, teostab vertikaalkõver selle ülemineku.

Kumerad ja nõgusad kõverad

Vertikaalkõveraid on kaks tüüpi, sõltuvalt sellest, kuidas kalded enne kõverat ja pärast kõverat omavahel võrreldavad on. Kalle esitatakse protsendina: 3% kalde korral tõuseb tee iga läbitud 100 meetri kohta 3 meetrit.

• Kumer kõver: algkalle on suurem kui lõppkalle (g₁ > g₂). Tee tõuseb, läheb üle kõrgeima punkti ja laskub seejärel — nagu mäeharjale jõudes.
• Nõgus kõver: algkalle on väiksem kui lõppkalle (g₁ < g₂). Tee laskub, läbib madalaima punkti ja tõuseb seejärel — nagu lohu põhjas.
• Kui kaks pikikallet on võrdsed, pole vertikaalkõverat vaja. Tee on juba sirge.

Kumerad kõverad on kõige olulisemad peatumisnähtavuse seisukohast: juht peab nägema piisavalt kaugele ette, et enne takistust peatuda. Nõgusad kõverad on kõige olulisemad öise esitulede nähtavuskauguse ja kuivenduse seisukohast, sest vesi koguneb madalaimasse punkti.

Põhiterminid

• PVI (vertikaalne lõikepunkt): punkt, kus kaks sirget kaldejoont kohtuksid, kui kõverat ei oleks.
• PVC (vertikaalse kõveruse alguspunkt): koht, kus kõver algab.
• PVT (vertikaalne puutepunkt): koht, kus kõver lõpeb.
• K-väärtus: kõvera pikkus jagatuna kalde muutusega. See näitab, kui laugjas on kõver.
• Pikett: piki tee telgjoont mõõdetud kaugus, mida kasutatakse tavaliste koordinaatide asemel. Selles kalkulaatoris sisestatakse nii pikett kui ka kõrgusarv meetrites.

Kõver on tavaliselt sümmeetriline: PVC paikneb poole kõvera pikkuse võrra enne PVI-d ja PVT poole kõvera pikkuse võrra pärast seda.

Vertikaalkõvera valem

Kõvera mis tahes punkti kõrgusarv leitakse ruutvõrrandi ehk paraboolse võrrandi abil:

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = kõrgusarv kaugusel $x$ PVC-st
• $y_{PVC}$ = kõrgusarv PVC-s
• $g_1$ = algkalle kümnendmurruna (3%-ne kalle on 0,03)
• $A$ = kallete algebraline erinevus, $g_2 - g_1$ (kümnendkujul)
• $L$ = kõvera pikkus

K-väärtuse valem

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$ ja $g_2$ on siin protsendid. Suurem K tähendab laugemat ja sujuvamalt muutuvat kõverat. Projekteerimisjuhendid, näiteks AASHTO „A Policy on Geometric Design of Highways and Streets”, sätestavad maanteede minimaalsed K-väärtused, mis sõltuvad projekteerimiskiirusest ja sellest, kas tegemist on kumera või nõgusa kõveraga.

Kui $g_1$ võrdub $g_2$-ga, on kalde muutus null ja K määramata. Kalkulaator kuvab siis K-väärtuse asemel kriipsu. Kaldeid, mis erinevad vähem kui 0,0001%, käsitletakse võrdsetena.

PVC ja PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ ja $g_2$ on siin protsendid; jagamine 200-ga teisendab protsendi kümnendmurruks ja rakendab seda poole kõvera pikkuse ulatuses.)

Kõrgeim või madalaim punkt

Kõrgeim punkt (kumera kõvera korral) või madalaim punkt (nõgusa kõvera korral) asub kõveral siis, kui kahel kaldel on vastasmärgid või kui üks kalle on täpselt null. Selle kaugus PVC-st on:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Kõrgeima või madalaima punkti piketi saamiseks liida $x$ PVC piketile ning kasuta seejärel selle kõrgusarvu leidmiseks eespool toodud kõrgusarvu valemit. Kui mõlemal kaldel on sama märk, jääb see punkt PVC ja PVT vahelisest vahemikust välja, mistõttu tee kogu kõvera ulatuses kas tõuseb või laskub ning kalkulaator teatab, et kõrgeim või madalaim punkt puudub. Kui üks kalle on null, asub punkt täpselt PVC-s või PVT-s.

Kuidas arvutada vertikaalkõverat

1. Sisesta algkalle ja lõppkalle protsentidena. Tõusva kalde korral kasuta positiivset ja langeva kalde korral negatiivset arvu.
2. Sisesta kõvera pikkus meetrites.
3. Sisesta PVI pikett ja PVI kõrgusarv, mõlemad meetrites.
4. Vaata kõvera tüüpi (kumer, nõgus või kumbki mitte), K-väärtust ning PVC ja PVT pikette ja kõrgusarve.
5. Kui kallete märgid on vastupidised või üks neist on null, kuvab kalkulaator ka kõrgeima või madalaima punkti.
6. Mis tahes muu punkti kõrgusarvu leidmiseks sisesta päringu pikett. Kui see pikett jääb kõverast väljapoole, annab kalkulaator sellest teada, mitte ei esita arvu, sest valem kehtib ainult PVC ja PVT vahel.

Töötatud näide: kumer kõver

Tee tõuseb kaldega 3% ja laskub seejärel kaldega −2%. PVI asub piketil 1000,00 m ja selle kõrgusarv on 150,00 m. Kõvera pikkus on 400 m.

K-väärtus: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: pikett $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; kõrgusarv $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: pikett $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; kõrgusarv $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Kõrgeim punkt: kuna 3 ja −2 on vastasmärgiga, on kõrgeim punkt olemas. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m PVC-st, seega on selle pikett $800 + 240 = 1040.00$ m. Selle kõrgusarv on $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Töötatud näide: nõgus kõver

Tee laskub kaldega −3% ja tõuseb seejärel kaldega 2%. PVI asub piketil 500,00 m ja selle kõrgusarv on 85,00 m. Kõvera pikkus on 200 m.

K-väärtus: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: pikett $= 400.00$ m; kõrgusarv $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: pikett $= 600.00$ m; kõrgusarv $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Madalaim punkt: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m PVC-st, seega on selle pikett $400 + 120 = 520.00$ m. Selle kõrgusarv on $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

See madalaim punkt on koht, kuhu koguneb pinnavesi, mistõttu paigutab projekteerija kuivendusresti sinna, mitte PVI-sse.

Korduma kippuvad küsimused

Mis on K-väärtus vertikaalkõvera projekteerimisel? K-väärtus on kõvera pikkus jagatuna kahe kalde absoluutse erinevusega. See näitab, mitu meetrit kõverat annab 1%-se kalde muutuse. Suurem K-väärtus tähendab laugemat ja sujuvamalt muutuvat kõverat.

Kuidas teada, kas vaja on kumera või nõgusa kõverat? Võrdle kahte kallet. Kui algkalle on lõppkaldest suurem, on tegemist kumera kõveraga. Kui algkalle on lõppkaldest väiksem, on tegemist nõgusa kõveraga. Võrdsete kallete korral pole kõverat üldse vaja.

Mis juhtub, kui alg- ja lõppkalle on võrdsed? Vertikaalkõverat pole vaja, sest tee on juba sirge. K-väärtus on määramata, kuna selle leidmiseks tuleks jagada nulliga, mistõttu kuvab kalkulaator arvu asemel kriipsu.

Kuidas leida kõvera kõrgeim või madalaim punkt? See on olemas siis, kui kahel kaldel on vastasmärgid või kui üks kalle on null. Selle kaugus PVC-st on $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Punkti asukoha leidmiseks liida see PVC piketile ning kasuta seejärel kõrguse leidmiseks kõvera kõrgusarvu valemit. Sama märgiga kalded paigutavad selle punkti kõverast väljapoole, seega seda punkti pole.

Miks on nõgusa kõvera madalaim punkt kuivenduse seisukohast oluline? Mõlemalt poolt alla voolav vesi koguneb madalaimasse punkti. Kui kuivendusrest paigutada tegeliku madalaima punkti asemel PVI-sse, võib vesi teele koguneda, sest need kaks punkti langevad harva kokku.

Kas päringu pikett võib jääda kõverast väljapoole? Jah. Kõrgusarvu valem kehtib ainult PVC ja PVT vahel. Sellest vahemikust väljapoole jääval piketil ei ole kõveral määratud kõrgusarvu, mistõttu teatab kalkulaator, et see asub kõverast väljaspool.