Kartioleikkauslaskuri - Ympyrä, Ellipsi, Paraabeli

Mikä on kartioleikkauslaskin?

Kartioleikkauslaskin määrittää ympyrän, ellipsin, paraabelin tai hyperbelin eksentrisyyden ja normaalimuodon yhtälön muutaman mittaustuloksen perusteella. Nämä neljä käyrää syntyvät, kun taso leikkaa kartion eri kulmissa.

Kartioleikkausten neljä tyyppiä

Kun kartio leikataan kohtisuoraan sen akseliin nähden, syntyy ympyrä. Tason kallistaminen tuottaa ellipsin. Kartion sivun suuntaisesti tehty leikkaus tuottaa paraabelin. Kaksoiskartion molempien puolikkaiden läpi kulkeva leikkaus tuottaa hyperbelin.

Jokaisella käyrällä on eksentrisyys, luku, joka ilmaisee, kuinka paljon se poikkeaa täydellisestä ympyrästä.

• Ympyrä: $e = 0$
• Ellipsi: $0 < e < 1$
• Paraabeli: $e = 1$
• Hyperbeli: $e > 1$

Laskurin käyttö

1. Valitse kartioleikkauksen tyyppi: ympyrä, ellipsi, paraabeli tai hyperbeli.
2. Syötä tarvittavat mittaustulokset.
   • Ympyrä: säde ($r$)
   • Ellipsi: iso puoliakseli ($a$) ja pieni puoliakseli ($b$)
   • Paraabeli: polttoväli ($f$)
   • Hyperbeli: poikittaisakselin puolikas ($a$) ja konjugaattiakselin puolikas ($b$)
3. Eksentrisyys ja normaalimuodon yhtälö tulevat automaattisesti näkyviin, kun valitulle kartioleikkaukselle on syötetty kelvolliset positiiviset arvot; erillistä Laske-painiketta ei tarvitse napsauttaa.
4. Käyrän kuvaaja piirretään tulosten alapuolelle.

Laskin näyttää yhtälön siten, että syötetyt luvut on jo sijoitettu siihen. Siksi ellipsi, jolle $a = 5$ ja $b = 3$, esitetään muodossa $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Tämä on sama yhtälö kuin $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Eksentrisyys näytetään neljän desimaalin tarkkuudella.

Kaikkien syötteiden on oltava positiivisia lukuja. Ellipsillä iso puoliakseli ei saa olla pientä puoliakselia lyhyempi, koska iso puoliakseli määritellään pidemmäksi. Hyperbelillä tällaista sääntöä ei ole: poikittaisakselin puolikas ja konjugaattiakselin puolikas voivat olla mitkä tahansa positiiviset pituudet, myös yhtä pitkät.

Ympyrän kaava

Kun ympyrän säde on $r$ ja keskipiste on origossa:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Eksentrisyys: $e = 0$.

Ympyrä on ellipsin erikoistapaus, jossa molemmat akselit ovat yhtä pitkät ja molemmat polttopisteet sijaitsevat keskipisteessä.

Ellipsin kaava

Kun ellipsin keskipiste on origossa, iso puoliakseli on $a$ ja pieni puoliakseli $b$, missä $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Esimerkki: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Yhtälö: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kun $a = b$, ellipsistä tulee ympyrä ja $e = 0$.

Paraabelin kaava

Kun paraabeli aukeaa oikealle ja sen polttoväli $f$ on kärkipisteen ja polttopisteen välinen etäisyys:

$$y^2 = 4fx$$

Eksentrisyys: $e = 1$ aina.

Esimerkki: $f = 2$. Yhtälö: $y^2 = 8x$.

Hyperbelin kaava

Kun hyperbelin keskipiste on origossa, poikittaisakselin puolikas on $a$ ja konjugaattiakselin puolikas $b$, missä $a$ ja $b$ ovat mitä tahansa positiivisia lukuja:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Poikittaisakselin puolikas $a$ on puolet kahden kärkipisteen välisestä etäisyydestä; kärkipisteet ovat kohtia, joissa käyrä kääntyy. Konjugaattiakselin puolikas $b$ on puolet konjugaattiakselin pituudesta. Tämä jana kulkee keskipisteen kautta suorassa kulmassa poikittaisakseliin nähden. Se määrää, kuinka nopeasti haarat avautuvat.

Toisin kuin ellipsillä, hyperbelillä $a$:n ei tarvitse olla suurempi kuin $b$. Pituudet ovat toisistaan riippumattomia, joten $b$ voi olla pienempi, yhtä suuri tai suurempi kuin $a$. Kun $a = b$, käyrää kutsutaan suorakulmaiseksi hyperbeliksi, jonka eksentrisyys on $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Esimerkki: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Yhtälö: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Kartioleikkausten käyttö tosielämässä

Planeetat ja komeetat liikkuvat kartioleikkausten muotoisilla radoilla. Keplerin ensimmäisen lain mukaan planeetan rata on ellipsi, jonka toisessa polttopisteessä on Aurinko. Jotkin komeetat kulkevat paraabelin tai hyperbelin muotoista rataa eivätkä koskaan palaa.

Paraabelit kohdistavat yhdensuuntaiset säteet yhteen pisteeseen, joten insinöörit käyttävät paraabelin muotoja satelliittiantenneissa, teleskooppien peileissä ja auton ajovaloissa. Hyperbelikäyriä esiintyy jäähdytystornien seinämissä, joissa muoto lisää lujuutta ja vähentää materiaalin tarvetta. Ellipsejä käytetään kaarissa, kuiskausgallerioiden katoissa ja hammaspyörien suunnittelussa.

Kartioleikkausten lyhyt historia

Kreikkalainen matemaatikko Menaikhmos tutki kartioleikkauksia noin 350 eaa. yrittäessään ratkaista kuution kahdentamisen ongelmaa. Perge Apollonios kirjoitti yksityiskohtaisen tutkielman nimeltä Kartioleikkaukset noin 200 eaa. Hän nimesi ellipsin, paraabelin ja hyperbelin sekä kuvasi niiden ominaisuudet. Vuosisatoja myöhemmin Johannes Kepler käytti ellipsiä planeettojen liikkeen kuvaamiseen, ja Isaac Newton käytti kartioleikkauksia painovoiman selittämiseen.

Usein kysyttyä

Mitkä ovat kartioleikkausten neljä tyyppiä?

Ympyrä, ellipsi, paraabeli ja hyperbeli. Kukin syntyy, kun taso leikkaa kartion eri kulmassa, ja kullakin on oma eksentrisyysalueensa.

Miten eksentrisyys lasketaan?

Ympyrän eksentrisyys on vakio ($e = 0$), samoin paraabelin ($e = 1$). Ellipsille $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, kun käytetään isoa puoliakselia $a$ ja pientä puoliakselia $b$. Hyperbelille $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, kun käytetään poikittaisakselin puolikasta $a$ ja konjugaattiakselin puolikasta $b$.

Täytyykö hyperbelin poikittaisakselin puolikkaan olla pidempi kuin konjugaattiakselin puolikkaan?

Ei. Toisin kuin ellipsin iso ja pieni puoliakseli, hyperbelin poikittaisakselin puolikas ($a$) ja konjugaattiakselin puolikas ($b$) ovat toisistaan riippumattomia mittoja. Molempien on oltava positiivisia, mutta kumpi tahansa voi olla pidempi.

Voiko ellipsistä tulla ympyrä?

Kyllä. Kun iso puoliakseli on yhtä pitkä kuin pieni puoliakseli, ellipsi on ympyrä ja sen eksentrisyys on 0.

Miksi satelliittiantenneissa käytetään paraabelin muotoa?

Paraabeli heijastaa akselinsa suuntaisesti kulkevat säteet yhteen polttopisteeseen. Satelliittiantennit ja teleskooppien peilit hyödyntävät tätä ominaisuutta keskittääkseen signaalit tai valon yhteen pisteeseen.

Mikä on suorakulmainen hyperbeli?

Suorakulmainen hyperbeli on hyperbeli, jossa poikittaisakselin puolikas on yhtä pitkä kuin konjugaattiakselin puolikas ($a = b$). Sen asymptootit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja sen eksentrisyys on $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Viitteet

1. Kartioleikkaus – Wikipedia
2. Kartioleikkausten eksentrisyys – Khan Academy
3. Kartioleikkaukset – OpenStax