Z-test kalkulaator - tasuta statistilise olulisuse tööriist

Mis on z-test?

Z-test on statistiline test, millega kontrollitakse, kas valimi keskmine erineb statistiliselt oluliselt üldkogumi teadaolevast keskmisest, kui üldkogumi standardhälve on juba teada. Selle tulemus on üks arv ehk z-skoor, mis näitab, mitu standardhälvet erineb valimi keskmine üldkogumi keskmisest. Teadlased, kvaliteedikontrolörid ja analüütikud kasutavad seda, et hinnata, kas täheldatud erinevus on tõenäoliselt tegelik või juhusliku varieeruvuse tulemus.

Z-testi valem

Z-test arvutab z-skoori järgmise valemi abil:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\bar{x}$ on valimi keskmine
$\mu$ on üldkogumi keskmine
$\sigma$ on üldkogumi standardhälve
$n$ on valimi suurus

Valemi alumist osa $\sigma / \sqrt{n}$ nimetatakse standardveaks. See mõõdab, kui palju võivad valimite keskmised eeldatavasti varieeruda üksnes juhuvalimi tõttu.

Kuidas arvutada z-testi samm-sammult

Leidke kogutud andmete põhjal valimi keskmine ( $\bar{x}$ ).
Tehke kindlaks üldkogumi teadaolev keskmine ( $\mu$ ).
Tehke kindlaks üldkogumi teadaolev standardhälve ( $\sigma$ ).
Loendage valimi suurus ( $n$ ).
Lahutage $\mu$ väärtusest $\bar{x}$ .
Jagage $\sigma$ väärtuse $n$ ruutjuurega, et saada standardviga.
Jagage sammu 5 tulemus sammu 6 tulemusega. Saadud vastus on z-skoor.

Lahendatud näide

Tehas väidab, et nende poltide keskmine pikkus on 10 cm ja üldkogumi standardhälve on 0,2 cm. Inspektor mõõdab 100 polti ja leiab, et valimi keskmine pikkus on 10,05 cm.

$\bar{x} = 10.05$
$\mu = 10$
$\sigma = 0.2$
$n = 100$

Standardviga: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Z-skoor: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Z-skoor on 2,5. Valimi keskmine asub üldkogumi keskmisest 2,5 standardvea võrra kõrgemal.

Kuidas z-skoori tõlgendada

Nullilähedane z-skoor 0 tähendab, et valimi keskmine on üldkogumi keskmise lähedal. Suur positiivne või negatiivne z-skoor tähendab, et valimi keskmine erineb üldkogumi keskmisest oluliselt, mis viitab tegelikule erinevusele, mitte juhuslikkusele.

Levinud kriitilised väärtused kahepoolses testis:

α = 0,10 (90% usaldusnivoo): z = ±1,645
α = 0,05 (95% usaldusnivoo): z = ±1,96
α = 0,01 (99% usaldusnivoo): z = ±2,58

Kui arvutatud z-skoor ületab valitud olulisustasemele vastava kriitilise väärtuse, nimetatakse tulemust statistiliselt oluliseks ja nullhüpotees (et erinevust ei ole) lükatakse tagasi.

Arvutusnäites ületab z = 2,5 väärtuse ±1,96, seega on erinevus 0,05 olulisustasemel statistiliselt oluline. Z-skoorile 2,5 vastav kahepoolne p-väärtus on ligikaudu 1,24%, mis tähendab, et kui poltide tegelik keskmine pikkus oleks tõepoolest 10 cm, oleks nii suure erinevuse täheldamise tõenäosus ligikaudu 1 : 80.

Millal kasutada z-testi

Z-test on sobiv, kui:

Üldkogumi standardhälve on teada.
Valimi suurus on piisavalt suur, tavaliselt üle 30.
Andmed pärinevad juhuvalimist.
Üldkogum on normaaljaotusega või valim on piisavalt suur, et rakenduks tsentraalne piirteoreem.

Kui üldkogumi standardhälve ei ole teada või valim on väike, kasutatakse selle asemel t-testi. T-test hindab varieeruvust valimi enda põhjal ja arvestab sellega kaasnevat täiendavat ebakindlust.

Z-test ja t-test

Mõlemad testid mõõdavad, kui kaugel on valimi keskmine eeldatavast väärtusest standardvea ühikutes. Z-test eeldab, et üldkogumi standardhälve on teada. T-test hindab seda väärtust valimi põhjal ja kasutab täiendava ebakindluse arvestamiseks laiemat, valimi suurusest sõltuvat jaotust. Praktikas kasutatakse t-testi palju sagedamini, sest üldkogumi tegelik standardhälve on harva teada.

Z-testi kasutamine praktikas

Kvaliteedikontroll: kontrollitakse, kas valmistatud detailide partii vastab sihtspetsifikatsioonile.
Meditsiiniuuringud: võrreldakse ravirühma keskmist tulemust üldkogumi teadaoleva väärtusega.
Haridus: võrreldakse klassi testitulemusi riigi keskmisega.
Rahandus: kontrollitakse, kas fondi tootlus erineb võrdlusindeksi keskmisest tootlusest.

Ajalugu

Z-testi aluseks oleva normaaljaotuse kirjeldas Abraham de Moivre 1733. aastal binoomjaotuse lähendina. Carl Friedrich Gauss ja Pierre-Simon Laplace arendasid seda teooriat edasi 1800. aastate alguses. Formaalsete hüpoteesikontrolli meetodite, sealhulgas z-skooride ja kriitiliste väärtuste kasutamise statistilise olulisuse hindamiseks, töötasid 20. sajandi alguses välja teiste hulgas Ronald Fisher, Jerzy Neyman ja Egon Pearson.

Mida see kalkulaator näitab

Kalkulaator küsib nelja arvu: valimi keskmist, üldkogumi keskmist, üldkogumi standardhälvet ja valimi suurust. See esitab z-skoori ümardatuna nelja kümnendkohani. Tulemuse all joonistab see standardse normaaljaotuse kõvera ja tähistab z-skoori püstjoonega, nii et tulemuse asukoht jaotuses on nähtav. Kõver on standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$ .

Sisenditele kehtib kaks piirangut. Valimi suurus peab olema suurem kui 0. Üldkogumi standardhälve peab olema vähemalt 0,0001; väiksem hajuvus suurendab z-skoori tohutu väärtuseni, millel ei ole kasulikku tähendust. Kalkulaator ei esita p-väärtust, seega kasutage tulemuse olulisuse hindamiseks eespool toodud kriitilisi väärtusi või standardse normaaljaotuse tabelit.

Korduma kippuvad küsimused

Mis vahe on z-testil ja t-testil?

Z-test eeldab teadaolevat üldkogumi standardhälvet ja töötab kõige paremini suurte valimite korral. T-testi kasutatakse siis, kui üldkogumi standardhälve ei ole teada ja see tuleb valimi põhjal hinnata; see sobib nii väikeste kui ka suurte valimite korral.

Millist valimi suurust z-test vajab?

Levinud rusikareegel on, et valimi suurus peab olema üle 30. Sellest väiksema valimi korral muutuvad z-testi tulemused ebausaldusväärseks ja tavaliselt on parem kasutada t-testi.

Mida tähendab z-skoor 2,5?

Z-skoor 2,5 tähendab, et valimi keskmine on üldkogumi keskmisest 2,5 standardvea võrra kõrgemal. See ületab 95% usaldusnivool kahepoolse testi kriitilise väärtuse ±1,96, seega on erinevus sellel tasemel statistiliselt oluline. Z-skoorile 2,5 vastav kahepoolne p-väärtus on ligikaudu 1,24%.

Mis on z-testi p-väärtus?

P-väärtus on tõenäosus saada vähemalt sama äärmuslik tulemus kui täheldatud tulemus juhul, kui üldkogumi keskmisest tegelikult erinevust ei oleks. Väiksem p-väärtus annab nullhüpoteesi vastu tugevama tõendi. P-väärtust alla 0,05 käsitatakse tavaliselt statistiliselt olulisena.

Mis on z-testi nullhüpotees?

Nullhüpotees väidab, et valimi keskmise ja üldkogumi keskmise vahel ei ole erinevust. Z-test mõõdab, kui palju tõendeid valim selle väite vastu annab.

Kas z-testi saab kasutada väikeste valimite korral?

Seda ei soovitata. Väikese valimi või teadmata üldkogumi standardhälbe korral annab t-test täpsemad tulemused, sest see arvestab piiratud andmete põhjal varieeruvuse hindamisega kaasneva täiendava ebakindlusega.