Suorakulmaisen kartion laskuri - Tilavuus, Pinta-ala & Kaavat

Mikä on suora ympyräkartio?

Suora ympyräkartio on kappale, jolla on tasomainen ympyränmuotoinen pohja ja yksi kaareva sivu, joka kapenee yhteen pisteeseen eli huippuun. Sitä kutsutaan suoraksi, koska huippu sijaitsee suoraan pohjan keskipisteen yläpuolella. Huipusta suoraan alas pohjaan kulkeva jana kohtaa pohjan suorassa kulmassa. Tämä laskin määrittää kartion säteen ja korkeuden perusteella tilavuuden, pohjan pinta-alan, vaipan pinta-alan ja kokonaispinta-alan.

Tällaisia muotoja ovat esimerkiksi liikennekartiot, jäätelötötteröt, suppilot ja joidenkin tornien katot.

Kartion mitat

Suoran ympyräkartion määrittävät kaksi mittaa:

• Säde (r): etäisyys ympyränmuotoisen pohjan keskipisteestä sen reunaan.
• Korkeus (h): suora pystysuora etäisyys pohjasta huippuun.

Kolmas pituus, sivujana (l), on kartion ulkopintaa pitkin huipusta pohjan reunaan kulkeva etäisyys. Sitä ei mitata suoraan. Sen sijaan se lasketaan säteen ja korkeuden avulla, koska nämä kolme pituutta muodostavat suorakulmaisen kolmion. Laskin käyttää sivujanaa vaipan pinta-alan määrittämiseen, mutta ei näytä sitä erillisenä tuloksena.

Laskin ei edellytä tiettyä yksikköä. Syötä säde ja korkeus samassa yksikössä. Tällöin kaikki pinta-alat ilmoitetaan kyseisen yksikön neliöinä ja tilavuus sen kuutioina. Kumpikaan arvo ei voi olla negatiivinen, koska pituus ei voi olla negatiivinen; laskin näyttää tällöin tuloksen sijaan ilmoituksen. Tulokset annetaan neljän desimaalin tarkkuudella.

Kartion kaavat

Sivujanan kaava

Säde, korkeus ja sivujana muodostavat suorakulmaisen kolmion, joten sivujana saadaan Pythagoraan lauseesta:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Pohjan pinta-alan kaava

Pohja on ympyrä, joten sen pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alan vakiokaavalla:

$$A_b = \pi r^2$$

Vaipan pinta-alan kaava

Vaipan pinta-ala kattaa vain kaarevan sivun, ei pohjaa. Jos kaareva sivu levitettäisiin tasoksi, se muodostaisi ympyräsektorin, jonka pinta-ala on:

$$A_l = \pi r l$$

Kokonaispinta-alan kaava

Kokonaispinta-ala saadaan laskemalla pohjan pinta-ala ja vaipan pinta-ala yhteen:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Pohjasta avoin kartio, kuten paperisuppilo, tarvitsee materiaalilaskuissa vain vaipan pinta-alan.

Kartion tilavuuden kaava

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Kartion tilavuus on täsmälleen yksi kolmasosa sylinterin tilavuudesta, kun sylinterillä on sama pohja ja korkeus. Arkhimedes todisti tämän yhteyden menetelmällä, joka edelsi differentiaali- ja integraalilaskentaa. Myöhemmin tulos vahvistettiin integraalilaskennalla, jossa kartio käsitellään äärettömänä pinona pohjasta huippuun pieneneviä ympyränmuotoisia kiekkoja.

Kartion tilavuuden laskeminen: esimerkkitehtävä

Tarkastellaan kartiota, jonka säde on r = 5 yksikköä ja korkeus h = 12 yksikköä.

1. Laske sivujana.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ yksikköä}$$

2. Laske pohjan pinta-ala.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ yksikköä}^2$$

3. Laske vaipan pinta-ala.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ yksikköä}^2$$

4. Laske kokonaispinta-ala.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ yksikköä}^2$$

5. Laske tilavuus.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ yksikköä}^3$$

Kuva

Pystysuora katkoviiva kuvaa pohjasta huippuun ulottuvaa korkeutta. Vaakasuora katkoviiva kuvaa pohjan keskipisteestä sen reunaan ulottuvaa sädettä.

Kartioita käytännössä

Kartion tilavuuden ja pinta-alan laskelmia tarvitaan monissa käytännön tilanteissa:

• Ohutlevyjen valmistus: vaipan pinta-ala ilmaisee tasomaisen materiaalin määrän, joka tarvitaan kartiomaisen suppilon, suppilon tai kanavan supistuskappaleen rullaamiseen, ennen saumavaran ja hukan lisäämistä.
• Varastointikapasiteetti: tilavuuskaava antaa kartiomaisten säiliöiden ja siilojen kartiomaisten pohjien tilavuuden.
• Rakentaminen: tornien huiput, tornien yläosat ja muut kartiomaiset kattorakenteet käyttävät vaipan pinta-alaa kattomateriaalin määrän arviointiin.
• Arkipäivän esineet: paperimukit, jäätelötötteröt ja liikennekartiot ovat kaikki likimäärin suoria ympyräkartioita.

Tämä laskin olettaa täydellisen kartion, jolla on ympyränmuotoinen pohja ja pohjan keskipisteen yläpuolella sijaitseva huippu. Yläosasta katkaistu kartio eli katkaistu kartio tarvitsee erilaiset kaavat, koska sillä on yhden sijaan kaksi sädettä.

Historia

Muinaiset kreikkalaiset matemaatikot tutkivat kartioita jo noin 300 eaa. Eukleideen Alkeet-teoksessa kartio määritellään kappaleeksi, joka syntyy, kun suorakulmaista kolmiota kierretään yhden kateetin ympäri. Myöhemmin Pergean Apollonios tutki käyriä, jotka syntyvät leikkaamalla kartiota eri kulmissa; niitä kutsutaan nykyään kartioleikkauksiksi: ympyräksi, ellipsiksi, paraabeliksi ja hyperbeliksi. Arkhimedes todisti tilavuuskaavan V = (1/3)πr²h ekshaustiomenetelmällä, geometrisella tekniikalla, joka ennakoi integraalilaskentaa noin 2 000 vuodella.

Usein kysyttyä

Mikä tekee kartiosta suoran ympyräkartion?

”Suora” tarkoittaa, että huippu on suoraan pohjan keskipisteen yläpuolella, joten akseli on kohtisuorassa pohjaa vastaan. Vinossa kartiossa huippu on sivussa pohjan keskipisteestä. ”Ympyrä” tarkoittaa, että pohja on ympyrä eikä ellipsi tai jokin muu muoto.

Mikä on kartion tilavuuden kaava?

V = (1/3)πr²h, missä r on pohjan säde ja h kohtisuora korkeus. Tilavuuden laskemiseen ei tarvita sivujanaa.

Mikä on kartion pinta-alan kaava?

Kokonaispinta-ala on A = πr² + πrl, missä r on säde ja l sivujana. Ensimmäinen termi on pohjan pinta-ala ja toinen vaipan pinta-ala. Jätä ensimmäinen termi pois, jos kartiolla ei ole pohjaa, kuten avoimella suppilolla.

Mikä on sivujana, ja miten se eroaa korkeudesta?

Korkeus on pohjasta huippuun kulkeva suora pystysuora etäisyys, joka mitataan kartion sisäosan kautta. Sivujana on kartion ulkopintaa pitkin huipusta pohjan reunaan kulkeva etäisyys. Niitä yhdistää kaava l = √(r² + h²), ja sivujana on aina näistä kahdesta pidempi, kun säde on suurempi kuin nolla.

Miten kartion tilavuus lasketaan halkaisijan perusteella?

Jaa halkaisija luvulla 2 saadaksesi säteen ja käytä sitten kaavaa V = (1/3)πr²h. Esimerkiksi kartiolla, jonka halkaisija on 10 cm ja korkeus 15 cm, säde on 5 cm, joten V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Toimiiko tämä laskin katkaistuille kartioille?

Ei. Katkaistu kartio on yläosasta katkaistu kartio, joten sillä on yhden sijaan kaksi sädettä ja se tarvitsee omat tilavuuden ja pinta-alan kaavansa.