محاسبه‌گر تبدیل بازه اطمینان به انحراف معیار

این محاسبه‌گر یک بازه اطمینان گزارش‌شده را به خطای معیار و انحراف معیار تبدیل می‌کند. برای این کار به دو کران بازه، حجم نمونه و سطح اطمینان نیاز دارد. مقاله‌های علمی معمولاً میانگین را همراه با بازه اطمینان آن گزارش می‌کنند، اما انحراف معیار را که برای متاآنالیز و محاسبه‌های توان لازم است، ذکر نمی‌کنند.

کاری که محاسبه‌گر انجام می‌دهد

بازه اطمینان برای یک میانگین معمولاً این‌گونه ساخته می‌شود:

CI = برآورد ± Z × (σ / √n)

بخش پس از علامت ± حاشیه خطا نام دارد. این مقدار برابر است با حاصل‌ضرب مقدار بحرانی Z در خطای معیار. چون بازه متقارن است، نیمی از عرض آن همان حاشیه خطاست. با معکوس کردن فرمول می‌توان ابتدا خطای معیار و سپس انحراف معیار را به دست آورد.

فرمول

عرض = کران بالا − کران پایین

SE = عرض ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE خطای معیار میانگین است. σ انحراف معیار است. Z مقدار بحرانی دوسویه توزیع نرمال استاندارد برای سطح اطمینان مورد نظر است.

مقادیر بحرانی

برای هر سطح دیگری، Z مقداری است که نیمی از احتمال باقی‌مانده را در هر دنباله باقی می‌گذارد. محاسبه‌گر این مقدار را برای هر سطحی که وارد شود، محاسبه می‌کند.

مثال

در یک مطالعه، اختلاف میانگین −2.6 با بازه اطمینان 95% از −5.2 تا −0.01 بر پایه 78 شرکت‌کننده گزارش شده است.

1. عرض = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z برای سطح اطمینان 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

انحراف معیار تقریباً 11.69 است.

چه زمانی این روش تقریبی است

این فرمول فرض می‌کند بازه نسبت به برآورد متقارن است و بر پایه توزیع نرمال ساخته شده است. دو وضعیت این فرض را نقض می‌کنند.

نمونه‌های کوچک معمولاً به‌جای توزیع نرمال از توزیع t استفاده می‌کنند. مقدار بحرانی t بزرگ‌تر است، بنابراین استفاده از Z انحراف معیار را کمی کمتر از واقع برآورد می‌کند. این فاصله با بزرگ‌تر شدن نمونه کاهش می‌یابد و در نمونه‌های بالای حدود 30 مشاهده ناچیز است.

بازه‌های نسبت‌ها، مانند نسبت شانس یا نسبت خطر، در مقیاس لگاریتمی متقارن‌اند، نه در مقیاس اصلی. این کران‌ها باید پیش از استفاده از این فرمول با لگاریتم تبدیل شوند.

اگر برآورد نقطه‌ای در وسط بازه نباشد، محاسبه‌گر بازه را نامتقارن علامت می‌زند و باید نتیجه را یک برآورد در نظر گرفت.

پرسش‌های پرتکرار

تفاوت خطای معیار و انحراف معیار چیست؟

انحراف معیار نشان می‌دهد مقادیر تکی چقدر پراکنده‌اند. خطای معیار نشان می‌دهد میانگین با چه دقتی شناخته شده است. این دو با رابطه SE = σ / √n به هم مرتبط‌اند، پس خطای معیار با بزرگ‌تر شدن نمونه کاهش می‌یابد، در حالی که انحراف معیار تغییر نمی‌کند.

چرا به‌جای Z بر 2Z تقسیم می‌کنیم؟

عرض کامل هر دو طرف برآورد را می‌پوشاند. یک حاشیه خطا نیمی از عرض است، پس نیمه‌عرض بر Z تقسیم می‌شود که همان تقسیم عرض کامل بر 2Z است.

آیا می‌توان این را برای بازه مبتنی بر t به کار برد؟

بله، اما باید Z را با مقدار بحرانی t برای n − 1 درجه آزادی جایگزین کرد. استفاده از Z در نمونه کوچک انحراف معیاری کمی کمتر از واقع می‌دهد.

اگر فقط حاشیه خطا گزارش شده باشد چه باید کرد؟

آن را دو برابر کنید تا عرض به دست آید، سپس همان مراحل را دنبال کنید.

آیا برآورد نقطه‌ای پاسخ را تغییر می‌دهد؟

خیر. فقط عرض، سطح اطمینان و حجم نمونه در فرمول وارد می‌شوند. برآورد فقط برای بررسی متقارن بودن بازه استفاده می‌شود.