Calculateur de plan d’épargne : valeur future avec dépôts

Calculateur de plan d’épargne

Un calculateur de plan d’épargne estime la valeur d’un compte d’épargne ou de placement après un nombre d’années choisi. Il combine un dépôt initial unique avec une contribution régulière versée mensuellement, trimestriellement ou annuellement, puis fait fructifier les deux avec des intérêts composés.

Fonctionnement du calculateur

Le calculateur prend sept paramètres : le dépôt initial, la contribution régulière, la fréquence des contributions (mensuelle, trimestrielle ou annuelle), le moment où chaque contribution est versée, au début ou à la fin de sa période, le taux d’intérêt annuel, la fréquence de capitalisation des intérêts et le nombre d’années pendant lesquelles l’argent fructifie.

Il renvoie trois chiffres : la valeur future (le solde final), le total des contributions (le dépôt initial plus tous les dépôts réguliers) et le total des intérêts produits (la différence entre les deux). Un graphique montre le solde à la fin de chaque période de contribution.

Le dépôt initial peut aller de 0 $US à 1 $US billion de dollars et la contribution de 0 $US à 1 $US milliard de dollars par période. Le taux d’intérêt peut aller de 0 % à 100 %. Le nombre d’années doit être supérieur à 0 et inférieur ou égal à 100. Au moins l’un du dépôt et de la contribution doit être supérieur à 0 $US.

Comment calculer la valeur future d’un plan d’épargne

Deux résultats classiques sont combinés, tous deux décrits dans les articles Wikipédia « Valeur future » et « Annuité ».

Le dépôt initial fructifie uniquement grâce aux intérêts composés :

VF(dépôt) = P₀ × (1 + i)ˣ

La série de dépôts réguliers fructifie comme une annuité :

VF(contributions) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ représente le dépôt initial.
• PMT représente la contribution régulière.
• i représente le taux d’intérêt pour une période de contribution.
• x représente l’horizon mesuré en périodes de contribution (années × périodes par an).
• N représente le nombre de dépôts effectivement versés.
• A représente le facteur d’annuité, c’est-à-dire la valeur future de 1 $US versé à chaque période pendant N périodes.

Le facteur d’annuité dépend du moment où les dépôts sont versés :

Un dépôt effectué au début de chaque période produit des intérêts pendant une période supplémentaire, ce qui explique le facteur supplémentaire (1 + i). Lorsque le taux est de 0 %, le facteur d’annuité est N : les dépôts s’additionnent sans fructifier.

La valeur future est la somme des deux composantes. Le total des intérêts correspond à la valeur future moins tout ce qui a été versé.

Lorsque la capitalisation et les contributions ont des fréquences différentes

Les intérêts peuvent être capitalisés plus ou moins souvent que les dépôts ne sont versés, par exemple avec une capitalisation mensuelle et des dépôts trimestriels. Le calculateur convertit le taux annuel nominal r, capitalisé n fois par an, en taux effectif pour une période de contribution (voir l’article Wikipédia « Taux d’intérêt effectif ») :

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

où m représente le nombre de contributions par an. Avec un taux annuel de 5 % capitalisé mensuellement et des dépôts trimestriels, i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % par trimestre. Lorsque les deux fréquences correspondent, i est directement égal à r/n.

Exemple détaillé

Un plan commence par 1 000 $US et ajoute 100 $US au début de chaque mois pendant 10 ans, à un taux annuel de 5 %, capitalisé mensuellement. Ce sont les valeurs par défaut du calculateur.

1. Périodes par an m = 12, donc l’horizon est de x = 120 périodes et N = 120 dépôts.
2. Le taux mensuel est i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Facteur de croissance : (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Dépôt initial : 1 000 $US × 1,647009 ≈ 1 647,01 $US.
5. Facteur d’annuité (à terme échu) : (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Les dépôts étant versés au début de chaque mois, on multiplie par (1 + i) : 155,929289.
6. Contributions : 100 $US × 155,929289 ≈ 15 592,93 $US.
7. Valeur future : 1 647,01 $US + 15 592,93 $US = 17 239,94 $US.

Le total des contributions est de 1 000 $US + 120 × 100 $US = 13 000 $US, donc le total des intérêts est de 17 239,94 $US − 13 000 $US = 4 239,94 $US. Avec le même plan, mais des dépôts effectués à la fin de chaque mois, la valeur future est de 17 175,24 $US, soit environ 65 $US de moins.

Second exemple avec des dépôts en fin de mois : dépôt initial de 5 000 $US, 200 $US par mois, taux de 6 % capitalisé mensuellement, pendant 20 ans. Ici, (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, le dépôt atteint 16 551,02 $US, le facteur d’annuité est de 462,040895 et les contributions atteignent 92 408,18 $US. La valeur future est de 108 959,20 $US : 53 000 $US ont été versés et 55 959,20 $US correspondent aux intérêts. Ce résultat correspond à celui du calculateur d’intérêts composés de la Securities and Exchange Commission des États-Unis sur Investor.gov, avec lequel le moteur de l’outil a été vérifié.

Conventions utilisées par ce calculateur

Par défaut, les dépôts sont effectués au début de la période. La plupart des plans d’épargne réels débitent le compte au début de chaque mois ; il s’agit donc par défaut d’une annuité à échoir. De nombreux manuels et calculateurs supposent plutôt une annuité à terme échu ; l’option de moment permet de passer de l’une à l’autre.

Pour les années fractionnaires, le nombre de dépôts dépend du moment où ils sont effectués. Sur 2,5 années de dépôts annuels, un plan en fin de période effectue 2 dépôts (seules les années achevées donnent lieu à un versement), tandis qu’un plan en début de période en effectue 3 (chaque année saisie donne lieu à un versement au début de celle-ci). Chaque dépôt effectué, ainsi que la somme initiale, fructifie jusqu’à l’horizon exact, y compris pendant la dernière période partielle.

Les résultats sont nominaux. Aucune inflation, taxe ni commission n’est déduite. La valeur future correspond à ce qu’indiquerait le relevé du compte, et non à son pouvoir d’achat.

L’arrondissement n’a lieu qu’une seule fois, à la fin. La valeur future et le total des contributions sont chacun arrondis au centime, et le total des intérêts est leur différence ; les trois chiffres affichés donnent donc toujours exactement leur somme.

Foire aux questions

Quelle est la valeur future d’un plan d’épargne ? Il s’agit du solde du compte à la fin du plan : le dépôt initial et chaque dépôt régulier, chacun ayant produit des intérêts composés depuis son versement jusqu’à la fin.

Le fait de contribuer au début du mois a-t-il vraiment de l’importance ? Oui, légèrement. Chaque dépôt produit des intérêts pendant une période supplémentaire, ce qui multiplie la composante des contributions du solde par (1 + i). Dans l’exemple par défaut, la différence sur 10 ans est de 64,70 $US.

Pourquoi la fréquence de capitalisation modifie-t-elle le résultat ? Une capitalisation plus fréquente crédite les intérêts plus tôt ; les intérêts commencent donc eux-mêmes à produire des intérêts plus tôt. Le calculateur intègre cela dans le taux effectif par période i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, de sorte que toute combinaison de fréquences de capitalisation et de contribution est traitée exactement.

Que se passe-t-il avec un taux d’intérêt de 0 % ? La valeur future est simplement la somme de toutes les sommes versées. Le plan par défaut à 0 % se termine exactement à 13 000 $US, avec 0 $US d’intérêts.

Le calculateur tient-il compte de l’inflation ou des impôts ? Non. Tous les résultats sont des montants nominaux en dollars. Pour estimer le pouvoir d’achat, il est possible de saisir à la place un taux « réel » inférieur, mais l’outil n’accepte pas les taux négatifs.

Pourquoi le total des intérêts correspond-il à la valeur future moins le total des contributions ? Les intérêts représentent chaque dollar du compte qui n’a pas été versé. Puisque les dépôts sont inclus dans le total des contributions, tout ce qui reste de la valeur future provient nécessairement de la capitalisation.

Références

1. "Future value." Wikipédia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipédia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipédia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." Securities and Exchange Commission des États-Unis, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.