Kartion sivujanan pituus

Kartion sivujanan pituus on etäisyys huipusta eli terävästä kärjestä ympyränmuotoisen pohjan reunaan kartion ulkopintaa pitkin mitattuna. Se eroaa korkeudesta, joka kulkee suoraan kartion keskikohdan kautta alaspäin. Tämä laskuri määrittää suoran ympyräkartion sivujanan pituuden, säteen tai korkeuden kahden muun arvon perusteella.

Mikä on sivujanan pituus?

Suorassa ympyräkartiossa on tasainen ympyränmuotoinen pohja ja sen keskipisteen yläpuolella suoraan oleva terävä huippu. Sen muotoa kuvaavat kolme mittaa:

• Säde (r) — etäisyys pohjan keskipisteestä sen reunaan.
• Korkeus (h) — pohjan ja huipun välinen suora, kohtisuora etäisyys.
• Sivujanan pituus (l) — etäisyys huipusta pohjan reunaan kartion kaltevaa pintaa pitkin mitattuna.

Nämä kolme pituutta muodostavat suorakulmaisen kolmion. Korkeus on toinen kateetti, säde toinen kateetti ja sivujanan pituus hypotenuusa eli pisin sivu, joka on suoraa kulmaa vastapäätä.

Sivujanan kaava

Koska säde, korkeus ja sivujanan pituus muodostavat suorakulmaisen kolmion, Pythagoraan lausetta voidaan käyttää:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Tässä $l$ on sivujanan pituus, $r$ on säde ja $h$ on korkeus.

Kaava voidaan järjestää uudelleen kumman tahansa muun pituuden määrittämiseksi, jos sivujanan pituus ja toinen arvo tunnetaan.

Säteen määrittäminen:

$$r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

Korkeuden määrittäminen:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$

Kartion sivujanan pituuden laskeminen

1. Mittaa kartion säde ja korkeus tai merkitse ne muistiin käyttäen molemmissa samaa yksikköä (esimerkiksi senttimetrejä).
2. Korota kumpikin arvo toiseen potenssiin ja laske sitten tulokset yhteen.
3. Ota saadusta summasta neliöjuuri. Tulos on sivujanan pituus samassa yksikössä.

Laskuri pyöristää vastauksen neljän desimaalin tarkkuuteen.

Laskuesimerkki

Kartion säde on 3 yksikköä ja korkeus 4 yksikköä. Sivujanan pituuden määrittämiseksi:

$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ yksikköä}$$

Sivujanan pituus on 5 yksikköä.

Sama menetelmä toimii käänteisesti. Kartion sivujanan pituus on 13 yksikköä ja korkeus 12 yksikköä. Säteen määrittämiseksi:

$$r = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ yksikköä}$$

Säde on 5 yksikköä.

Kelvolliset arvot

Säteen, korkeuden ja sivujanan pituuden on oltava positiivisia lukuja. Kartio, jonka säde tai korkeus on nolla, on tilavuudeltaan tyhjä eikä ole todellinen kolmiulotteinen kappale.

Sivujanan pituuden on aina oltava suurempi kuin sekä säde että korkeus. Tämä seuraa suoraan Pythagoraan lauseesta: suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on aina kumpaa tahansa kateettia pidempi. Jos annettu sivujanan pituus on pienempi tai yhtä suuri kuin annettu säde tai korkeus, näillä mitoilla ei ole olemassa kelvollista kartiota, ja laskuri ilmoittaa virheellisestä syötteestä näyttämättä väärää lukua. Samalla tavalla hylätään syötteet, jotka eivät ole tavallisia lukuja, kuten teksti tai laskurin käsiteltäväksi liian suuri luku.

Miksi sivujanan pituudella on merkitystä

Sivujanan pituutta käytetään kartion vaipan pinta-alan eli pohjaa lukuun ottamatta jäävän kaarevan pinnan määrittämiseen kaavalla $\pi r l$. Tätä tarvitaan esimerkiksi seuraavissa tehtävissä:

• Kartion muodostamiseen tarvittavan oikean sektorin muotoon leikatun pellin tai paperin leikkaaminen esimerkiksi suppiloita, paperimukeja tai lampunvarjostimia varten.
• Kartiomaisten kattojen, tornien tai siilojen materiaalimäärän arvioiminen.
• Geometriaongelmien ratkaiseminen, joissa Pythagoraan lausetta sovelletaan kolmiulotteisesti.

Usein kysyttyä

Mikä on kartion sivujanan pituus? Se on kartion huipun ja pohjan reunan välinen etäisyys kartion kaltevaa pintaa pitkin mitattuna, ei suoraan keskikohdan kautta alaspäin.

Miten kartion sivujanan pituus lasketaan? Käytä kaavaa $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, jossa $r$ on säde ja $h$ on korkeus. Korota kumpikin arvo toiseen potenssiin, laske ne yhteen ja ota summasta neliöjuuri.

Mikä ero on sivujanan pituudella ja korkeudella? Korkeus on pohjan ja huipun välinen suora, kohtisuora jana. Sivujanan pituus kulkee kartion ulkopintaa pitkin huipusta pohjan reunaan, joten se on aina näistä kahdesta pidempi.

Voiko sivujanan pituus olla sädettä tai korkeutta lyhyempi? Ei. Koska sivujanan pituus on säteen ja korkeuden kanssa muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, se on aina kumpaa tahansa niistä pidempi.

Toimiiko tämä kaava mille tahansa kartiolle? Se koskee suoraa ympyräkartiota, jossa on ympyränmuotoinen pohja ja suoraan sen yläpuolelle keskitetty huippu. Vino kartio, jossa huippu sijaitsee sivussa, edellyttää erilaista laskentaa.

Mitä yksiköitä pitäisi käyttää? Mikä tahansa yksikkö käy, kunhan säde ja korkeus annetaan molemmat samassa yksikössä. Tulos ilmoitetaan samassa yksikössä.

Viitteet

1. Kartio – Wikipedia
2. Pythagoraan lause – Khan Academy