מחשבון מדידות מעגלים: רדיוס, קוטר והיקף מעגלים

מחשבון מדידות מעגל

מבוא

המעגל הוא צורה בסיסית בגיאומטריה, המסמלת שלמות וסימטריה. מחשבון מדידות המעגל שלנו מאפשר לך לחשב את הרדיוס, הקוטר, ההיקף והשטח של מעגל בהתבסס על פרמטר ידוע אחד. כלי זה הוא בעל ערך רב עבור תלמידים, מהנדסים, אדריכלים וכל מי שמעוניין להבין את התכונות של מעגלים.

כיצד להשתמש במחשבון זה

בחר את הפרמטר שאתה יודע:
- רדיוס
- קוטר
- היקף
- שטח
הכנס את הערך:
- הזן את הערך המספרי עבור הפרמטר הנבחר.
- ודא שהערך הוא מספר חיובי ממשי.
חשב:
- המחשבון יחשב את יתר מדידות המעגל.
- התוצאות המוצגות כוללות:
  - רדיוס ( $r$ )
  - קוטר ( $d$ )
  - היקף ( $C$ )
  - שטח ( $A$ )

אימות קלט

המחשבון מבצע את הבדיקות הבאות על קלטי המשתמש:

מספרים חיוביים: כל הקלטים חייבים להיות מספרים חיוביים ממשיים.
ערכים מספריים תקפים: הקלטים חייבים להיות מספריים ולא מכילים תווים שאינם מספריים.

אם יזוהו קלטים לא תקינים, תוצג הודעת שגיאה, והחישוב לא ימשיך עד לתיקון.

נוסחאות

הקשרים בין הרדיוס, הקוטר, ההיקף והשטח של מעגל מוגדרים על ידי הנוסחאות הבאות:

קוטר ( $d$ ):

$d = 2r$
היקף ( $C$ ):

$C = 2\pi r = \pi d$
שטח ( $A$ ):

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
רדיוס ( $r$ ) מההיקף:

$r = \frac{C}{2\pi}$
רדיוס ( $r$ ) מהשטח:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

חישוב

הנה כיצד המחשבון מחשב כל מדידה בהתבסס על הקלט:

כאשר רדיוס ( $r$ ) ידוע:
- קוטר: $d = 2r$
- היקף: $C = 2\pi r$
- שטח: $A = \pi r^2$
כאשר קוטר ( $d$ ) ידוע:
- רדיוס: $r = \frac{d}{2}$
- היקף: $C = \pi d$
- שטח: $A = \frac{\pi d^2}{4}$
כאשר היקף ( $C$ ) ידוע:
- רדיוס: $r = \frac{C}{2\pi}$
- קוטר: $d = \frac{C}{\pi}$
- שטח: $A = \pi r^2$
כאשר שטח ( $A$ ) ידוע:
- רדיוס: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
- קוטר: $d = 2r$
- היקף: $C = 2\pi r$

מקרים קצה וטיפול בקלט

קלטים שליליים:
- ערכים שליליים אינם תקפים למדידות מעגל.
- המחשבון יציג הודעת שגיאה עבור קלטים שליליים.
אפס כקלט:
- אפס הוא קלט תקף אך מביא לכך שכל שאר המדידות יהיו אפס.
- פיזית, מעגל עם ממדים אפסיים אינו קיים, כך שהכנסת אפס משמשת כמקרה תיאורטי.
ערכים גדולים מאוד:
- המחשבון יכול להתמודד עם מספרים מאוד גדולים, מוגבל על ידי הדיוק של שפת התכנות בה נעשה שימוש.
- יש להיות מודעים לטעויות עיגול פוטנציאליות עם ערכים מאוד גדולים.
קלטים שאינם מספריים:
- הקלטים חייבים להיות מספריים.
- כל קלט שאינו מספרי יביא להודעת שגיאה.

שימושים

מחשבון מדידות המעגל שימושי במגוון יישומים בעולם האמיתי:

הנדסה ואדריכלות:
- תכנון רכיבים מעגליים כמו צינורות, גלגלים וקשתות.
- חישוב דרישות חומר עבור פרויקטי בנייה המעורבים בצורות מעגליות.
ייצור:
- קביעת ממדי חלקים וכלים.
- חישוב מסלולי חיתוך עבור מכונות CNC.
אסטרונומיה ומדעי החלל:
- חישוב מסלולי כוכבי לכת, אשר לעיתים קרובות מוערכים כמסלולים מעגליים.
- הערכת שטח הפנים של גופים שמימיים.
חיים יומיומיים:
- תכנון גינות מעגליות, מזרקות או שולחנות עגולים.
- קביעת כמות הגידור הנדרשת עבור גידורים מעגליים.

חלופות

בעוד שמעגלים הם בסיסיים, יש צורות חלופיות ונוסחאות ליישומים שונים:

אליפסות:
- עבור יישומים הדורשים מעגלים מוארכים.
- חישובים כוללים צירים ראשיים ומשניים.
קטעים ומקטעים:
- חלקים של מעגל.
- שימושי לחישוב שטחים או היקפים של פרוסות בצורת פאי.
רב-זוויות רגולריות:
- קירובים של מעגלים באמצעות צורות כמו משושים או משמיניות.
- מפשט את הבנייה והחישוב בהקשרים הנדסיים מסוימים.

היסטוריה

לימוד המעגלים מתוארך לציוויליזציות עתיקות:

מתמטיקה עתיקה:
- הבבלים והמצרים השתמשו בקירובים עבור $\pi$ .
- ארכימedes (סביבות 287–212 לפנה"ס) סיפק אחד מהאלגוריתמים הראשונים המתועדים לחישוב $\pi$ , והעריך אותו בין $\frac{22}{7}$ ל- $\frac{223}{71}$ .
התפתחות של $\pi$ :
- הסימן $\pi$ הוקם על ידי המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס בשנת 1706 ולאחר מכן אומץ על ידי לאונרד אוילר.
- $\pi$ הוא מספר אי-רציונלי המייצג את היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
מתמטיקה מודרנית:
- המעגל היה מרכזי בהתפתחויות בטריגונומטריה, חשבון אינפיניטסימלי ואנליזה מרוכבת.
- הוא משמש כקונספט בסיסי בגיאומטריה ובהוכחות מתמטיות.

דוגמאות

להלן דוגמאות קוד המדגימות כיצד לחשב מדידות מעגל בשפות תכנות שונות:

1## קוד פייתון לחישוב מדידות מעגל
2import math
3
4def calculate_circle_from_radius(radius):
5    diameter = 2 * radius
6    circumference = 2 * math.pi * radius
7    area = math.pi * radius ** 2
8    return diameter, circumference, area
9
10## דוגמת שימוש:
11radius = 5
12d, c, a = calculate_circle_from_radius(radius)
13print(f"רדיוס: {radius}")
14print(f"קוטר: {d}")
15print(f"היקף: {c:.2f}")
16print(f"שטח: {a:.2f}")
17

1// קוד JavaScript לחישוב מדידות מעגל
2function calculateCircleFromDiameter(diameter) {
3  const radius = diameter / 2;
4  const circumference = Math.PI * diameter;
5  const area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
6  return { radius, circumference, area };
7}
8
9// דוגמת שימוש:
10const diameter = 10;
11const { radius, circumference, area } = calculateCircleFromDiameter(diameter);
12console.log(`רדיוס: ${radius}`);
13console.log(`קוטר: ${diameter}`);
14console.log(`היקף: ${circumference.toFixed(2)}`);
15console.log(`שטח: ${area.toFixed(2)}`);
16

1// קוד Java לחישוב מדידות מעגל
2public class CircleCalculator {
3    public static void calculateCircleFromCircumference(double circumference) {
4        double radius = circumference / (2 * Math.PI);
5        double diameter = 2 * radius;
6        double area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
7
8        System.out.printf("רדיוס: %.2f%n", radius);
9        System.out.printf("קוטר: %.2f%n", diameter);
10        System.out.printf("היקף: %.2f%n", circumference);
11        System.out.printf("שטח: %.2f%n", area);
12    }
13
14    public static void main(String[] args) {
15        double circumference = 31.42;
16        calculateCircleFromCircumference(circumference);
17    }
18}
19

1// קוד C# לחישוב מדידות מעגל
2using System;
3
4class CircleCalculator
5{
6    static void CalculateCircleFromArea(double area)
7    {
8        double radius = Math.Sqrt(area / Math.PI);
9        double diameter = 2 * radius;
10        double circumference = 2 * Math.PI * radius;
11
12        Console.WriteLine($"רדיוס: {radius:F2}");
13        Console.WriteLine($"קוטר: {diameter:F2}");
14        Console.WriteLine($"היקף: {circumference:F2}");
15        Console.WriteLine($"שטח: {area:F2}");
16    }
17
18    static void Main()
19    {
20        double area = 78.54;
21        CalculateCircleFromArea(area);
22    }
23}
24

1## קוד Ruby לחישוב מדידות מעגל
2def calculate_circle_from_radius(radius)
3  diameter = 2 * radius
4  circumference = 2 * Math::PI * radius
5  area = Math::PI * radius ** 2
6  return diameter, circumference, area
7end
8
9## דוגמת שימוש:
10radius = 5.0
11diameter, circumference, area = calculate_circle_from_radius(radius)
12puts "רדיוס: #{radius}"
13puts "קוטר: #{diameter}"
14puts "היקף: #{circumference.round(2)}"
15puts "שטח: #{area.round(2)}"
16

1<?php
2// קוד PHP לחישוב מדידות מעגל
3function calculateCircleFromDiameter($diameter) {
4    $radius = $diameter / 2;
5    $circumference = pi() * $diameter;
6    $area = pi() * pow($radius, 2);
7    return array($radius, $circumference, $area);
8}
9
10// דוגמת שימוש:
11$diameter = 10.0;
12list($radius, $circumference, $area) = calculateCircleFromDiameter($diameter);
13echo "רדיוס: " . $radius . "\n";
14echo "קוטר: " . $diameter . "\n";
15echo "היקף: " . round($circumference, 2) . "\n";
16echo "שטח: " . round($area, 2) . "\n";
17?>
18

1// קוד Rust לחישוב מדידות מעגל
2fn calculate_circle_from_circumference(circumference: f64) -> (f64, f64, f64) {
3    let radius = circumference / (2.0 * std::f64::consts::PI);
4    let diameter = 2.0 * radius;
5    let area = std::f64::consts::PI * radius.powi(2);
6    (radius, diameter, area)
7}
8
9fn main() {
10    let circumference = 31.42;
11    let (radius, diameter, area) = calculate_circle_from_circumference(circumference);
12    println!("רדיוס: {:.2}", radius);
13    println!("קוטר: {:.2}", diameter);
14    println!("היקף: {:.2}", circumference);
15    println!("שטח: {:.2}", area);
16}
17

1// קוד Go לחישוב מדידות מעגל
2package main
3
4import (
5    "fmt"
6    "math"
7)
8
9func calculateCircleFromArea(area float64) (radius, diameter, circumference float64) {
10    radius = math.Sqrt(area / math.Pi)
11    diameter = 2 * radius
12    circumference = 2 * math.Pi * radius
13    return
14}
15
16func main() {
17    area := 78.54
18    radius, diameter, circumference := calculateCircleFromArea(area)
19    fmt.Printf("רדיוס: %.2f\n", radius)
20    fmt.Printf("קוטר: %.2f\n", diameter)
21    fmt.Printf("היקף: %.2f\n", circumference)
22    fmt.Printf("שטח: %.2f\n", area)
23}
24

1// קוד Swift לחישוב מדידות מעגל
2import Foundation
3
4func calculateCircleFromRadius(radius: Double) -> (diameter: Double, circumference: Double, area: Double) {
5    let diameter = 2 * radius
6    let circumference = 2 * Double.pi * radius
7    let area = Double.pi * pow(radius, 2)
8    return (diameter, circumference, area)
9}
10
11// דוגמת שימוש:
12let radius = 5.0
13let results = calculateCircleFromRadius(radius: radius)
14print("רדיוס: \(radius)")
15print("קוטר: \(results.diameter)")
16print("היקף: \(String(format: "%.2f", results.circumference))")
17print("שטח: \(String(format: "%.2f", results.area))")
18

1% קוד MATLAB לחישוב מדידות מעגל
2function [radius, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius)
3    diameter = 2 * radius;
4    circumference = 2 * pi * radius;
5    area = pi * radius^2;
6end
7
8% דוגמת שימוש:
9radius = 5;
10[~, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius);
11fprintf('רדיוס: %.2f\n', radius);
12fprintf('קוטר: %.2f\n', diameter);
13fprintf('היקף: %.2f\n', circumference);
14fprintf('שטח: %.2f\n', area);
15

1' נוסחה של Excel לחישוב מדידות מעגל מרדיוס
2' הנחה שהרדיוס נמצא בתא A1
3קוטר: =2*A1
4היקף: =2*PI()*A1
5שטח: =PI()*A1^2
6

דוגמאות מספריות

רדיוס נתון (( r = 5 ) יחידות):
- קוטר: ( d = 2 \times 5 = 10 ) יחידות
- היקף: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) יחידות
- שטח: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) יחידות מרובעות
קוטר נתון (( d = 10 ) יחידות):
- רדיוס: ( r = \frac{10}{2} = 5 ) יחידות
- היקף: ( C = \pi \times 10 \approx 31.42 ) יחידות
- שטח: ( A = \frac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78.54 ) יחידות מרובעות
היקף נתון (( C = 31.42 ) יחידות):
- רדיוס: ( r = \frac{31.42}{2\pi} \approx 5 ) יחידות
- קוטר: ( d = 2 \times 5 = 10 ) יחידות
- שטח: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) יחידות מרובעות
שטח נתון (( A = 78.54 ) יחידות מרובעות):
- רדיוס: ( r = \sqrt{\frac{78.54}{\pi}} \approx 5 ) יחידות
- קוטר: ( d = 2 \times 5 = 10 ) יחידות
- היקף: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) יחידות

דיאגרמות

להלן דיאגרמה של מעגל הממחישה את הרדיוס (( r )), הקוטר (( d )), ההיקף (( C )) והשטח (( A )).

איור: דיאגרמה של מעגל הממחישה את הרדיוס (( r )), הקוטר (( d )), ההיקף (( C )) והשטח (( A )).

מקורות

"מעגל." MathWorld של וולפרם, https://mathworld.wolfram.com/Circle.html.
"היקף ושטח של מעגל." אקדמיית חאן, https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles.
בקמן, פטר. היסטוריה של ( \pi ). הוצאת סנט מרטין, 1971.
ארכימדס. מדידת מעגל, https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf.

Whiz Tools

מחשבון מדידות מעגלים: רדיוס, קוטר והיקף מעגלים

circleTitle

תיעוד