Kartion halkaisijan laskuri - Laske korkeus ja säde käyttäen

Mikä on kartion halkaisija?

Kartion halkaisija on sen ympyränmuotoisen pohjan leveys mitattuna suorana viivana keskipisteen kautta. Se on kaksi kertaa pohjan säde. Kartio voidaan kuvata myös sen korkeuden (suora etäisyys pohjasta kärkeen) ja sivujanan (etäisyys kärjestä kartion ulkopintaa pitkin pohjan reunaan) avulla. Jos mitkä tahansa kaksi näistä kolmesta arvosta tunnetaan, kolmas voidaan laskea.

Kartion halkaisijan kaava

Halkaisija voidaan laskea kahdella yleisellä tavalla sen mukaan, mitkä mitat ovat tiedossa.

Korkeuden ja sivujanan avulla:

$d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$

Tässä d on halkaisija, s sivujana ja h korkeus. Tämä perustuu Pythagoraan lauseeseen: sivujana on korkeuden ja säteen muodostaman suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, joten $s^2 = h^2 + r^2$. Kun säde ratkaistaan ja kerrotaan kahdella, saadaan halkaisija. Laskin laskee saman arvon vastaavassa muodossa $2\sqrt{(s-h)(s+h)}$. Molemmat muodot antavat saman vastauksen, mutta jälkimmäinen säilyttää enemmän oikeita numeroita, kun sivujana on vain hieman korkeutta suurempi.

Säteen avulla:

$d = 2r$

Tämä on yksinkertaisesti halkaisijan määritelmä. Jos säde tunnetaan jo, muita mittoja ei tarvita.

Sivujanan on aina oltava korkeutta pidempi, koska se on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja hypotenuusa on aina pisin sivu. Jos sivujana on yhtä pitkä kuin korkeus tai sitä lyhyempi, kuvattu muoto ei ole kelvollinen kartio.

Kartion halkaisijan laskeminen

Menetelmä 1: korkeus ja sivujana

1. Mittaa korkeus (h), eli suora pystysuora etäisyys pohjasta kärkeen.
2. Mittaa sivujana (s), eli etäisyys kärjestä pohjan reunaan kartion pintaa pitkin.
3. Korota molemmat arvot toiseen potenssiin, vähennä korkeuden neliö sivujanan neliöstä ja ota neliöjuuri: $\sqrt{s^2 - h^2}$.
4. Kerro tulos luvulla 2 saadaksesi halkaisijan.

Menetelmä 2: säde

1. Mittaa säde (r), eli etäisyys pohjan keskipisteestä sen reunaan.
2. Kerro luvulla 2.

Näistä kahdesta menetelmästä tulee käyttää kerrallaan vain toista. Korkeuden, sivujanan ja säteen ilmoittaminen yhdessä on monitulkintaista, koska kolme arvoa eivät välttämättä kuvaa keskenään yhteensopivaa kartiota.

Laskuesimerkki

Esimerkki 1: korkeus ja sivujana

Kartion korkeus on 3 yksikköä ja sivujana 5 yksikköä.

$d = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$

Halkaisija on 8 yksikköä.

Esimerkki 2: säde

Kartion säde on 4 yksikköä.

$d = 2 \times 4 = 8$

Halkaisija on 8 yksikköä. Tämä vastaa esimerkkiä 1, koska kartiolla, jonka korkeus on 3 ja sivujana 5, pohjan säde on 4.

Esimerkki 3: litteä kartio

Kartion korkeus on 0,1 yksikköä ja sivujana 10 yksikköä.

$d = 2\sqrt{10^2 - 0.1^2} = 2\sqrt{100 - 0.01} = 2\sqrt{99.99} \approx 19.999$

Halkaisija on noin 20,00 yksikköä. Kun korkeus on hyvin pieni verrattuna sivujanaan, halkaisija lähestyy sivujanan kaksinkertaista pituutta.

Esimerkki 4: neulamainen kartio

Kartion korkeus on 9,99 yksikköä ja sivujana 10 yksikköä.

$d = 2\sqrt{10^2 - 9.99^2} = 2\sqrt{100 - 99.8001} = 2\sqrt{0.1999} \approx 0.894$

Halkaisija on noin 0,89 yksikköä. Kun sivujana on vain hieman korkeutta pidempi, kartio on korkea ja kapea ja sen pohjan halkaisija on pieni.

Kartion halkaisijan laskennan käyttökohteet

Kartion halkaisijaa tarvitaan kaikkialla, missä kartiomaisia muotoja mitataan tai rakennetaan. Insinöörit käyttävät sitä suppiloiden, suuttimien ja kartiomaisten säiliöiden suunnittelussa. Valmistajat käyttävät sitä muottien ja kartiomaisten osien mitoituksessa. Geologit käyttävät samankaltaisia mittauksia tulivuorten kartioiden kuvaamiseen. Sama korkeuden, sivujanan ja säteen välinen yhteys pätee kaikkiin suoriin ympyräkartioihin paperisesta juhlahatusta raketin nokkakartioon.

Historia

Kartioiden matemaattinen tutkimus juontaa juurensa antiikin Kreikkaan. Pergeeläinen Apollonios, joka työskenteli noin vuonna 200 eaa., kirjoitti merkittävän teoksen nimeltä Conics, jossa tarkasteltiin, miten tasot leikkaavat kartioita muodostaen ympyröitä, ellipsejä, paraabeleja ja hyperbelejä. Pythagoraan lauseeseen perustuva kartion korkeuden, säteen ja sivujanan välinen perusyhteys on tunnettu antiikista lähtien, ja sitä käytetään edelleen nykyisin.

Usein kysyttyä

Mikä on kartion halkaisija?

Se on kartion ympyränmuotoisen pohjan leveys mitattuna suorana keskipisteen kautta. Se on kaksi kertaa pohjan säde.

Miten kartion halkaisija lasketaan ilman sädettä?

Käytä korkeutta ja sivujanaa kaavassa $d = 2\sqrt{s^2 - h^2}$. Kaavassa käytetään Pythagoraan lausetta säteen löytämiseen ja kerrotaan tulos sitten kahdella.

Mikä on kartion halkaisijan, korkeuden ja sivujanan välinen yhteys?

Korkeus, säde ja sivujana muodostavat suorakulmaisen kolmion. Sivujana on hypotenuusa, korkeus toinen kateetti ja säde toinen kateetti: $s^2 = h^2 + r^2$. Halkaisija on kaksi kertaa säde.

Miksi laskin hylkää jotkin arvot?

Korkeuden on oltava suurempi kuin nolla. Sivujanan on oltava korkeutta suurempi, koska hypotenuusa ei voi olla kateettia lyhyempi tai sen pituinen. Säteen on oltava suurempi kuin nolla. Korkeus ja sivujana tai säde tulee syöttää omana tietonaan; kaikkien kolmen syöttäminen kerralla on monitulkintaista, joten se hylätään. Jos säde syötetään korkeuden kanssa, käytetään pelkkää sädettä, koska säde määrittää halkaisijan jo yksin.

Voiko kartiolla olla kaksi eri halkaisijaa?

Tavallisella kartiolla on yksi halkaisija pohjassaan, ja se päättyy kärkeen. Katkaistu kartio, eli kartio, jonka terävä yläosa on leikattu pois, on halkaisijaltaan kaksi erilaista: yksi kummassakin tasaisessa päädyssä.

Mitä yksiköitä tulisi käyttää?

Mikä tahansa keskenään yhtenäinen yksikkö käy, kuten senttimetrit, metrit tai tuumat. Tulos ilmoitetaan samassa yksikössä kuin lähtöarvot.

Viitteet

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. O'Connor, J.J. ja Robertson, E.F. "Conic sections." MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrewsin yliopisto. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Conic_sections/