מחשבון עיגול: מצא רדיוס, קוטר, שטח והיקף

מחשבון מעגל

מחשבון מעגל מוצא את הרדיוס, הקוטר, ההיקף והשטח של מעגל על סמך אחד מארבעת הערכים האלה. מזינים מדידה ידועה אחת, והמחשבון מחשב את שלוש האחרות באמצעות נוסחאות גאומטריות מקובלות.

מעגל הוא קבוצת כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק קבוע מנקודת מרכז. המרחק הקבוע הזה הוא הרדיוס. הקוטר, ההיקף והשטח נובעים כולם מהרדיוס בלבד.

כיצד להשתמש במחשבון

1. בחרו את הפרמטר הידוע: רדיוס, קוטר, היקף או שטח.
2. הזינו את הערך המספרי שלו. הערך חייב להיות אפס או יותר; אורכים ושטחים שליליים אינם בעלי משמעות פיזיקלית.
3. המחשבון מציג את הרדיוס, הקוטר, ההיקף והשטח, כאשר כל אחד מהם מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

המחשבון גם מצייר את המעגל. השרטוט סכמטי ואינו בקנה מידה, ולכן מעגל זעיר ומעגל עצום נראים בערך באותו גודל.

מותר להזין אפס, והתוצאה תהיה אפס בכל ארבע המדידות, משום שמעגל שרדיוסו אפס הוא נקודה יחידה. הזנות שאינן מספריות יוצרות שגיאת אימות במקום תוצאה.

נוסחאות מעגל

נסמן את הרדיוס ב-r ואת הקוטר ב-d. הקבוע π (פאי) הוא בקירוב 3.14159; זהו היחס בין היקף המעגל לקוטרו.

קוטר מתוך הרדיוס:

$d = 2r$

היקף:

$C = 2\pi r = \pi d$

שטח:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

רדיוס מתוך ההיקף:

$r = \frac{C}{2\pi}$

רדיוס מתוך השטח:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

מכל ערך יחיד אפשר למצוא את שלושת הערכים הנותרים: תחילה פותרים עבור הרדיוס, ולאחר מכן משתמשים בנוסחאות הקוטר, ההיקף והשטח שלעיל.

כיצד לחשב מדידות של מעגל מכל ערך התחלתי

התחלה מהרדיוס (r):

• קוטר: $d = 2r$
• היקף: $C = 2\pi r$
• שטח: $A = \pi r^2$

התחלה מהקוטר (d):

• רדיוס: $r = \frac{d}{2}$
• היקף: $C = \pi d$
• שטח: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

התחלה מההיקף (C):

• רדיוס: $r = \frac{C}{2\pi}$
• קוטר: $d = \frac{C}{\pi}$
• שטח: $A = \pi r^2$

התחלה מהשטח (A):

• רדיוס: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• קוטר: $d = 2r$
• היקף: $C = 2\pi r$

דוגמה פתורה

למעגל יש רדיוס באורך 5 יחידות.

• קוטר: d = 2 × 5 = 10 יחידות.
• היקף: C = 2π × 5 ≈ 31.42 יחידות.
• שטח: A = π × 5² ≈ 78.54 יחידות ריבועיות.

אפשר לתאר את אותו מעגל גם באמצעות היקף של כ־31.42 יחידות. חלוקה של 31.42 ב־2π מחזירה, לאחר עיגול, 5.00 יחידות, ולכן מתקבל שוב הרדיוס, והקוטר והשטח מתקבלים כקודם. כל אחד מארבעת הערכים קובע את שלושת האחרים.

נוסחאות מעגל בגאומטריה

המספר π הוא אי־רציונלי, כלומר הספרות העשרוניות שלו לעולם אינן מסתיימות או חוזרות על עצמן. מתמטיקאים קדומים קירבו את ערכו: הבבלים והמצרים השתמשו בשברים גסים, וארכימדס מסירקוזה הראה, בסביבות 250 לפנה״ס, כי π נמצא בין 223/71 לבין 22/7, באמצעות מצולעים ששורטטו בתוך מעגל ומחוצה לו. הסמל π זכה לתפוצה במאה ה־18 בזכות המתמטיקאי לאונרד אוילר. מחשבונים מודרניים משתמשים ב־π במספר רב בהרבה של מקומות עשרוניים מכפי שנדרש לכל מדידה פיזיקלית.

משתמשים בנוסחאות מעגל לתכנון מידותיהם של צינורות, גלגלי שיניים וגלגלים, לחישוב כמות החומר הדרושה למבנה עגול ולמידול מסלולים באסטרונומיה.

שאלות נפוצות

כיצד מחשבים את היקף המעגל? מכפילים את הרדיוס ב־2π, או את הקוטר ב־π: C = 2πr = πd. למעגל שרדיוסו 5 יחידות יש היקף של כ־31.42 יחידות.

מהי הנוסחה לשטח מעגל? השטח שווה ל־π כפול ריבוע הרדיוס: A = πr². למעגל שרדיוסו 5 יחידות יש שטח של כ־78.54 יחידות רבועות.

כיצד מוצאים את הרדיוס מתוך ההיקף? מחלקים את ההיקף ב־2π (בקירוב 6.2832). היקף של 31.42 יחידות נותן רדיוס של כ־5 יחידות.

כיצד מוצאים את הרדיוס מתוך השטח? מחלקים את השטח ב־π, ולאחר מכן מוציאים שורש ריבועי: r = √(A / π). שטח של 78.54 יחידות רבועות נותן רדיוס של כ־5 יחידות.

מהו הקשר בין הקוטר לרדיוס? הקוטר תמיד כפול מהרדיוס (d = 2r), והרדיוס תמיד שווה למחצית הקוטר (r = d / 2).

האם אפשר להשתמש בכל יחידת מידה למדידות מעגל? כן. הרדיוס, הקוטר וההיקף משתמשים באותה יחידת אורך, כגון סנטימטרים או אינצ׳ים, והשטח מבוטא ביחידה זו בריבוע. המחשבון אינו ממיר בין יחידות; התוצאות משתמשות ביחידה שהוזנה.

מקורות

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. בקמן, פטר. A History of π. הוצאת סנט מרטין, 1971.
4. ארכימדס. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf