מחשבון קשת - חישוב רדיוס, מפתח ועלייה

מהו מחשבון קשתות?

מחשבון קשתות מוצא את המידות של קשת מעגלית — הרדיוס, המפתח והחץ — על סמך כל שניים מהערכים האלה. הוא גם מחשב את אורך הקשת ואת שטח הקשת. אדריכלים, בונים וחובבים משתמשים בו לתכנון פתחים לדלתות, חלונות, גשרים ואלמנטים בגינה המעוצבים כעקומה.

מידות קשת עיקריות

קשת מעגלית היא חלק שנחתך מהיקף של מעגל. חמש מידות מתארות את צורתה:

• רדיוס: המרחק ממרכז המעגל לכל נקודה על העקומה של הקשת.
• מפתח: המרחק האופקי הישר בין שני הקצוות התחתונים של הקשת, המכונה גם רוחב.
• חץ: המרחק האנכי מקו המוצא (הקו האופקי המחבר בין שני הקצוות) עד לנקודה הגבוהה ביותר של הקשת.
• אורך הקשת: המרחק לאורך הקו המעוקל של הקשת, מקצה אחד לקצה האחר.
• שטח הקשת: השטח של האזור המעוקל הכלוא בין הקשת לקו המוצא.

נוסחאות למידות הקשת

נוסחאות אלה חלות על קשת מעגלית, כלומר קשת הבנויה ממקטע של מעגל יחיד. הן תקפות לכל חץ עד פי שניים מהרדיוס. טווח זה כולל את קשתות הדלתות, החלונות והגשרים שרוב האנשים מחשבים, וכן קשתות פרסה, שבהן העקומה נמשכת מעבר לחצי מעגל.

נוסחת החץ (מרדיוס וממפתח)

$\text{התרוממות} = \text{רדיוס} - \sqrt{\text{רדיוס}^2 - \left(\frac{\text{מפתח}}{2}\right)^2}$

תקף כאשר הרדיוס והמפתח חיוביים והמפתח ≤ 2 × רדיוס.

נוסחת הרדיוס (ממפתח ומחץ)

$\text{רדיוס} = \frac{\text{מפתח}^2}{8 \times \text{התרוממות}} + \frac{\text{התרוממות}}{2}$

תקף כאשר המפתח והחץ חיוביים.

נוסחת המפתח (מרדיוס ומחץ)

$\text{מפתח} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{רדיוס} \times \text{התרוממות} - \text{התרוממות}^2}$

תקף כאשר הרדיוס והחץ חיוביים והחץ ≤ 2 × רדיוס.

נוסחת אורך הקשת

$\text{אורך הקשת} = \text{רדיוס} \times \theta$

כאן θ (תטא) היא הזווית המרכזית, ברדיאנים, שהעקומה של הקשת יוצרת במרכז המעגל. כאשר החץ אינו גדול מהרדיוס, הקשת היא לכל היותר חצי מעגל, ו־θ היא:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{מפתח}}{2 \times \text{רדיוס}}\right)$

כאשר החץ גדול מהרדיוס, הקשת גדולה מחצי מעגל, ו־θ היא יתרת הסיבוב סביב המעגל:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{מפתח}}{2 \times \text{רדיוס}}\right)$

המחשבון מטפל בשני המקרים בצעד אחד באמצעות θ = 2 × atan2(מפתח ÷ 2, רדיוס − חץ), שנשארת מדויקת גם בחצי מעגל.

נוסחת שטח הקשת

$\text{שטח הקשת} = \frac{1}{2} \times \text{רדיוס}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{מפתח} \times (\text{רדיוס} - \text{התרוממות})$

כיצד להשתמש במחשבון הקשתות

המחשבון מציע שלושה מצבים, אחד לכל מידה שעשויה להיות חסרה.

חישוב החץ, כאשר הרדיוס והמפתח ידועים: מזינים את הרדיוס ואת המפתח. הכלי מחזיר את החץ, את אורך הקשת ואת שטח הקשת.

חישוב הרדיוס, כאשר המפתח והחץ ידועים: מזינים את המפתח ואת החץ. הכלי מחזיר את הרדיוס, את אורך הקשת ואת שטח הקשת.

חישוב המפתח, כאשר הרדיוס והחץ ידועים: מזינים את הרדיוס ואת החץ. הכלי מחזיר את המפתח, את אורך הקשת ואת שטח הקשת.

המחשבון דוחה קלט שאינו יכול ליצור קשת ממשית. המפתח אינו יכול לעלות על פי שניים מהרדיוס, החץ אינו יכול לעלות על פי שניים מהרדיוס, וכל מידה חייבת להיות מספר חיובי. כאשר ערך מפר אחד מהכללים האלה, מוצגת הודעת שגיאה.

דוגמה פתורה

דוגמה 1: קשת מעל פתח דלת

לקשת מעל פתח דלת יש מפתח של 36 אינץ' (91.4 cm) וחץ של 12 אינץ' (30.5 cm).

רדיוס = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5 אינץ' (49.5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352 רדיאנים

אורך הקשת = 19.5 × 2.352 = 45.86 אינץ' (116 cm)

שטח הקשת = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18 אינץ' רבוע (2,010 cm²)

דוגמה 2: קשת בגינה

לקשת בגינה יש רדיוס של 4 רגל (1.2 m) ומפתח של 6 רגל (1.8 m).

חץ = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35 רגל (0.411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696 רדיאנים

אורך הקשת = 4 × 1.696 = 6.78 רגל (2.07 m)

שטח הקשת = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63 רגל רבוע (0.523 m²)

דוגמה 3: קשת גשר

לקשת גשר יש מפתח של 50 רגל (15 m) וחץ של 15 רגל (4.57 m).

רדיוס = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33 רגל (8.63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28.33) = 2 × arcsin(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162 רדיאנים

אורך הקשת = 28.33 × 2.162 = 61.25 רגל (18.7 m)

שטח הקשת = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34 רגל רבוע (49.6 m²)

שימושים נפוצים לחישובי קשתות

בונים משתמשים במידות קשתות לחיתוך תבניות לקשתות בטון, לסימון תבניות לבנים או אבנים עבור קשתות בנייה ולתכנון הקימור של תקרות מקומרות. מתכנני גשרים משתמשים במפתח, בחץ וברדיוס כדי לאזן בין חלוקת העומס לבין מרווח המעבר. עבודות שימור מסתמכות על אותן נוסחאות כדי להתאים את הגאומטריה המדויקת של קשת היסטורית בעת תיקונה או בנייתה מחדש. גננים ובוני עשה זאת בעצמך משתמשים בהן לסבכות מקושתות, לשערים ולפתחים דקורטיביים.

מחשבון זה מטפל בקשתות מעגליות בלבד, כלומר בקשתות שנוצרו מקשת של מעגל יחיד. קשתות אליפטיות, פרבוליות, גותיות וקטנריות עוקבות אחר עקומות שונות ודורשות נוסחאות אחרות.

היסטוריה קצרה של הקשת

בונים במסופוטמיה העתיקה השתמשו בצורות מוקדמות דמויות קשת כבר בשנת 2500 לפנה״ס, אף שרובן נבנו בשיטת זיזים — הנחת אבנים כך שכל שכבה בולטת מעבר לשכבה שמתחתיה — ולא כקשת מעוקלת אמיתית. הרומאים פיתחו את הקשת החצי־מעגלית לשיטת בנייה תקנית והשתמשו בה באמות מים, בגשרים ובמבנים כגון הקולוסיאום. בונים באירופה של ימי הביניים פיתחו את הקשת הגותית המחודדת, שאפשרה להם לבנות מבנים גבוהים וקלים יותר. מאוחר יותר חזרו אדריכלים לצורות חצי־מעגליות שהתבססו על יחסים מדויקים, וחומרים מודרניים כמו פלדה ובטון מזוין מאפשרים כיום לקשתות לגשר על מרחקים גדולים בהרבה.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין חץ הקשת לגובה הקשת?

החץ הוא המרחק האנכי מקו המוצא עד לנקודה הגבוהה ביותר של עקומת הקשת. גובה מתייחס לפעמים לגובה הכולל של פתח, כולל כל קיר ישר הנמצא מתחת לקו המוצא.

האם המחשבון מתאים לכל סוגי הקשתות?

לא. הוא מתאים רק לקשתות מעגליות, שצורתן כשל מקטע מעגל. קשתות אליפטיות, פרבוליות, גותיות וקטנריות עוקבות אחר עקומות שונות ודורשות נוסחאות נפרדות.

מה הקשר בין המפתח לרדיוס בקשת חצי־מעגלית?

בקשת חצי־מעגלית, הרדיוס שווה למחצית המפתח, והחץ שווה לרדיוס. הקשת יוצרת בדיוק חצי מעגל.

מדוע המפתח אינו יכול להיות גדול מפי שניים מהרדיוס?

מפתח השווה לפי שניים מהרדיוס כבר יוצר חצי מעגל, שהוא הקשת הרחבה ביותר האפשרית עבור רדיוס זה. מפתח רחב יותר לא יוכל להיכלל במעגל כלל.

מדוע החץ אינו יכול להיות גדול מפי שניים מהרדיוס (במצב חישוב המפתח)?

החץ נמדד מקו המוצא עד לנקודה הגבוהה ביותר של הקשת באותו מעגל. פעמיים הרדיוס הם הגובה המלא של המעגל, ולכן חץ גדול יותר יציב את ראש הקשת מחוץ למעגל לחלוטין. חץ שבין הרדיוס לפעמיים הרדיוס אפשרי. במקרה כזה הקשת גדולה מחצי מעגל, כפי שקורה בקשתות פרסה.

באילו יחידות משתמש המחשבון?

כל יחידת מידה עקבית מתאימה — אינץ', רגל, מטר או סנטימטר. יש להזין כל ערך באותה יחידה, והתוצאות יתקבלו באותה יחידה, כשהשטח מבוטא ביחידה בריבוע.